精品解析：湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 2. 下列各点中，是二次函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 分别把、0、代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：A.当时，，故选项不合题意； B.当时，，故选项不合题意； C.当时，，故选项符合题意； D．当时，，故选项不合题意； 故选：C． 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故不符合题意； B．守株待兔是随机事件，故符合题意； C．水涨船高是必然事件，故不符合题意； D．画饼充饥是不可能事件，故不符合题意； 故选B． 4. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 5. 若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式得出a，b，c的值，即可得出答案． 【详解】解：∵的一元二次方程的根为 ∴，，， ∴这个方程是， 故选：C． 6. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 7. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 两条弦相等，它们所对的弧也相等 D. 等弧对等弦 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选：D 8. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 9. 某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，先设出与的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可．解题的关键是用待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数解析式为，把，代入解析式得：， 解得：， ∴压强与受力面积之间的函数关系式是． 故选：A． 10. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝﹣2(x﹣5)2＋3的顶点坐标是_____． 【答案】（5，3） 【解析】 【详解】试题分析：因为顶点式y=a（x﹣h）2+k,其顶点坐标是（h,k）,对照求二次函数y=－2（x－5）2＋3的顶点坐标(5,3). 故答案是(5,3)． 考点：二次函数顶点坐标. 12. 边长为3的正六边形的一个中心角是 ______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：正六边形的一个中心角是． 故答案为：． 13. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，解得r=． 考点：弧长的计算． 14. 若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，，分别代入，再比较即可． 【详解】解：把，，分别代入， 得：，，． ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 16. 如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：（x-1）2=9． 【答案】x1=4，x2=-2 【解析】 【分析】先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：两边开方得：x-1=±3， 解得：x1=4，x2=-2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程求解． 18. 已知是的反比例函数，并且当时，． ⑴求关于的函数解析式； ⑵当时，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）直接利用x=4代入求出答案． 【详解】解：（1）y是x的反例函数， 所以，设， 当x=2时，y=6． 所以，k=xy=12， 所以，； （2）当x=4时，=3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键． 19. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接，由于水面高可求出OD的长，根据，，得出AD是线段的垂直平分线，进而得出，根据扇形及三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接． ， ． ． 又， 是线段的垂直平分线． ． 从而． ， ， 有水部分的面积， ， ， ． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点， ∴于点， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 21. 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球有个．黄球有个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为． （1）试求袋中蓝球个数； （2）若任意摸出两个球，请用画树状图或列表法表示摸到球的所有可能结果，并求摸到的球都是白球的概率． 【答案】（1）袋中蓝球的个数为个； （2）结果见解析，． 【解析】 【分析】（）设袋中蓝球的个数为个，然后利用概率公式，结合摸出一个球是白球的概率为，列分式方程即可求解； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 此题主要考查了概率公式和列表法或树状图法求概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 设袋中蓝球的个数为个，由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：袋中蓝球的个数为个； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中摸到的球都是白球的结果有种， ∴摸到的球都是白球的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出，使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）图形见详解，点的坐标是 （3）点的坐标是 【解析】 【分析】本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格特点，找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）分别找出、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据各点坐标的变化即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：即为所求； 点的坐标是 【小问3详解】 解：点的坐标是 23. 已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【答案】7或17 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 24. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当时，二次三项式的最小值为； 【小问3详解】 ， ． 25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）证明见解析；（3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）． 【解析】 【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标； （2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然； （3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作于H，表示出PH的长度，在Rt△APE中用勾股定理列出方程，解之即得答案． 【详解】解：(1)∵抛物线经过点A(−1,0)和点C(0,3)， 对称轴为直线x=1，顶点M(1，4)； (2)如图1， ∵点C关于直线l的对称点为N， ∴N(2，3)， ∵直线y=kx+b经过C，M两点， ∴ ∴ ∴y=x+3， ∵y=x+3与x轴交于点D， ∴D(−3,0)， ∴AD=2=CN 又∵ADCN， ∴CDAN是平行四边形； (3)设P(1，a)，过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2， 则MP=4−a， 又 Rt△APE中, 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 2. 下列各点中，是二次函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 4. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A B. C. D. 7. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 两条弦相等，它们所对的弧也相等 D. 等弧对等弦 8. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝﹣2(x﹣5)2＋3的顶点坐标是_____． 12. 边长为3正六边形的一个中心角是 ______． 13. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 14. 若，，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 16. 如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解方程：（x-1）2=9． 18. 已知是的反比例函数，并且当时，． ⑴求关于的函数解析式； ⑵当时，求的值． 19. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）． 20. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 21. 不透明口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球有个．黄球有个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为． （1）试求袋中蓝球的个数； （2）若任意摸出两个球，请用画树状图或列表法表示摸到球的所有可能结果，并求摸到的球都是白球的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出，使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 23. 已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 24. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$