江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有 A.13种 B.42种 C.6⁷种 D.7⁶种 2.已知直线 mx+y+m-1=0与直线3x+(m+2)y+3=0平行,则m= A.1 B.3 C.1或-3 D.-1或3 3.若直线l:y= kx与圆.M 只有一个公共点，则k= A.0 B.1 C.-1 D.2 4.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(180，100)，现有该新品种脐橙 10 000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为 附:若X~N(μ,σ²),则.P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. A.8 413 B.9 772 C.9 974 D.9 987 5.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有 A.36种 B.48种 C.72种 D.144种 6.已知O为坐标原点，双曲线 的右焦点为 F,点 H(2,1)在C 的渐近线上,过点 F 作FP⊥OH,垂足为P. 则C的方程为 7.小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为 X₁，X₂，则 注:设X,Y为两个随机变量,则有E(X+Y)=EX+EY. A.5 B.6 C.7 D.8 8.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°,AB=2,E是PC上一点,且PE= 则AE= A. B. C. D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9.由一组样本数据((x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ),利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为 记 则下面说法正确的是 A.直线 至少经过点((x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xn, yn)中的一个点 B.直线 必经过点 C.样本相关系数r与回归系数b同号 D.对样本相关系数r，|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强 10.如图,在八面体 ABC-DEF 中,△ABC,△ABE,△ACF,△BCD 均是边长为4 的正三角形，且平面ABE，ACF，BCD 均垂直于底面ABC，下列结论正确的是 A. BC∥EF B.△DEF 为正三角形 C.点 E 到平面ACF 的距离为2 D.直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 11.已知A，B 分别为椭圆 的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E 作EM⊥x轴，垂足为M，直线AE，BE 分别与y轴交于点 H，G，则下列结论正确的是 A.若D 是OH 的中点,则 B.若M 是C 的左焦点，则G是OD 的中点 C.|OG||OH|=|OD|² D.若M是OA 的中点,则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.(-1+x)⁹展开式中x²|的系数为 ▲ . 13.已知抛物线(C: 的焦点为F，P在C上，若以 PF 为直径的圆与x 轴相切于点M(1，0),则|PF|= ▲ . 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则甲在第一轮比赛中得1分的概率为 ▲ ，甲的总得分为1的概率为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X 表示取到的红球个数，求X 的分布列与数学期望. 16.(15分) 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果(单位：人)： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据,求 P(A|B),P(A|B)的值. 附： 其中n=a+b+c+d. P(χ²≥x₀) 0.10 0.05 0.01 x₀ 2.706 3.841 6.635 17.(15分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 是边长为2 的正三角形, 点E 为PC上的动点. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)当 BE 最小时，求平面ABE 与平面ABC 所成角的余弦值. 18.(17分) 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题. (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率. (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛(例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次)，投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立. ①求甲投了第三次后停止比赛的概率； ②求乙投了第四次后停止比赛的概率. 19.(17分) 已知O为坐标原点，椭圆C 的左顶点为 A，右焦点为 F，点B 在C上，且 直线OB 与直线AB 的斜率之比为3. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点 F 的直线l₁,l₂分别与C交于点D,E 和点M,N,若 P,Q 分别为线段DE 和MN的中点，当直线l₁，l₂的斜率之积为 时，求 的面积的最大值. 高二数学试卷参考答案 1. B 不同的取法有7×6=42种. 2. C 由题意可得m(m+2)-3=0,解得m=1或 经检验，当m=1或-3时，均满足两条直线平行. 3. A 由题意可得直线l与圆M相切.因为直线l过原点O，圆M过原点O，所以直线l与直线OM 垂直，因为直线OM 的斜率不存在，所以 k=0. 4. D 由ξ~N(180,100)可知, 故单果质量不低于 150 g 的脐橙个数约为10 000×0.9987=9 987. 5. C 不同的串法有 种. 6. A 因为 所以 在 中， =1，所以C 的方程为 7. C X₁服从二项分布B(5,0.8), 同理， 8. B 因为PA⊥AB,所以 因为 所以 又 所以 则 所以 =2,所以 9. BCD 回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确.样本相关系数r为正时，两个变量为正相关，回归系数b为正；样本相关系数r为负时，两个变量为负相关，回归系数b为负.故样本相关系数r与回归系数b同号，C正确.样本相关系数 越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 10. ABD 取 P,Q 分别为AC,AB 的中点,连接FP,EQ,PQ.在 中， AB,FP⊥AC,EQ=FP.因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABE∩平面. 平面ABE,所以. 同理可得 所以 所以四边形EQPF 为平行四边形,EF∥PQ,EF =PQ.因为 所以 A正确. 同理， 所以DE=DF=EF,△DEF 为正三角形，B正确. 易得EQ∥平面ACF,点 E 到平面ACF 的距离即点Q 到平面ACF的距离. 连接BP，因为Q 是AB 的中点，所以点Q到平面ACF 的距离是点B 到平面ACF的距离的一半.点B 到平面ACF 的距离为. 点Q 到平面ACF 的距离为 即点E 到平面ACF 的距离为 C错误. 记BC的中点为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点. C(0, 3).所以直线AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 ,D正确. 11. AC 由 D 是OH 的中点,设直线 AH 的方程为 与 联立可得 解得.x=-a 或 将 代入 可得 即A正确.若M是C的左焦点，则 直线 BE 的方程为 得2b=a+c,令x=0,得 所以 令 即当2b=a+c时,G是OD 的中点,B错误.设. ,直线AE,BE 的斜率分别为k₁,k₂,则直线AE，BE 的方程分别为 分别令x=0，可得 所以.H(0,k₁a),G(0,-k₂a).|OG||OH|=k₁a·(-k₂a)=-k₁k₂a²=b²/a. a²= C正确.由 可得 因为M 是OA 的中点，所以 结合 可得 所以 D错误. 12.—36 (—1+x)⁹展开式中. 的系数为 13.2 由题意得F(0,1),设 PF的中点为H，则 因为以 PF 为直径的圆 与x轴相切于点M(1，0)，所以 即 解得 则P(2,1),|PF|=2. 在第一轮比赛中,甲、乙两人所选卡片上的数字可能为(1,2),(1,4),(3,2),(3,4), 只有一种情况满足甲在第一轮比赛中得1分，所以甲在第一轮比赛中得1分的概率为 甲的总得分可能为0，1，2.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为(2，2，4，4)，甲四轮所选卡片上的数字有( 种排序方法.若甲的总得分为0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为(1，1，3，3)；若甲的总得分为2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为(3，3，1，1).故甲的总得分为0，2的概率均为 甲的总得分为1的概率为 15.解:(1)所求概率为 a … 4分 (2)X 可能的取值为0,1,2. ………………………… 5分 … 7分 … 9分 … … 11分 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 故 … 13分 16.解:(1)由已知得 6.635,…4分 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效.…7分 (2)由题意可得 · … 9分 … … 11分 ……………………… 15分 17.解:(1)可知 … 2分 因为 PA⊥平面ABC,所以 PA 是三棱锥P-ABC 的高. 在Rt△PAC 中, … 3分 所以三棱锥 P-ABC 的体积 …… 4分 (2)取BC 的中点O,连接OA,以OC,OA 所在直线分别为x 轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0, ,0),B(-1,0,0),P(0, ,1),C(1,0,0), 所以… 6分 设 则 则 所以当 时,BE 有最小值.…………………… 9分 此时， 设平面ABE 的法向量为n=(x,y,z), 则 所以 令 则x=-3,z=9,所以. … 12分 平面ABC 的一个法向量为 … 13分 设平面ABE 与平面ABC 所成的角为θ， 则 所以当 BE 最小时，平面ABE 与平面ABC 所成角的余弦值为 … 15分 18.解：(1)甲同学的投篮命中率为 … 1分 乙同学的投篮命中率为 … 2分 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为 … 4分 (2)①甲投了3次，则乙投了2次. 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况. 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为 ………………………6分 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为 故所求概率为 … 8分 ②乙投了4次，则甲投了4次. 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮. 在每轮比赛中，记事件A 为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率 ……………………………………………………………………… 9分 记事件 B 为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率 ………………………………………………………… 10分 记事件C为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率 …… 11分 乙投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有两种情况. 第一种情况：四轮比赛中，事件A，B各发生2次，即第一至四轮依次为B，B，A，A或B，A，B,A 或A,B,B,A,其概率为 ……………… 14分 第二种情况：四轮比赛中，事件A 发生3次，事件C发生1次，即第一至四轮依次为C，A，A,A或A,C,A,A,其概率为 所求概率为 … 17分 19.解：(1)根据对称性，不妨设点 B 在第一象限. 记直线OB 与直线AB 的斜率分别为k₁，k₂， … 2分 由题意可得 … 3分 所以 …… 4分 解得 故椭圆C的标准方程为 … 6分 (2)显然直线.l₁，l₂的斜率存在且不为0. 设直线 l₁的方程为 联立 得 所以 …… 8分 则 ……10分 同理 …… 12分 所以 PQ 的中点为 … 14分 △OPQ 的面积 … 16分 当且仅当 即 时，等号成立， 所以 的面积的最大值为 ………… 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$