精品解析：山东省济南市西城实验中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性学情检测数学试题

济南西城实验中学 高一数学阶段性学情检测试题 2024.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则、、大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 6. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 英国数学家泰勒发现了公式，其中，.若，则下列选项中与T的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.每小题有两个或三个选项符合题目要求，全部选对得6分，选错的得0分. 9. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若是奇函数，则______. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15 （1）化简； （2）化简. 16. 已知函数的定义域构成集合．不等式的解集为． （1）时，求的取值范围； （2）时，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. （1）求； （2）若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 18. 已知函数偶函数. （1）求实数的值； （2）设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围. 19. 若定义在上，且不恒为零的函数满足：对于任意实数和，总有恒成立，则称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，设有理数、满足，判断和大小关系，并证明你结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高一数学阶段性学情检测试题 2024.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】D 【解析】 【分析】，，因为为奇数，为偶数，即可求解. 【详解】由题意得，， 因为为奇数，为偶数，所以. 故选：. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，并判断函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，由，可得， 故函数的定义域为，排除BD选项； 因为， 故函数为奇函数，排除A选项， 故选：C. 3. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数在上为增函数，幂函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为减函数，则， 因此，. 故选：A. 4. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，，结合同角三角函数的平方关系可化简所求代数式. 【详解】因为，则，， 所以， . 故选：A. 5. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：B. 6. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为与的图象的交点问题，借助于函数图象可得到结果． 【详解】由于函数有3个零点， 则方程有三个根， 故函数与的图象有三个交点； 函数，其图象如下所示， 又因为函数， 则实数的取值范围， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于转化思想的应用，将方程根的个数问题，转化为函数和图象交点的个数， 7. 英国数学家泰勒发现了公式，其中，.若，则下列选项中与T的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得，然后将弧度制与转化为角度制，再利用诱导公式求解. 【详解】解：由， 令，得， 所以， 故选：C 8. 已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.每小题有两个或三个选项符合题目要求，全部选对得6分，选错的得0分. 9. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据存在量词命题为真命题求出的取值范围，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】若命题“，”为真命题，则， 因为，，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是BD选项. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；利用函数奇偶性和对称性定义可判断B；根据复合函数的单调性可判断C；通过画函数图象可判断D. 【详解】对于A选项，因为， 故函数且的图象恒过定点，A对； 对于B选项，若函数是奇函数，则 即，故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 所以，函数的单调递增区间为，C错； 对于D选项，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数定义可判断AB；根据和的单调性，由内至外比较大小，即可判断CD. 【详解】易知恒成立，所以的定义域为， 因为单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增. 因为， 所以为奇函数，所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减． 选项A：因为，所以是奇函数，A正确； 选项B：因为，所以是偶函数，B错误； 选项C：因为，所以，所以C错误； 选项D：因为， 所以，D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若是奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用奇函数性质及分段函数得出函数值. 【详解】因为是奇函数，则. 故答案为：. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，因为外层函数为增函数， 且函数在区间上单调递增， 由复合函数法可知，内层函数在上为增函数， 所以，，且，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，把方程有4个不同的根转化函数的图象与直线有4个交点，结合二次函数和对数函数的性质即可求解． 【详解】由题意作出函数的图象，如图， 方程有4个不同的实数根，，，（）， 即函数的图象与直线有四个不同的交点， 易知，则，即， 由二次函数对称性可得且， 则， ，则，所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数与方程的综合应用，解题方法是把方程有4个不同的实根转化为函数的图象与直线有4个不同的交点，作出函数图象及直线，由图可得交点的横坐标（方程的根）间的关系，范围，从而求得结论． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. （1）化简； （2）化简. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式化简可得结果； （2）利用诱导公式化简可得结果. 【详解】解：（1）原式； （2）原式. 16. 已知函数的定义域构成集合．不等式的解集为． （1）时，求的取值范围； （2）时，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域转化为恒成立，进而可得函数的最小值为正数，即得； （2）由是的充分条件可得，解出，后分类即可. 【小问1详解】 若，则由知恒成立， 即函数的最小值为正数， 函数的对称轴为， 故当时，有， 得， 故取值范围为 【小问2详解】 当时， 所以，得或， 故或， ， 当时，解集为， 当时，解集， 因是的充分条件，故， 所以当时，或，故， 当时，或，故， 综上可得的取值范围为： 17. 如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. （1）求； （2）若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解； （2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得. 【小问1详解】 由，则，， 所以，即，， . 【小问2详解】 由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解； （2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可 【小问1详解】 为偶函数， 对任意，有， 对恒成立. 对恒成立， 对恒成立， ； 【小问2详解】 由（1）知，， 由题意知有且只有一个实数根. 令， 则关于的方程（*）有且只有一个正根. 若，则，不合题意，舍去； 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根. 方程（*）有两相等正根等价于，解得； 方程（*）的两根异号等价于，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 19. 若定义在上，且不恒为零的函数满足：对于任意实数和，总有恒成立，则称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，设有理数、满足，判断和大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）令，可求出的值，令可求出的值； （2）令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数； （3）令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出和的大小关系. 【详解】（1）令，，则有，，. 令，则有，所以，； （2）令，可得，， 由于函数的定义域为，因此，函数为偶函数； （3）时，，， 所以，， 令，即对任意的正整数有， 则， 所以，对于任意正整数，成立， 对任意、且，则有成立， 、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，， 令，，，则、为正整数， ，，所以，，即， 函数为偶函数，，，. 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查抽象函数的奇偶性，考查解决抽象函数的常用方法——赋值法，考查不等式的证明方法——递推法，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $