山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期期末调研测试数学试题

吕梁市2024-2025学年高三第一学期期末调研测试 数学试题 (本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的 指定位置上。 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无效。 4.保持卡面消洁，不折在，不破损。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数z=1-(i为虚数单位)，则z的虚部为 A.1 B.i C.-1 D.-i 2.已知集合A={2,3,4,5},B={x|x>3},则A∩B= A.13,4,5} B.{4,5引 C.{x|x>3 D.0 2,x≤0； 3.若函数f(x)=1og,x>0则f1]= A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知à=（1，入)，=（入，1），则“λ=1”是“a∥"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若抛物线y=子的准线为直线1，则截圆C:2+广=4所得的弦长为 A.√3 B.2W3 C.1 D.2 6.已知ain(a+B)=cos(a-B),tan atanB=3,则tan(a+B)= A.-2 B.2 c号 D. 高三数学第1页（共4页） 7.已知函数f(x)=x-x1n,当x∈（1，+∞)时f(x)<-x恒成立，则实数k的取值范 围为 A.（-∞，0) B.(-∞，0] C.(-∞，-1) D.（-0,-1] 8.已知函数f(x)=(x-1)3sinωx(ω>0)，若存在常数a∈R,使f(x+a)为奇函数，则 ω的最小值为 A B晋 C.T D罗 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知数列{a.}的通项公式为an=2n-15,Sn为其前n项和，则下列说法正确的是 A.{a}是首项为-13，公差为2的等差数列 B侣是首项为-13，公差为1的等差数列 C.n=7或8时，Sn取得最小值 D.若Sn>0,则正整数n的最小值为15 10.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，P为四边形BCC,B,内（含边界）的一个动点，且 BD,⊥AP,则 A.AP与DC,一定是异面直线 B.三棱锥A1-ADP的体积为定值 C.AP∥平面ADC, D.异面直线AP与A,D所成角的范围为[写，罗) B 11.定义：在平面直角坐标系x0y中，到两定点F(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a (α>O)的点的轨迹称为双纽线C.右图的四叶花瓣曲线可看作由双纽线C绕原点 旋转90°后所得曲线与双纽线C共同组成.下列说法正确的是 A.双纽线C的方程为(x2+y)2=2a2(x2-y2) B.若P为双纽线C上任意一点，则PF·PF的最大值为2a2 C.:直线y=x截四叶花瓣曲线所得弦长的最大值为2W2a D.阴影区域的面积不小于22a 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2+a,则a= 13.若圆台的上下底面半径分别为7，r2,且r·2=2,则该圆台内切球的表面积 为 4已知F,分别是双曲线多-1(@>0,6>0)的左右焦点，以0g(0为坐标 原点)为直径的圆与双曲线的商近线y=名交于点卫，PR,与双曲线的左支交于点 Q,若0Q∥PF2,则双曲线的离心率为 四、解答题：本题供5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AC,且平面 PAC⊥平面PBC,E为棱PC的中点，过点E作EF⊥PB交 PB于点F,连接AE,AF (1)求证：AC⊥BC; B (第15小题图) (2)若平面AF与平面M8C的夹角的大小为号，求C的值， 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e-ax+a(aeR),g(x)=(3-2x)e2 (1)求函数∫(x)的单调区间； (2)求函数f(x)的极值； (3)若x为函数f(x)的极值点，则称（∫(x)为函数∫(x)的“靓点”.证明：g(x)上 任意一点都有可能成为∫(x)的“靓点”. 高三数学第3页（共4页） 1?(本小满分15分) i记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B-bcos C=2 bcos Acos B,B 为锐角. (1)求证：sin(C-B)=sin2 Bcos A; (2)求B; (3)若∠BAC=7受，AB=4,四边形ABDC内接于圆0，求△ABD面积的最大值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+苦=1a>6>0经过4(1，号).B2,0)两点， (1)求椭圆C的方程； (2)已知点T(4,0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点，连接NT交椭圆于点P(异 于点N),若直线PM过点(1,0)，求△PBW的面积. 19.（本小题满分17分) 如图，在横坐标为，的点处作f(x)的切线，该切线与x轴 的交点为；在横坐标为x的点处作f(x)的切线，该切线 与x轴的交点为x;一直继续下去，得到数列{x}. f（x） (1)求证：x1=-(x) 3/ (2)若函数f(x)=-x-6,记a,=n多+2 (第19小题图) x。-3,a1=2,xn>3. (i)求数列{a,{的通项公式； (ii)在a,与a1之间插人n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数 列，在数列{d}中是否存在3项dm,d,d,(其中m,飞，p成等差数列)成等比数 列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 高三数学第4页（共4页）吕梁市2024-2025学年第一学期期末调研测试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 C B C A B A D D 1.C.:=1-i的虚部为-l,故选C. 2.B.AnB=4,5},故选B. 3.c.f/0小=fog1)=f〔0)=2°=1，故选c. 4.A.由aW6,得=1，所以元=l,所以元=1是a∥6的充分不必要条件，故选A 5By=可变形为=4，共准线方程1：y=-1,直线1酸C:+=4所得的法长为24可=25。 故选B. 6.A.由sin(a+)=cos(a-B)得，sinacos B+cosasin B=cosacos B+sinasin B 两边同除以cosa cos B,得tana+tanB=1+tan a tan B=4 tana+tan B 4 所以tan(a+B)=i-tan c tan-2 =-2,故选A 7.D.由f(x)<-x2,得k<xlnx-x,令g(x)=xlnx-x(x>),则g(x)=lnx+1-1=lnx>0 所以g(x)>g(1)=-1,即k≤-1，故选D. 8.D.因为f(x)=(x-1)3 sin x(o>0),所以f(x+a)=(x+a-1)'sin[o(x+a水o>0), 因为存在常数aeR,使f(x+a)为奇函数，则a=l,此时y=sin[o(x+a]=sin(or+o)为偶函数， 所以0=受+红，ke2,因为@>0，所以@的级小值为号故速D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BC ACD 9.ABD.对于A选项，由an=a,+(n-1)d=dm+(a-d)=2n-15得a,=-13,d=2,故A正确： 对于B选项，由3=-13+2”-1)=-14n,得三=n-14,易得 首项为13，公差为1，故B正确： 2 第1页共7页 对于C选项，由于Sn=n2-14n,所以当n=7时，Sn取最小值，故C错误： 对于D选项，由Sm>0得n>14,故最小正整数n为15，故D正确故选ABD. 10.BC对于A选项，易证得BD⊥平面ACB,,故点P在平面ACB,内，又P为四边形BCC,B内（含边界）的一 个动点，故点P的轨迹为线段B,C,当点P与点B,重合时，AP∥DC,故A错误： 对于B选项，由B,C∥A,D可得B,C∥平面ADDA,所以，V-DP='n4D='c-4HD,即为定值，故B正确： 对于C选项，易证得平面ACB,∥平面A,DC,又APc平面ACB,故AP∥平面A,DC,故C正确. 对于D选项，因为A,D∥B,C,所以AP与B,C所成角即为异面直线AP与AD所成角，当P与B或C重合时，所 求角最小为号，当P为BC的中点时，所求角最大为子·所以。异面直线AP与AD所成角的范围为 321 故D错误故选BC. 11.ACD对于A选项，设P(x,)为曲线C上任一点，|PE上√(x+a+y,IPFE(x-a+ 因为P听IPF上d,所以(Nx+a}+yWx-a+y)=a.展开可得(x+a2+y(x-a+y)=a. 进一步展开(x2+2m+a2+y2)(x2-2am+a2+y2)=a.令m=x2+y2+d2,则(m+2am-2a)=a,即 m2-4d2x2=a2.将m=x2+y2+ad2代回得(x2+y2+a2)2-4a2x2=a.展开(x2+y22+2a2(x2+y2)+a-4a2x2=a 整理得(x2+y)2=2a2(x2-y),故A正确： 对于B选项，因为点P为双纽线C上任意一点，所以∠FPF∈0，π]，即cos∠FPF∈【1，，故 PF·PF=PF PFcos∠FPF3sa2,· 故B错误： 对于C选项，由P,PF=P6-O2≤a2,得PO≤√2a,故直线y=:截四叶花瓣曲线所得弦长的最大值 为2√2a,故C正确： 对于D选项由Sws=PP5in∠RPR=方x2aM,可知-号n∠RP5号所以-号5y号 又-2a≤x≤a,所以阴影g域的面积必大于a号24=25a2故D正确，放选AcD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.4 a3=S3-S2=4 故答案为：4. 第2页共7页 13.8元 如图，AB为圆台的母线长，D,C分别为上、下底面的圆心，点O为内切球的球心，点E 为球O与圆台侧面相切的一个切点 E 则由题意可得：AB=AE+BE=AD+BC=片+5， CD=√AB-(BC-AD2=VG+5)2-(G-5)=√45=22. 因此可得：内切球半径r= CD=反，即得内切球的表面积为4知2=8r: 2 故答案为： 8π 14.2 因为OQ∥PF2,O是FF2的中点，所以Q为FP的中点， 由题意，得PF山OP,所以点FC,O到渐近线y=x的距离dPF卡 a 上bdL=b,又e0Fc,所以 Va+b cos∠PF,O= P四-，连接QF,易知QF)PF乡则由双曲线的定义可知QF时QF2a FO +2a, 6 在△QFF中，由余弦定理，得cos∠QF,F=4 +4c2-(2a+ 2.b.2c =b,整理，得a=b,所以双曲线的离心率 a2+b2 =√2 a 故答案为√互， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)因为PA=AC,E为PC的中点，所以AE⊥PC, 又因为平面PAC⊥平面PBC,平面PACO平面PBC=PC,AEC平面PAC, 所以AE⊥平面PBC, 2分 BCC平面PBC,因此AE⊥BC 3分 由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,得PA⊥BC. -4分 又PAOAE=A,PA,AEC平面PAC,所以BC⊥平面PAC, 5分 即AC⊥BC. -6分 (2)如图，以C为坐标原点，射线CA,CB分别为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设PA=AC=1,BC=入，则P(1,0,1),A(1,0,0),B(0,1,0), 7分 第3页共7页 由于PA⊥平面ABC,所以AP=(0,0,1)是平面ABC的一个法向症， 8分 由(1)知，BP⊥AE,又EF⊥BP,AEEF=E,AE,EFC平面AEF,所以，BP⊥平面AEF,所以 BP=(1,-,)是平面AEF的一个法向量. -10分 若面AF与面A8C夹角的大小为号 π BP.AP 1 则cos BP AP V2+2 解得2=反，所以4C=1=V2 -12分 BC A 2 故当平面AEF与平面ABC的夹角的大小为时，4C= ---13分 BC 2 16.【详解】(1)f'(x)=2e2-a, -1分 当a≤0时，∫"(x)>0恒成立，∫(x)在R上单调递增： -2分 当a>0时，由2e0-a=0,科产-号X=号 1,a 22 当x<分n号时，f)<0,fd在(-n学上单调递流， 2 2 当x心热时，f八>0，倒在（兮号，网上单调港 5分 2 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间： 当a>0时，了似的单调送减区间为(-受，单调法瑞区间为兮加号回 -6分 2 (2)由(1)知当a≤0时，>0恒成立，此时/)无极值. -7分 当a>0时，由(1)知， 3 --10分 22 222 综上，当a≤0时，)无极值： 当a>0时，fum-号0-号n号，无极大值 11分 22 g)由2知，Wa+a-到0-号 第4页共7页 故的“点”为号0-号引 --12分 令号n号=teR),则号=e2,所以f()的“靓点"为，B-20e）,在曲线y=g()上， 22 因为1∈R,故g(x)上任意一点都有可能成为f(x)的“靓点”. -15分 17.【详解】(1)因为ccosB-bcosC=2 bcosAcos B,由正弦定理，a b sinA sin B sinC ，-1分 sinC cos B-sin BcosC=2sin Bcos Acos B, 所以sin(C-B)=sin2 Bcos A. 3分 (2)因为sin(C-B)=sin2 Bcos A,所以sin(π-B-A-B)=sin2 Bcos A, 5分 sin(2B+)=sin2Bcos A 所以cos2 Bsin A=0, -6分 由A∈(0，π)得sinA>0, 所以cos2B=0,2Be(0,2元，所以2B=花或2B=3T， 2 -…7分 因为B为锐角，所以B= 4 -8分 回法：在△0中，∠BMC-受，∠B=晋∠BC1=号 所以∠BDA= 4 -10分 由cos∠BDA=BD+AD2-162 2BD·AD 2 得BD2+AD2-16=√2BD·AD≥2BD·AD-16, -12分 所以BDAD≤，165=82+2，（等号当BD=AD=24+2W万时取得）. -13分 所以△1a0面为0A0-sm受对2+号4+45。 -14分 即所求最大值为4+42. -15分 法二：在四边形ABDC的外接圆内考虑，因为∠BAC=T 则R△ABC的外接圆直径为BC=√2AB=4V5, -11分 D是圆O上动点，所以△ABD面积取最大值时高最大，即D点到AB距离最大， 此时最大距离为圆心O到AB距离加半径2， 第5页共7页 在直角三角形ABC中可知，圆心O到AB距离 AC=2, 2 所以高的最大值为2+2√2， --14分 所以△BD面积的最大值为4B九s=方4×2+2)=4+45 -15分 18.【详解)少迪题意，符4=1，a=2,又因为了 。+是=1，所以b=1, 故椭圆C的方程为 4+y2=1. -5分 (2)法一：由题意，得直线PM斜率不为0，故设lw:x=四y+1,M(x,乃，P(2,),则N(-x,-乃) 由T,PN三点共线，得(4+x(-为2)=(4-x2)片，即(y1+5(-y2)=(-my3+3)y1, 所以-5y2=3y① -8分 任+y=-180m2+4r+2m-3=0 由4 x=y+1 所以y+2=一 2m②，ym244③ ---10分 m2+4 联立①②③可得m=±1 ---13分 由对称性可知两种情况面积相同，故只考虑m=1 3 此时头=-1，= --15分 Swm=3m-wg=-为 17分 法二：由题意，得直线PM斜率不为0，故设1pw:x=my+1,M(x,乃，P(x2,),则N(-x,-) +y=1a0m+4y2+2m-3=0 由4 x=my+1 所以为+》2=一 m+4hy=-3 2m -7分 m2+4 所以kw+kn=片+五=：-4)+(3-4-(m-3)+(my-3) -4x2-4(x1-4)(x2-4) (x1-4(x2-4) =2m4-30+22m:3 +3.2m 2mm2+4m2+4=0, --10分 (x1-4)(x2-4) (x1-4x3-4) 第6页共7页 即kw=-km,所以直线TM,TN关于x轴对称，即M关于x轴的对称点M'在直线TN上 又M,N关于原点对称，T为x轴上一点，所以M,N分别为上、下项点， 13分 由于对称性，只需研究N为下项点即可， 此时1p,:x-4y-4=0,联立椭因即得为=一 3 ---一15分 5ww=5m一5wg号p1-号 …17分 19.【详解】(I)函数f(x)在点(xmf(xn)处的切线斜率为f(), --1分 所以函数y=fx)在点(x,f(x)处的切线方程为y-fxn)=f(x)x一xn), ---3分 因为切线过点（xn+,0),所以0一f(x)=f(x)(xn+1一x), 解得x+1一xn一f示 f() …5分 (2)().因为f(x)=x2-x-6,所以f(x)=2x-1 -6分 名+文-x1+2 2-子x+1-3a-3 2x%-1 --8分 -(》 -10分 a+1-=2n点t2 则n+t2 ,-→an+1=2a, -11分 又a1=2,则{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，an=2n, ----12分 (.由(i)知am=2a+1=2n+1, 所以a1=an+(m+2-1)dn, 所以dn==2” -13分 n+1n+1 假设数列{d]中存在3项dm'dk:d:(其中m,k,p成等差数列)成等比数列， 则d=dm·dp,m,k,p互不相等， 所以('-品品即品0可 2m+伊 --15分 又因为m,k,p成等差数列，所以2k=m+p,所以(k+1)2=(m+1)p+1) 化简得k2+2k=mp+m+p,所以k2=mp,又2k=m+p,所以k=m=p与已知矛盾. 所以在数列{dn中不存在3项dm,dk,d,成等比数列. -17分 第7页共7页