精品解析：安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度高河中学高一12月月考卷 数学试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.） 1. 若全集为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，q：关于x的不等式的解集为R，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图像大致为（ ） A B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，则 D. 函数的单调递增区间为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数的值域为 D. 函数值域为R.则实数的取值范围是 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 13. 已知函数且图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中实数满足，则的最小值为______. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 17. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度关系，现有以下三种函数模型供选择： ，， （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 18. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高河中学高一12月月考卷 数学试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.） 1. 若全集为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由集合的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则或， 且， 则. 故选：C 2. 已知，q：关于x的不等式的解集为R，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，由不等式解集为R，利用根的判别式得到，结合两集合的包含关系，得到p是q的充分不必要条件． 【详解】， 由关于x的不等式的解集为R，可得， 解之得， 则由是的真子集， 可得p是q的充分不必要条件． 故选：A 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求的定义域，并判断奇偶性，可排除不满足相应对称性的图像，再通过判断相应区间函数值的正负，即可选出答案． 【详解】因为，所以的定义域为，且关于原点对称． 又， 所以是奇函数，则排除选项A，D； 当时，，当时，，排除选项B， 故选：C． 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 5. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 分析】利用列方程，结合对数运算求得. 【详解】根据题意，所以，所以， 所以，得. 故选：C. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理即可判断零点区间. 【详解】在上单调递增， 则， ，， ，所以， 由为定义域上的连续函数， 依据零点存在定理可知在区间上存在零点. 故选：B． 7. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由得，令，可得在上是增函数，结合是定义在上的奇函数可得是奇函数，利用奇偶性及单调性可得的取值范围. 【详解】∵对任意，都有， ∴，即， 设，则. 令，则在上是增函数. ∵函数和是定义在上的奇函数，∴是定义在上的奇函数， ∴在上是增函数，即在上是增函数. ∵， ∴，即， ∴. 由在上是增函数得，解得或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数，结合题目条件得到是定义在上的奇函数且在上是增函数，把要求的不等式等价变形为，解不等式可得结果. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C 已知，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得选项A正确；根据基本不等式成立的条件可得选项B错误；根据得，即可计算，选项C正确；利用指数型复合函数的单调性可得选项D正确. 【详解】A. 命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确. B. 令，则， 当，即时等号成立，但，故选项B错误. C. 由题意得，，所以， 所以，选项C正确. D. 令，对称轴为直线，函数在上单调递减， 因为在上为减函数，所以的单调递增区间为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数的值域为 D. 函数值域为R.则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可判断A的真假，根据一元二次不等式的解集可确定的值，从而确定B的真假；用换元法求函数的值域，判断C的真假；由函数的值域为，确定判别式大于等于0可求的取值范围，确定D的真假. 【详解】对于A：因为恒成立，故函数恒过定点，故A错误； 对于B：因为不等式的解集为或， 所以，可得，所以，故B正确； 对于C：设，则，， 则（当且仅当时取“”）， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D：函数的值域为， 所以函数在的定义域上的值域为， 故或，故D正确. 故选：BCD. 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：令可得结果；B：令可得结果；先结合奇偶性分析在上的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C. 【详解】对于A：令，则，所以，故正确； 对于B：令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确； 对于CD：，则， 因为，所以，所以，所以， 因为， 且， 所以，所以，即， 因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故D正确； 又因为，且，所以，故C错误； 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可． 【详解】由题设，可得，则. 故答案为： 13. 已知函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中实数满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】首先求出函数过定点坐标，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】对于函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象恒过定点， 又点在一次函数的图象上，所以，故， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为4. 故答案为：4. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数与的图象，进而得到，，且，整理可得，结合二次函数即可得结果. 【详解】当时，开口向上，对称轴为， 且，， 画出与的图象，如下： 则，， 所以， 故，即， 令，解得或6， 故， 其中， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）110 （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 17. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少 【解析】 【分析】 （1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得. （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值. 【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数； 函数在是减函数，所以不符合题意； 而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意； 所以选择函数. 由已知数据得： 解得： 所以， （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： 因为，所以，当时，y有最小值30. 所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L. 【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题. 18. 已知定义在上函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）是上的减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求得的值，然后再检验即可； （2）利用单调性定义判断并证明； （3）根据函数的单调性与奇偶性将问题转化为“在时能成立”，然后通过换元法求解出结果． 【小问1详解】 ∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴． 此时，， ∴是奇函数，满足题意， ∴． 【小问2详解】 是上的减函数，证明如下： ，设且， ∴， ∵且，∴， ∴，即， ∴是上的减函数． 【小问3详解】 ∵是上的奇函数， ∴不等式即为， ∵是上的减函数， ∴在时能成立， 令，则，当且仅当时取等号， 故在时能成立， ∴， 令， ∵上均单调递增， ∴在上单调递增， ∴， 故． 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. 【小问1详解】 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． 【小问2详解】 函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数图象不是关于原点的弱中心对称图形； 【小问3详解】 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$