精品解析：广东省惠州一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

惠州一中教育集团2024－2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分．考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. 都不相似 4. 如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 抛物线与轴交点个数（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 9. “立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 10 D. 11 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果． 11. 如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为______． 12. 如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则______． 13. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 14. 如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是______． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． （1）求I与R之间的函数表达式； （2）求时，对应的R的取值范围． 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后； （2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的周长比是______，与的面积比是______． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上. （1）求的值； （2）若，求的长. 20. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 21. 如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求的面积． （3）直接写出不等式的解集． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． （1）点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； （2）连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州一中教育集团2024－2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分．考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 3. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A ①② B. ②③ C. ①③ D. 都不相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 4. 如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，涉及中心角，等边三角形的判定与性质，正多边形的半径，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正多边形的中心角为，即可证明为等边三角形，继而可求解． 【详解】解：连接， 由题意得：， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴正六边形的半径为2， 故选：B． 5. 抛物线与轴交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解． 令，求出，即可判断． 【详解】解：令，则， 此时， ∴抛物线与轴无交点， 故选：A． 6. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 7. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．判断出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小， ∵点均在反比例函数的图象上，且， ∴，即， 故选：C． 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等得到，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的值，即为的值． 【详解】解：∵与所对的都是， ， 在中，， 根据勾股定理得：， 则， 故选：B． 9. “立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：D． 10. 如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先根据三角函数设，则，根据旋转求B和的坐标，根据中点坐标公式表示C的坐标，代入反比例函数表达式求得x的值，从而求得、的长，根据三角形面积公式即可求得的面积． 详解】解：作于D， 设，则， ∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果． 11. 如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是关于原点的中心对称图形，经过原点的直线也是关于原点的中心对称图形， ∴它们的两个交点一定关于原点对称， ∴它的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过度数为， 故答案：． 14. 如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出点的坐标． 利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式是 故答案为：． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和特殊角的三角函数值是解题关键． （1）方程的左边可因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）先计算正弦、余弦与正切，再计算有理数的乘法与加减法即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． （1）求I与R之间的函数表达式； （2）求时，对应的R的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键. （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果. 【小问1详解】 解：根据题意可设， 点在函数的图象上， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， ， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时， 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后的； （2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的周长比是______，与的面积比是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，作位似图形，相似图形的性质，掌握坐标与图形的特点，位似图形的作法及相似图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似比作图即可； （3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：如图，为所求； 【小问3详解】 解：根据坐标与图形可得， ∵位似比为， ∴周长比为，面积比为，即， 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上. （1）求的值； （2）若，求的长. 【答案】（1）60；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，证明△DAC是等边三角形，即可求得旋转角n的度数；（2）易得△DFC是含30°角的直角三角形，则可求得DF； 【详解】解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转度后得到， ， ∵在中，，， ， 是等边三角形， ，则n的值为60； （2）， ， ， ， ， ， . 【点睛】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得 ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 21. 如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对的等角的性质，得出，根据直角所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）证明，得到，从而得出，即可得到结论； （3）由（2）可得，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出，则，再证明，得出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由（2）可知，，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． （1）点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； （2）连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标． 【答案】（1）点在这个反比例函数的图像上，理由见解析 （2）①，；②点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论． 【小问1详解】 解：点在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， 设点的坐标为， 点关于直线的对称点为点， ，平分， 连接交于，如图所示： ， 轴于， 轴，， ， ， ， 在Rt中，， ， 为边上的中线，即， ， ， ， 点在这个反比例函数的图像上； 【小问2详解】 解：①四边形为正方形， ，垂直平分， ， 设点的坐标为， ，， ， （负值舍去）， ，， 把，代入得， ； ②延长交轴于，如图所示： ，， 点与点关于轴对称， ，则点即为符合条件的点， 由①知，，， ，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，即，故当最大时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$