精品解析： 重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了实数的大小比较，注意：0大于一切负数；正数大于0． 根据0大于一切负数；正数大于0解答即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：C． 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图．从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 4. 若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质，根据反比例函数的图像经过第二、四象限得到，即可判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴在第四象限， 故选：D． 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线“三线合一” C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定方法进行分析即可求解． 【详解】解：A、两条相互平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原选项错误，不符合题意； B、等腰三角形的底边上的高线，中线，顶角的平分线“三线合一”，故原选项错误，不符合题意； C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，符合题意； D、四边相等的四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了“三线八角”，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根式的运算及根式的估算，先根据根式的运算法则求出值，再估算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故选：B． 7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，先列式计算，再根据表格中的信息即可得解． 【详解】解：天干为：， 地支为：， ∴2025年为农历乙巳年， 故选：A． 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及旋转性质、等腰直角三角形的性质、扇形面积公式、勾股定理，得到阴影部分的面积关系是解答的关键．先根据等腰直角三角形的性质得，，由旋转性质得，，，，由图中阴影部分面积为求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴图中阴影部分面积为 ， 故选：B． 9. 如图，在边长为2的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，且经过线段的中点，延长交的延长线于点．则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接交于点，与交于点，根据正方形的性质可得，由此可证，可求出，在中运用勾股定理可得的值，再证，得到，则，最后证明，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，与交于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵，， ∵将AE绕点逆时针旋转得到AG， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴，则（负值舍去）， ∴， 在中，，、 ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断①；根据题中操作，发现规律可判断②；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求解析式，根据题意画出树状图，找到所有组合及需要组合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， 总共有：种组合，需要的有2种， ∴， 故答案为：． 13. 在等腰中，，点M，N分别是边，上的点，与相交于点，过点作交于点，若，且，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，先根据得到，结合平行线得到，，从而得到，即可得到，，再根据等腰三角形得到，得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查不等式组整数解问题及分式方程整数解，根据不等式组有且只有两个奇数解求出一个的取值范围，再根据分式方程有整数解求出一个的取值范围，最后求和即可得到答案； 【详解】解：解不等式组得， ， ∵不等式组有且只有两个奇数解， ∴，即， 解分式方程得，， ∵关于的分式方程有整数解， ∴为整数， 而，则 ∴或或9， ∴， 故答案为：． 15. 如图，为圆的直径，过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，弦于点，连接交于点，交圆于点，已知，则的长为________________；则的长为________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、、、、，如图，设圆的半径为r，先利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求解；证明，进而证明和，利用相似三角形的性质得到，则，再证明求得，进而可求解． 【详解】解：连接、、、、，如图， 设圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴中，由得， 解得，则； ∵为圆的直径， ∴，即， ∵过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴， ∴，又， ∴，则， ∴； ∵，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，能利用相似三角形的判定与性质求解是解答的关键． 16. 一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则________________；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为________________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“希福数”，根据“希福数”定义直接求解，即可得到答空1答案，先根据“希福数”得到与、的关系，再结合能被6整除求解即可得到答案； 【详解】解：∵为“希福数”， ∴能被9整除，即为整数，且， ∴， 故答空1答案为：2； ∵是“希福数”， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴ ∵能被6整除， ∴或或或或或或或， ∵能被整除， ∴最小值为，，，即， ∴最大值为，，，即， ∴， 故答空2答案为：． 四、解答题：本大题共8小题，17题16分，其余每小题10分，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的除法运算法则，整式的加减运算法则计算即可求解； （2）根据分式的性质，先计算括号里的，再计算分式的除法，最后根据分式的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：在平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 【答案】（1）如图所示，直线、线段和即为所求； （2），，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 【解析】 【分析】（）根据题意作图即可； （）由平行四边形的性质可得，即得，进而由线段垂直平分线的性质可证，得到，即得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形，同理可得四边形是矩形时，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在平行四边形中，， ， 垂直平分， ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 理由：同理上可得，四边形是菱形． 故答案为：，，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定是解题的关键． 19. 西大附中09届校友储卫民荣获“2024年感动重庆十大人物”提名奖．他策划拍摄的《火车看中国》《不一样的中国》《中国新塔》等系列作品，不仅仅是一幅幅美丽的风景照，更是一个个充满故事的画面，通过人物情感、表情与环境的互动，展现出中国人民的勤劳、善良和勇敢，向世界真实展现当代中国的发展变化，看到一个真实、美丽、充满活力的中国．小福是我校初三年级的学生，更是储卫民的粉丝，为了了解同学们对储卫民的喜爱程度，他在初三（1）班和（2）班各随机抽取了20位同学展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，共分成4组，其中A：为不喜欢，B：为比较喜欢，C：为喜欢，D：为非常喜欢），下面给出了部分信息：初三（1）班20名学生评分数据的扇形统计图如图所示：其中评分在D：的学生评分为：91，91，92，93，94，95，97，98，99，99，99，99，99，根据信息，解决下列问题： 初三（2）班20名学生的评分数据整理如表： 分数 70 81 83 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 1 2 0 1 3 2 4 1 5 两组数据的平均数，众数，中位数，如表所示： 班级 平均分 中位数 众数 初三（1）班 91.7 99 初三（2）班 91.7 93 （1）填空：____________，____________，____________． （2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢储卫民，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校初三年级共1600人，估计初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数？ 【答案】（1）92.5，100，20 （2） 解：我认为初三（2）班的同学更喜欢储卫民，理由是：初三（2）班的评分数据中位数和众数都高于初三（1）班的评分数据，故初三（2）班的同学更喜欢储卫民； （3）1120人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表、中位数、众数、样本估计总体等，根据题意进行正确求解和分析是解题的关键． （1）找出初三（1）评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即可求出a的值；初三（1）班评分在D：的学生所占的百分比，用1减去已知各项的占比，即可得到m的值；根据初三（2）的评分数据中出现次数最多的数据，即可求出b的值； （2）根据中位数、众数等方面分析即可得到答案； （3）用总人数乘以抽取的对储卫民“非常喜欢”的评分的所占百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：将初三（1）班评分数据从大到小排列，第10个数据是93，第11个数据为92， ∴中位数， ∵初三（1）班评分在D：的学生有13人，占， ∴； 根据初三（2）班表格数据，评分为100分的有5人，人数最多， ∴众数， 故答案为：92.5，100，20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有13人，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有15人， ∴初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数有人． 20. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 【答案】（1）茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； （2）花瓶的售价应降价3元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，本题考查一元二次方程解决销售利润问题： （1）设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，根据用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同列方程求解即可得到答案； （2）设花瓶的售价降价元，得到花瓶售出的数量为：，根据利润列方程求解即可得到答案 【小问1详解】 解：设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设花瓶的售价降价元， ∵花瓶的售价每降低1元，可多售出2个， ∴花瓶售出的数量为：， 由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：花瓶的售价应降价3元． 21. 如图1，在四边形中，，，连接．点从出发，沿运动，到点停止运动．点在上运动速度为每秒1个单位长度，在上运动速度为每秒个单位长度，设的运动时间为的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出的函数图象；并写出函数的一条性质； （3）若直线与函数的图象有2个交点，请结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：如图所示， 根据图示可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，有勾股定理可得，当点在上时，如图所示，过点作于点，连接，可得，求出，结合图形，三角形面积的计算公式即可求解； （2）运用描点，连线的方法作图即可，由图示信息即可得到函数图形的性质； （3）根据题意，直线过，当点在直线时，联立方程组求解，是否满足2个交点即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 在中，， 当点在上时，如图所示，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点在上运动速度为每秒1个单位长度，设的运动时间为， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即； 当点在上时，如图所示， ∵在上运动速度为每秒个单位长度， ∴点在上运动时间为， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）中的图形及解析式可得， 在中，当时，，当时，； 在中，当时，，当时，； 直线中，当时，，当时，， ∴直线过，如图所示， 当时，，则直线于函数的图象有一个交点， ∴； 当直线过点时，，则直线， ∴， 解得，，即直线于函数有两个交点，交点为，符合题意； 当直线过点时，，此时直线于函数只有一个交点，不符合题意； 综上所述，直线与函数的图象有2个交点时，． 【点睛】本题主要考查动点与函数图象，勾股定理，矩形的判定和性质，一次函数图象的性质，一次函数交点与二元一次方程组的运用，理解动点与函数的关系，一次函数图形的性质是解题的关键． 22. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 【答案】（1）米 （2）小希先到达处 【解析】 【分析】（1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得，，，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】（1） （2） （3） 解：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵将拋物线沿方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线， 则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴，解得，（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 当在上方时，如下图， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 则T坐标为； 当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 故即T的坐标为， 综上，满足条件的所有点T坐标为和． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可； （3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在上方时和当在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与轴交于两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设，，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，， 则，， ∵拋物线与轴交于两点， ∴点A、B关于直线对称， ∴， ∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 24. 如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转可得，，进而得出，，，解直角三角形，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而证明，得出，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （3）以为边在左侧作等边，连接，，证明得出，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，当运动到线段上时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵将线段绕点顺时旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接 ∵点为中点， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，即垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为边在左侧作等边，连接，， ∵点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点， ∴， ∵是的中点， ∴，即点在为圆心为半径的圆上运动， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴ 当运动到线段上时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，求一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 4. 若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线“三线合一” C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 四边相等的四边形是正方形 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，且经过线段的中点，延长交的延长线于点．则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 13. 在等腰中，，点M，N分别是边，上的点，与相交于点，过点作交于点，若，且，则的值为________________． 14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________________． 15. 如图，为圆的直径，过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，弦于点，连接交于点，交圆于点，已知，则的长为________________；则的长为________________． 16. 一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则________________；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为________________． 四、解答题：本大题共8小题，17题16分，其余每小题10分，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：在平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 19. 西大附中09届校友储卫民荣获“2024年感动重庆十大人物”提名奖．他策划拍摄的《火车看中国》《不一样的中国》《中国新塔》等系列作品，不仅仅是一幅幅美丽的风景照，更是一个个充满故事的画面，通过人物情感、表情与环境的互动，展现出中国人民的勤劳、善良和勇敢，向世界真实展现当代中国的发展变化，看到一个真实、美丽、充满活力的中国．小福是我校初三年级的学生，更是储卫民的粉丝，为了了解同学们对储卫民的喜爱程度，他在初三（1）班和（2）班各随机抽取了20位同学展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，共分成4组，其中A：为不喜欢，B：为比较喜欢，C：为喜欢，D：为非常喜欢），下面给出了部分信息：初三（1）班20名学生评分数据的扇形统计图如图所示：其中评分在D：的学生评分为：91，91，92，93，94，95，97，98，99，99，99，99，99，根据信息，解决下列问题： 初三（2）班20名学生的评分数据整理如表： 分数 70 81 83 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 1 2 0 1 3 2 4 1 5 两组数据的平均数，众数，中位数，如表所示： 班级 平均分 中位数 众数 初三（1）班 91.7 99 初三（2）班 91.7 93 （1）填空：____________，____________，____________． （2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢储卫民，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校初三年级共1600人，估计初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数？ 20. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 21. 如图1，在四边形中，，，连接．点从出发，沿运动，到点停止运动．点在上运动速度为每秒1个单位长度，在上运动速度为每秒个单位长度，设的运动时间为的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出的函数图象；并写出函数的一条性质； （3）若直线与函数的图象有2个交点，请结合函数图象直接写出的取值范围． 22. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 23. 如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 24. 如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $