精品解析：广西贵港市2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试卷

2024年秋季期期末教学质量检测试卷九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. sin60°的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分布在第二、四象限 C. 图象关于轴对称 D. 随着的增大而增大 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名同学在6次数学测验中，他们的平均成绩和方差分别为分，分，，，则下列说法正确的是（ ） A. 两人发挥一样稳定 B. 甲发挥更稳定 C. 乙发挥更稳定 D. 无法确定谁发挥更稳定 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 的半径为4，点P在外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 9. 商场里，一件衣服经过两次连续降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 11. 如图，在中，是的直径，是弦，与相交于点E，且，，，则直径的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 二次函数的图象开口方向是向_____（填“上”或“下”）． 14. 如图，，若，，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是______． 16. 如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走_______米．（结果保留） 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点A作垂直x轴的，垂足为点B，且的面积为． （1）求m和k的值； （2）若点也在这个函数的图象上，当时，求函数值y的取值范围． 19. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四组：组（），组（），组（），组（），将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次调查抽取的学生人数； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 组； （4）若该校九年级有名学生，请估计一周自主学习的时间少于的人数． 20. 某“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：唐小明组员：黄小刚，李小英，张小红 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 （1）两次测量，，之间的距离的平均值是______； （2）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； （参考数据：，，．） （3）该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条理由即可） 21. 如图，在矩形中，点E在边上，点F在对角线上，连接交于点O，且． （1）求证：； （2）判断与是否相似，并说明理由； （3）若，，，求的长． 22. 如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求； （3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数． 23. 设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x 0 1 2 3 y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 （1）①描点：请将表格中的描在图1中， ②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式； （2）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程， 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为______； ②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） （3）【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期期末教学质量检测试卷九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2是解题关键．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故此选项符合题意； ．，是二元二次方程，故此选项不合题意； ．，是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意； ．，未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2. sin60°的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°= 故选：C． 【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分布在第二、四象限 C. 图象关于轴对称 D. 随着的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴图象经过点，原选项正确，符合题意； 、由， ∴图象分布在第一、三象限，原选项不正确，不符合题意； 、图象关于成轴对称，关于原点中心对称，原选项不正确，不符合题意； 、由， ∴在每一象限内，随着的增大而减小，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的顶点是进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C 5. 甲、乙两名同学在6次数学测验中，他们的平均成绩和方差分别为分，分，，，则下列说法正确的是（ ） A. 两人发挥一样稳定 B. 甲发挥更稳定 C. 乙发挥更稳定 D. 无法确定谁发挥更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解可得． 【详解】解：∵甲、乙两名同学的平均成绩和方差分别为分，分，，， ∴， ∴乙发挥更稳定， 故选：C． 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．根据根与系数的关系求出，即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 的半径为4，点P在外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系的判定方法求解即可． 【详解】解：∵点P在外， ∴． 故选：C． 8. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的周长比是， 故选：． 9. 商场里，一件衣服经过两次连续降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 故选：． 10. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 11. 如图，在中，是的直径，是弦，与相交于点E，且，，，则直径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理等知识．根据垂径定理的推论得到，则，设的半径为，则，， 在中，得到方程，解方程得到，即可求出直径的长． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 即，解得：， ∴直径的长为． 故选：D． 12. 如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， 又∵函数图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 二次函数的图象开口方向是向_____（填“上”或“下”）． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由可知：， ∴函数图象开口向上， 故答案为：上． 14. 如图，，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，证明，再由相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，设运动时间为，则，，，，然后用面积公式得出二次函数解析式，最后利用性质即可求解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 16. 如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走_______米．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，弧长及扇形计算公式等知识点，根据题意求出线段以及劣弧的长度是解本题的关键．过点作于点，根据垂径定理、所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求出的长，相减即可． 【详解】解：设， 扇形的面积为平方米，半径为6米， ， ， 过点作于点， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， 劣弧长米， ∴便民路比走观赏路少走米． 故答案是：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程． （1）计算乘方、除法和加法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2） ∴ 则或 解得 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点A作垂直x轴的，垂足为点B，且的面积为． （1）求m和k的值； （2）若点也在这个函数的图象上，当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和4时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； 【小问2详解】 由（1）可得，， ∵当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 19. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四组：组（），组（），组（），组（），将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次调查抽取的学生人数； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 组； （4）若该校九年级有名学生，请估计一周自主学习的时间少于的人数． 【答案】（1）人； （2） 补全频数分布直方图， ； （3）； （4）人． 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表、扇形统计图、总体、个体、样本、样本容量、中位数、用样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由组人数及其所占百分比可得总人数，即可得到样本容量； （）求出组人数即可补全图形；用乘以组人数所占比例即可得到对应的圆心角度数； （）根据中位数的定义求解即可； （）用总人数乘以样本中，组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次调查共抽取人； 【小问2详解】 解：由（）得抽样调查的学生有人， 则组人数有：（人），组所在扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：自主学习时间的中位数是第个数据的平均数，而这两个数均落在组， ∴这组数据的中位数落在组， 故答案为：； 【小问4详解】 解：估计一周自主学习的时间少于的人数为：（人）， 答：估计一周自主学习的时间少于的人数约有人． 20. 某“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：唐小明组员：黄小刚，李小英，张小红 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 （1）两次测量，，之间的距离的平均值是______； （2）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； （参考数据：，，．） （3）该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条理由即可） 【答案】（1）； （2）学校旗杆的高度约为米； （3）没有太阳光或旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）求平均数即可； （）由题意可得：四边形，四边形都是矩形，则，，设，然后通过解直角三角形即可求解； （）提出合理原因即可； 本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：两次测量，，之间的距离的平均值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 由题意可得：四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度约为米； 【小问3详解】 解：<>没有太阳光或旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难．（答案不唯一） 21. 如图，在矩形中，点E在边上，点F在对角线上，连接交于点O，且． （1）求证：； （2）判断与是否相似，并说明理由； （3）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 与相似， 理由是：∵， ∴； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 22. 如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求； （3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（）连接，根据切线的性质可得，则有，又，，故有，所以，再通过三角形的内角和定理可得，从而求证； （）连接，由正弦可得，求出，再通过即可求解； （）在优弧上取一点，连接，由三角形的外角性质求出，通过圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在优弧上取一点，连接， 由（）得， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 23. 设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x 0 1 2 3 y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 （1）①描点：请将表格中的描在图1中， ②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式； （2）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程， 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为______； ②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） （3）【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值． 【答案】（1）①描点如图所示，②连线如图所示， ， （2）方案一：①；②；方案二：①；②； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【小问1详解】 图略 把点代入得到 ，解得， ∴y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $