精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期八年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 地铁作为一种高效、低碳、大容量的公共交通方式，已经成为许多国家和地区城市化进程中不可或缺的基础设施．2023年12月27日，南通城市轨道交通2号线通车仪式在体育公园站举行，标志着南通地铁迈入“双线换乘时代”．下列地铁标志中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 3. 在，，，中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若且，则代数式值等于（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 8. 雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：_____． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 13. 如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为__________． 14. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 16. 学校绿化养护原本采用漫灌的方式，吨水可用天．为了节约用水，现采用喷灌的方式，吨水可多用10天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的__________倍． 17. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 计算和分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，的顶点的坐标分别为，，． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）作出关于轴对称的图形． 21. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录． 请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 23. 在中，，，． （1）求长； （2）点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 24. 如图，是等边三角形，点在边上，交于点． （1）求证：； （2）如图2，点在上，是等边三角形，交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，与的面积之比是，求的值． 25. 综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示 （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是__________，的展开式为__________； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由个黑白交替的正方形方块组成，分别表示起点和终点，有一颗棋子在方块处，棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有__________种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期八年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 地铁作为一种高效、低碳、大容量的公共交通方式，已经成为许多国家和地区城市化进程中不可或缺的基础设施．2023年12月27日，南通城市轨道交通2号线通车仪式在体育公园站举行，标志着南通地铁迈入“双线换乘时代”．下列地铁标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形．一个图形沿某条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A．沿某条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，符合题意； B．不能沿某条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形不是轴对称图形，不符合题意； C．不能沿某条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形不是轴对称图形，不符合题意； D．不能沿某条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则求出即可． 【详解】解：a6÷a3=a6-3=a3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确把握运算法则是解题关键． 3. 在，，，中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形对应角相等得到，由三角形内角和定理即可求出的度数． 详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B 6. 下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； C、，故线段、、组成的三角形是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； D、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 7. 若且，则代数式的值等于（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】运用多项式乘以多项式法则，化简，再将，整体代入即可解题． 【详解】 当，时 原式 故选：A． 【点睛】本题考查整式的乘法，代数式求值，其中涉及多项式乘以多项式、整体代入法等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理得出，求出，证明，得到，由此，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长，证是等边三角形，，利用勾股定理求出． 【详解】解：作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，作，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案． 【详解】∵，∴，故答案为1. 【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：． 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，过点D作于点H，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：过点D作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴ ， 故答案为：10． 14. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 16. 学校绿化养护原本采用漫灌的方式，吨水可用天．为了节约用水，现采用喷灌的方式，吨水可多用10天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的__________倍． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 17. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是6的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是36， 的最大值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 计算和分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算乘法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 如图，的顶点的坐标分别为，，． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）作出关于轴对称的图形． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理． （1）根据，，，由坐标系中两点距离公式求出，，得出； （2）作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵，，， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； ． 21. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质得到，由此根据证明三角形全等； （2）根据三角形的全等的性质得到，由此求出的长． 【小问1详解】 证明：∵． ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即， ∴． 22. 近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录． 请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 【答案】小许的速度为公里／小时，小严的速度为公里／小时． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设小许的速度为公里／小时，则小严的速度为公里／小时，根据“小严晚15分钟出发”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设小许的速度为公里／小时，则小严的速度为公里／小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：小许的速度为公里／小时，小严的速度为公里／小时． 23. 在中，，，． （1）求的长； （2）点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 【答案】（1）； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作角平分线，勾股定理与折叠问题． （1）根据勾股定理计算即可求解； （2）根据折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求作， ∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 24. 如图，是等边三角形，点在边上，交于点． （1）求证：； （2）如图2，点在上，是等边三角形，交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，与的面积之比是，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识． （1）根据全等三角形的定义得到，由平行线的性质得到，即可证明是等边三角形，则，即可得到结论； （2）是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到，即可证明； （3）连接，证明，则，由与的面积之比是得到，则与的面积之比是，设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面 积，得到的面积为，的面积为，则与的面积之比是，得到与的面积之比是，得到，即，，即可得到的值． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之比是， ∴， ∴与的面积之比是， 设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面积， ∴的面积为，的面积为， ∴与的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∴，即 ∴ ∴ 25. 综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示 （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是__________，的展开式为__________； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由个黑白交替的正方形方块组成，分别表示起点和终点，有一颗棋子在方块处，棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有__________种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 【答案】（1）4；；（2）不会随着的变化而变化，值为4048；（3）34 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究； （1）根据规律即可求解； （2）设，则，根据规律即可求解； （3）根据（1）中的规律，画出图形，进而即可求解． 【详解】解：（1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是， 的展开式为 ； 故答案为：4；； （2）不会随着的变化而变化，值为4048， 设，则 代数式的值不会随着的变化而变化，值为4048； （3）如图， 若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有34种不同的走法． 故答案为：34． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$