精品解析：河南省郑州市金水区一八初级中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年上期期末质量评估 九年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是( ) A. ﹣5 B. 2 C. 3 D. 5 2. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝(　　) A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A. 相等弦所对的弧相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 相等圆心角所对的弦相等 8. 圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 2πm2 B. 3πm2 C. 6πm2 D. 12πm2 9. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的两根分别为_____． 12. 若，则_____． 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为，则_____． 14. 某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为_____元能获得最大利润． 15. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）解方程：； （2）． 17. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育运动项目：A．足球B．篮球C．射箭D．羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种体育运动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的射箭项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加射箭比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）在坐标系中画出关于轴的对称图形； （2）在坐标系中原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为2的位似图形，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 19. 如图，已知是上的四点，延长相交于点．若，试说明的形状，并说明理由． 20. 中原福塔作为郑州市地标性建筑之一，现已成为外地游客到郑州旅游打卡的网红地．如图，为测量福塔顶部处的高度，某数学兴趣小组在福塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部B处的俯角为．已知建筑物的高约为米，请计算中原福塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：） 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 22. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． （1）求篮圈中心到地面的距离为多少米． （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 23. 问题提出 如图1，点把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）如图1，、是线段的勾股分割点，且，，则的长为_____； 问题证明 （2）如图2，中，，折，使得点都与重合，折痕分别为，求证：点是线段的勾股分割点； 迁移应用 （3）如图3，正方形中，分别交与点．若．请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上期期末质量评估 九年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是( ) A. ﹣5 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是﹣5， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，可得共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种， ∴该小孩为女孩的概率为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式．把代入函数解析式得到，即可得到该反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入得到 ， 解得， ∴该反比例函数的表达式为， 故选：C 4. 如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝(　　) A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的过程知道：AP是∠CAD的角平分线，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：∵正方形ABCD，∴∠DAC=∠BAC=45°,AD∥CP,由作图可知AP为∠DAC的平分线，∴∠DAP=∠DAC=22.5°, ∵AD∥CP, ∴∠P=∠DAP=22.5°,故答案为22.5°. 【点睛】本题考查了作图，角平分线的性质，根据作图的步骤推知AP是∠CAP的角平分线，是解题的关键． 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 6. 已知点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，先求出关于y轴的对称点为，再根据在y轴左侧，y随着x的增大而增大，，得到即可． 【详解】解：函数图象开口向下，对称轴为y轴， ∴关于y轴的对称点为， ∵在y轴左侧，y随着x的增大而增大，， ∴． 故选：C 7. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A. 相等弦所对的弧相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 相等圆心角所对的弦相等 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误． 解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误； B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确； C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确； D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确． 故选A． 考点：圆心角、弧、弦的关系． 8. 圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 2πm2 B. 3πm2 C. 6πm2 D. 12πm2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵AC⊥OB，BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOD， ∴，即， 解得：BD＝2m， 同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m， ∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）． 故选B． 【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键． 9. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，在网格中找到平行的线段是解题的关键，根据线段成比例即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知 故选C． 10. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的两根分别为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解： ∴或 ∴，， 故答案为：，． 12. 若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由可设，再代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴，则，故，然后根据比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为_____元能获得最大利润． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克， ∴ ， ∵， ∴当每千克定价为元时，每天利润最大， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ， ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）解方程：； （2）． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （）将特殊角的三角函数值代入即可求解； 本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算以及解一元二次方程，掌握因式分解法求解一元二次方程和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：（） 或 ∴，； （）原式 ． 17. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育运动项目：A．足球B．篮球C．射箭D．羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种体育运动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的射箭项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加射箭比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 【答案】（1）200 （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的识别、概率的求法： （1）根据图中A的人数及其占扇形的圆心角即可求出总人数； （2）用总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而可补全条形统计图； （3）画出树状图求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得这次被调查的总人数为：（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：C的人数：60（人），补全图形，如图所示： ； 【小问3详解】 解：画出树状图： 总共12种可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种， 故概率为． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）在坐标系中画出关于轴的对称图形； （2）在坐标系中原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为2的位似图形，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，作出图形，在网格中直接读出点的坐标； （3）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求，； 【小问3详解】 解：如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查作图位似变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形，属于中考常考题型． 19. 如图，已知是上的四点，延长相交于点．若，试说明的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．理由见解析． 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，求出， 即可得出，从而判定等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形． 理由如下：∵是上的四点， ∴， ∵， ∵ 即是等腰三角形． 20. 中原福塔作为郑州市地标性建筑之一，现已成为外地游客到郑州旅游打卡的网红地．如图，为测量福塔顶部处的高度，某数学兴趣小组在福塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部B处的俯角为．已知建筑物的高约为米，请计算中原福塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 过点D作于点M，由题意可得四边形是矩形，由矩形的性质可得米；在中，得到，解得米，由，，得到米，即可得到中原福塔的高的值． 【详解】解：过点D作于点M，由题意可得四边形是矩形， ∴米， 在中，，米， ， ∴， 解得，米； ∵，， ∴米， ∴（米）． 答：中原福塔的高约为米． 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 22. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． （1）求篮圈中心到地面的距离为多少米． （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】（1）3.05米； （2）0.2米； （3）1米； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【小问1详解】 解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； 【小问2详解】 解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； 【小问3详解】 解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 23. 问题提出 如图1，点把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）如图1，、是线段的勾股分割点，且，，则的长为_____； 问题证明 （2）如图2，中，，折，使得点都与重合，折痕分别为，求证：点是线段的勾股分割点； 迁移应用 （3）如图3，正方形中，分别交与点．若．请直接写出的长． 【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）分为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可； （2）先求出的度数，由折叠的性质可得，则可求出，在中，由勾股定理得，则， （3）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，再证明，则勾股定理得到，设，则，则，解得即可． 【详解】（1）解：当为直角边时，则； 当为斜边时，则； ∴的长为或； （2）证明：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点E、F是线段的勾股分割点； （3）∵四边形是正方形， ∴ 将绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴，解得， 即的长为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、解一元二次方程、旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $