5.2 第3课时 角平分线的性质教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 2 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质 ※教学目标※ 1.探索并证明角的平分线的性质。（重点） 2.能用角平分线的性质解决简单问题。（难点） 3.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性。 ※教学过程※ 一、新课导入 [情境导入] 你发现了什么图形？ 角。 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？ 二、新知探究 （一）角的轴对称性 [提出问题]如图，将∠AOB对折，你发现了什么？ [归纳总结]角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 （二）角平分线的性质 [提出问题]如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和点D’，连接CD和CD’。 （1）你认为线段CD和线段CD’之间有什么关系？ 解：CD=CD’。 （2）特别地，当CD⊥OA时，CD’与OB有怎样的位置关系？此时，线段CD和线段CD’还有（1）中的关系吗？ 解：此时CD’⊥OB，CD=CD’。 由此你能得到什么结论？ 已知：如图，已知∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 试说明PD = PE。 解：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO =∠PEO = 90°。 在△PDO和△PEO中， 因为∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC，OP = OP， 所以△PDO≌△PEO（AAS）。 所以PD= PE。 [归纳总结]角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： 因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB， 所以CD = CE。 注意：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 [针对练习] 判一判：（1）因为如下左图，AD平分∠BAC（已知）， 所以BD=CD （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。（×） (2)因为如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB（已知）， 所以BD=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。（ √ ） [典型例题]例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是点D，E，PD=4cm，则PE=__4____cm。 解析：因为AM 是∠BAC的平分线， PD⊥OB,PE⊥OC， 所以PD=PE=4。 [针对练习] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14。 (1) 则点P到AB的距离为 4 ； (2) △APB的面积为 28 。 （三）角平分线的作法 [典型例题] 例2 如图。 （1）已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。 解：作法： ① 在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE。 ②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径画弧， 两弧在∠AOB内相交于点C。 ③作射线OC。 射线OC就是∠AOB的平分线。 （2）你能说明这样作的道理吗? 解：连接CD，CE，则CD=CE。 在△OCD和△OCE中， 因为，，， 所以△ACD≌△ACB（SSS）， 所以∠COD=∠COE， 所以OC平分∠AOB。 [针对练习]先任意画一个角，然后将它四等分。 作法：画出已知角∠AOB 。 1.作∠AOB 的平分线OC。 2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE，即将∠AOB四等分。 三、课堂小结 四、课堂训练 1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　C　） A． B．2 C．3 D．4 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　D　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F， 因为AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 所以DF=DE=2， 解得AC=3。 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC。试说明BD＝DF。 解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， 所以DC＝DE。 在△DCF和△DEB中，因为DC=DE,∠C=∠BED,CF=BE, 所以△DCF≌△DEB（SAS）。所以BD＝DF。 4.如图，某城市公园里有三个景点A，B，C，直线l1，l3表示直路，而l2表示弯路。想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等。求点P的位置。 解：如图，点P即为所求。 五、布置作业 ※教学反思※ 本课时探索角的轴对称性。本课教学设计较好地体现了“教为主导， 学为主体，探索为主线，思维为核心”的教学理念，在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$