精品解析：陕西省安康市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

试卷类型：A 安康高新区2024~2025学年度第一学期期末综合素养评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汉字中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、汉字不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、汉字不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、汉字是中心对称图形，故本选项符合题意； D、汉字不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 事件“任意写一个数，这个数大于”属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】解：事件“任意写一个数，这个数大于”属于随机事件， 故选：B． 3. 在半径为2cm的圆中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，利用弧长公式计算即可解题． 【详解】解：弧长为：， 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程． 【详解】解： ， ， 故选：． 5. 将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，即可求解，本题考查了函数图像的平移，解题的关键是：熟记平移规律． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：， 故选：． 6. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， ∴次品的概率是， 故选：C． 7. 如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 8. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴和开口方向，再根据所给点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，构建方程组求解计算即可． 【详解】解：由题意，， 解得； ∴． 故答案为：3． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是_______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴ 则， ， ， ∵ ， ，， ， ． 故答案为： 12. 已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 【详解】解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 13. 如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可． 【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG， ∵长为24的等边三角形ABC ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN=60°， 又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°， ∴∠HBN=∠GBM， ∵CH是等边△ABC的对称轴， ∴， ∴HB=BG， 又∵MB旋转到BN， ∴BM=BN， 在△MBG和△NBH中， , ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴MG=NH， 根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时， ∴， ∴HN=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴，． 15. 一个不透明的口袋中装有15支蓝色水彩笔和若干支红色水彩笔，这些水彩笔除颜色不同外其他都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一支水彩笔，记下颜色后放回袋中．通过大量重复试验后发现，摸到蓝色水彩笔的频率稳定在，请你估计口袋中红色水彩笔的支数． 【答案】估计口袋中红色水彩笔有10支． 【解析】 【分析】根据蓝色水彩笔支数和频率，可以估算出水彩笔的总数，然后即可计算出红色水彩笔的支数． 本题考查了已知频率求数量，解题的关键是：熟练掌握已知频率求数量． 【详解】解：由题意可得，袋中约有红色水彩笔：（个）， 答：估计口袋中红色水彩笔有10支． 16. 如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，先求得点A、B坐标，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴． 17. 如图，已知，求作，使它经过点B和点C，并且圆心在的平分线上（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图，⊙O为所作． 【解析】 【分析】作BC的垂直平分线和∠C的平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换，根据网格特点和旋转性质，得到对应点的位置，然后顺次连接即可求解． 【详解】解：如图，即为所求作： 19. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 20. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x，根据等量关系正确列方程求解即可． 【详解】解：设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为． 21. 已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； （2）当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线 （2），交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟知二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次项系数和对称轴公式求解即可； （2）将已知点代入函数解析式中求得m值，再令，然后解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数中，，， ∴该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵该二次函数的图象经过点， ∴， 解得； ∴， 令，由得，， ∴此二次函数与轴的交点坐标为，． 22. 已知的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根以及是解答的关键． （1）求得即可证得结论； （2）先求得一元二次方程为，再根据根与系数关系得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：当时，一元二次方程为， ∵的一条边的长为5，另两边、的长分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴的周长为． 23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 24. 如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 25. 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 【答案】（1） （2）最大高度为，最远距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线经过点，，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由， ∴当时，有最大值，最大值为6； 令，由得，（舍去）， 答：飞机飞行的最大高度为，最远距离为． 26. 【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 【答案】（1）；（2）①；②当为时，停车场的面积最大，最大为 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和割补法求解面积即可； （2）①先由已知得，进而得到、、、四点共圆，利用角平分线的定义和圆周角、弦的关系得到，过作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用三角形面积公式求解即可得到函数关系式； ②利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ， 即； （2）①∵，， ∴，， ∴、、、四点共圆，如图， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， 过E作于F，则， ∴， ∴ ∴的面积， 即 ②由于， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当为时，停车场的面积最大，最大为． 【点睛】本题考查矩形的性质、圆的有关性质、二次函数的性质、含度角的直角三角的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，得到、、、四点共圆是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 安康高新区2024~2025学年度第一学期期末综合素养评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汉字中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 事件“任意写一个数，这个数大于”属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 3. 在半径为2cm的圆中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 11. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是_______°． 12. 已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为______． 13. 如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是_____________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 一个不透明的口袋中装有15支蓝色水彩笔和若干支红色水彩笔，这些水彩笔除颜色不同外其他都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一支水彩笔，记下颜色后放回袋中．通过大量重复试验后发现，摸到蓝色水彩笔的频率稳定在，请你估计口袋中红色水彩笔的支数． 16. 如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 17. 如图，已知，求作，使它经过点B和点C，并且圆心在的平分线上（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）． 19. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 20. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 21. 已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； （2）当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 22. 已知的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的周长． 23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 24. 如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 25. 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 26. 【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $