陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年陕西省西安市鄠邑区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）一个螺母如图放置，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列四个命题中不正确的是（　　） A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形 3．（3分）一个矩形的两邻边的长是一元二次方程x2﹣8x+13＝0的两个根，则这个矩形的面积是（　　） A． B．8 C．16 D．13 4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝3，则S菱形ABCD为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 6．（3分）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的高度是（　　） A．4+米 B．4+米 C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米 7．（3分）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是2.5h，则该高铁的平均速度为（　　） A．180km/h B．240km/h C．280km/h D．300km/h 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，在边CD上取一点E，将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F．则CE等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，1），B（4，2），C（6，n）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则n的值为 　 　． 10．（3分）如图，电路上有3个开关S1、S2、S3和1个小灯泡L，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为 　 　． 11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AB＝2，△ADE的面积与△ABC的面积比为4：9，那么AE的长为 　 　． 12．（3分）一座堤坝的横截面是梯形ABCD，各部分的数据如图所示，坝底AD长为 　 　m．（结果保留根号） 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　 　． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14．（5分）计算：2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°． 15．（5分）计算：． 16．（5分）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）． 17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）若方程有实数根，求k的取值范围． 18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．∠ABC的平分线交AC于点D，若CD＝3，求cosA的值． 19．（5分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC2＝AD•AB． 20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形． 21．（6分）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14） 22．（7分）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明（用图中线段AB表示）落在地面上的影长BC＝2.4m．已知AB⊥BE，DE⊥BE，B、C、E在同一水平直线上． （1）请你在图中画出旗杆DE在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG； （2）若测得此刻旗杆落在地面上的影长EG＝16m，请求出旗杆DE的高度． 23．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 24．（8分）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 　； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 25．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 26．（10分）【提出问题】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，点D不重合），求出四边形OECF的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园ABCD，AC，BD为人行步道，且交于点O．要在菜园的下方建一四边形储藏间OECF，已知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC＝∠EOF＝60°．若四边形储藏间OECF的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园ABCD围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 2024-2025学年陕西省西安市鄠邑区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C C B B B 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）一个螺母如图放置，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得，是一列两个小正方形，每个小正方形中间有一条横向的虚线． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 2．（3分）下列四个命题中不正确的是（　　） A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形 【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定定理判断． 【解答】解：A、对角互补的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，本说法错误，符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的判定定理以及正方形的判定定理是解题的关键． 3．（3分）一个矩形的两邻边的长是一元二次方程x2﹣8x+13＝0的两个根，则这个矩形的面积是（　　） A． B．8 C．16 D．13 【分析】利用根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：∵矩形的两邻边的长是一元二次方程x2﹣8x+13＝0的两个根， ∴两邻边的积为：13， 即矩形的面积为：13． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根为x1和x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切函数的定义，勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数的定义，可得答案． 【解答】解：tanA＝＝， 设BC＝2x，AC＝3x，勾股定理，得 AB＝＝x， sinA＝＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用正切函数的定义，勾股定理得出AB的长是解题关键． 5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝3，则S菱形ABCD为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝3可得BD＝6，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH， ∵OA＝4，OH＝3， ∴AC＝8，BD＝6， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝8×6＝24． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 6．（3分）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的高度是（　　） A．4+米 B．4+米 C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米 【分析】原来树的长度是（PB+PA）的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长． 【解答】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4； ∴PB＝PA÷sin40°＝； ∴PA+PB＝4+． 故选：B． 【点评】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键． 7．（3分）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是2.5h，则该高铁的平均速度为（　　） A．180km/h B．240km/h C．280km/h D．300km/h 【分析】由设，再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把t＝2.5h代入函数解析式求解v的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【解答】解：由题意设， 把（200，3）代入得：k＝tv＝200×3＝600， ∴， 当t＝2.5h时，km/h， 所以列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h， 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，在边CD上取一点E，将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F．则CE等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由矩形的性质推出CD＝AB＝9，AD＝BC＝15，∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得到：AF＝AD＝15，DE＝EF，由勾股定理求出BF＝＝12，得到CF＝BC﹣BF＝3，CE＝x，由勾股定理得到（9﹣x）2＝x2+32，求出x＝4，得到CE＝4． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝9，AD＝BC＝15，∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质得到：AF＝AD＝15，DE＝EF， ∴BF＝＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝3， 令CE＝x，则EF＝DE＝9﹣x， ∵FE2＝CE2+FC2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴CE＝4． 故选：B． 【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于CE的方程 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，1），B（4，2），C（6，n）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则n的值为 　﹣1　． 【分析】首先根据﹣6×1≠4×2可排除反比例函数不可能经过A，b两点，然后分两种情况进行讨论：①当反比例函数经过A、C两点；②当反比例函数经过B、C两点，最后根据函数图象上的点满足函数的解析式可求出n的值． 【解答】解：∵﹣6×1≠4×2， ∴反比例函数不可能经过A、B两点， ∴有以下两种情况： ①当反比例函数经过A、C时，6n＝﹣6×1， ∴n＝﹣1， ②当反比例函数经过B、C时，6n＝2×4， ∴， 此时点C的坐标为（6，）与点A都在第一象限，不合题意，舍去． 综上所述：n的值为﹣1． 故答案为：﹣1 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上，难点是依题意进行分类讨论． 10．（3分）如图，电路上有3个开关S1、S2、S3和1个小灯泡L，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为 　　． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： S1 S2 S3 S1 （S1，S2） （S1，S3） S2 （S2，S1） （S2，S3） S3 （S3，S1） （S3，S2） 共有6种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：（S1，S2），（S1，S3），（S2，S1），（S3，S1），共4种， ∴任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为＝． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AB＝2，△ADE的面积与△ABC的面积比为4：9，那么AE的长为 　　． 【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，证明△AED∽△ABC，则＝＝，求得＝，所以AE＝AB＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∵△ADE的面积与△ABC的面积比为4：9， ∴＝＝， ∴＝或＝（不符合题意，舍去）， ∴AE＝AB＝×2＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AED∽△ABC是解题的关键． 12．（3分）一座堤坝的横截面是梯形ABCD，各部分的数据如图所示，坝底AD长为 　　m．（结果保留根号） 【分析】过点B作BF⊥AD于点F，根据勾股定理求出AF，根据坡度的概念求出DE，进而求出AD． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F， 则BF＝CE＝4m，EF＝BC＝4.5m， 在Rt△AFB中，AB＝5m，BF＝4m， 由勾股定理得：AF＝＝＝3（m）， ∵斜坡CD的坡度i＝1：，CE＝4m， ∴DE＝4m， ∴AD＝AF+EF+DE＝3+4.5+4＝（m）， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　　． 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案． 【解答】解：连接PO， ∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15， ∴PE+PF＝， 故答案案为：． 【点评】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14．（5分）计算：2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245° ＝2×+﹣×+（）2 ＝1+﹣1+ ＝1． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 15．（5分）计算：． 【分析】先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、算术平方根的运算法则计算，再合并即可． 【解答】解： ＝4﹣2× ＝4﹣ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．（5分）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）． 【分析】利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：x2+12x+27＝0， x2+12x＝﹣27， x2+12x+36＝9， （x+6）2＝9， x+6＝±3， 所以x1＝﹣9，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）若方程有实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）由于x＝2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值． （2）根据根的判别式公式，令Δ≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可． 【解答】解：（1）把x＝2代入x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0得k2﹣4k+2＝0， 解得； （2）∵方程有实数根， ∴Δ＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2）≥0， ∴． ∴k的取值范围为． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．∠ABC的平分线交AC于点D，若CD＝3，求cosA的值． 【分析】过点D作AB的垂线，先利用角平分线的性质，再结合余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵BD平分∠ABC，且∠C＝90°，DM⊥AB，CD＝3， ∴DM＝CD＝3． 又∵AC＝8， ∴AD＝8﹣3＝5． 在Rt△ADM中， AM＝＝4， ∴cosA＝． 【点评】本题主要考查了解直角三角形、角平分线的性质及勾股定理，熟知角平分线的性质、余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 19．（5分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC2＝AD•AB． 【分析】由∠CDA＝∠ACB，∠A＝∠A，证出△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB＝AD：AC，即可得出结论． 【解答】证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AD•AB． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键． 20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形． 【分析】已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证． 【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵D为BC中点， ∴CD＝BD． ∴CD∥AE，CD＝AE． ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法，关键根据等腰三角形三线合一的性质解答． 21．（6分）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14） 【分析】根据题意得到∠ADC＝65°，∠ABC＝25°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ADC中，AC＝25米， ∴， ∴CD＝≈≈11.68（米）， 在Rt△ABC中， tanB＝＝≈0.47， ∴BC≈53.19米， ∴BD＝BC﹣CD≈42（米）． 答：湖宽BD约为42米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 22．（7分）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明（用图中线段AB表示）落在地面上的影长BC＝2.4m．已知AB⊥BE，DE⊥BE，B、C、E在同一水平直线上． （1）请你在图中画出旗杆DE在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG； （2）若测得此刻旗杆落在地面上的影长EG＝16m，请求出旗杆DE的高度． 【分析】（1）画DG∥AC，DG交BC于点G，线段EG即为所求； （2）根据△ACB∽△DGE，推出＝可得结论． 【解答】解：（1）如图，线段EG即为所求； （2）∵AC∥DG， ∴∠ACB＝∠DGE， ∵∠ABC＝∠DEG＝90°， ∴△ACB∽△DGE， ∴＝， ∴＝， 解得DE＝（米）． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的应用，平行投影，解题的关键是理解题意，掌握平行投影的性质． 23．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3），将B（2，3）代入反比例函数表达式得到，从而求出A的坐标是（﹣3，﹣2），再利用待定系数法确定一次函数的函数表达式即可得到答案； （2）数形结合，根据函数与不等式的关系求不等式的解集即可得到答案． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过B（2，3）， ∴m＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为； ∵A（﹣3，n）在上，则， ∴A的坐标是（﹣3，﹣2）， 把A（﹣3，﹣2）、B（2，3）代入y＝kx+b， 得，解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）根据题意，数形结合，由图象可知，不等式的解集是﹣3≤x＜0或x≥2． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，函数图象的关系解不等式等，熟练掌握函数图象与性质是解决问题的关键． 24．（8分）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　　； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【分析】（1）由题意知，B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分．转动B盘，共有3种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°， ∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分， ∴指针指向蓝色扇形区域的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 蓝 红 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （黄，蓝） （黄，红） （黄，红） 红 （红，蓝） （红，红） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有（蓝，红），（蓝，红），（红，蓝），共3种， ∴同时转动A盘和B盘，配成紫色的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 25．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD＝OB， ∵DE＝BF， ∴OD+DE＝OB+BF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形． （2）解：∵AC平分∠EAF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4， ∴CE∥AF，OC＝OA＝4， ∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE， ∴四边形AFCE是菱形， ∵∠AEC＝60°， ∴△EAC是等边三角形， ∴AE＝AC＝8， ∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32， ∴四边形AFCE周长是32． 【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键． 26．（10分）【提出问题】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，点D不重合），求出四边形OECF的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园ABCD，AC，BD为人行步道，且交于点O．要在菜园的下方建一四边形储藏间OECF，已知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC＝∠EOF＝60°．若四边形储藏间OECF的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园ABCD围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）找BC的中点G，连接OG，证明△OEG≌△OFC，可得储藏间OECF的面积为菱形面积的，即可求得菱形菜园ABCD的面积，即可解答． 【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴S正方形ABCD＝22＝4，OC＝OD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△OEC≌△OFD（ASA）， ∴S△OEC＝S△OFD， ∴S四边形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD＝S正方形ABCD＝1； （2）如图，找BC的中点G，连接OG， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AC⊥BD，∠OBC＝30°， ∴OG＝BC＝OC， ∴∠GOC＝∠OGC＝∠OBG+∠BOG＝60°，∠OCF＝60°， ∵∠EOF＝60°， ∴∠GOE＝60°﹣∠EOC＝∠COF， ∴△OEG≌△OFC（ASA）， ∴储藏间OECF的面积等于OGC的面积， ∴菱形的面积＝8S△OGC＝8S四边形OECF＝8×＝32（m2）， 设AB为x m， 则AO＝AB＝x（m）， ∴BO＝x（m），BD＝x（m）， 可得方程＝32， 可得x＝8（负值舍去）， ∴AB＝8m， 8×4＝32（m）， 答：菱形菜园ABCD围一圈篱笆需要32m． 【点评】本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$