专题27.17 添加辅助线构造三角形相似的七种方法（综合练）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.17 添加辅助线构造三角形相似的七种方法（综合练）（专项练习） 第一部分【题型目录】 【方法1】作平行线构造三角形相似...........................................1 【方法2】作垂直构造三角形相似.............................................7 【方法3】连接两点构造三角形相似..........................................12 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似..................................18 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似....................................24 【方法6】截长补短构造三角形相似..........................................29 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似......................................32 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】作平行线构造三角形相似 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，与相交于，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．先过E作交于，再过D作交于，由相似三角形的判定与性质，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可． 解：∵， ∴，, 过E作交于， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理，过D作交于， ∴， ∴, 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理得证明及正方形得性质、相似的判定和性质等知识点，由可想到构造两个相似三角形，再利用比例线段求解即可． 解：如图，过A作交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵, ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D在上，，连接，过点A作于点E，且的延长线交边于点F，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形相似的性质与判定，勾股定理的应用．由得到算出的长度，利用得到的长度． 解：作交的延长线与点G， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点K，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据抛物线函数解析式求出坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交直线于点，根据三角形相似可得，根据二次函数求出的最大值，从而求出答案． 解：过点作轴交直线于点， 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 设解析式为 则 的解析式为： 轴 ， 设点 纵坐标相等， 当时， 解得 当时，有最大值为 则有最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 【方法2】作垂直构造三角形相似 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，为的角平分线，交于点．过点作交于点，点在上，且，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过作于，则，得出，可得，设，，根据，得出，进而证明，得出，求得，即可求解． 解：为的角平分线， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ，即 设，， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： ∵，，，， ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】作于是解题的关键．作于，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 解：作于，连接， 以点为圆心画弧交轴于点、， ， ， ， ， ， ， ， 的面积等于4，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． （1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示：    ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法3】连接两点构造三角形相似 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且与关于直线对称．点G在边上，分别与交于P，Q两点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由折叠性质得，四边形是菱形，得，则有；设，易得证明，得，则可求得结果． 解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质等知识，涉及的知识点较多，有一定的综合性，连接，证明四边形是菱形是解题的关键． 10．（2024九年级上·江苏扬州·专题练习）如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，交于点，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长． 解：在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接，交于点； ，， 在直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 11．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理．连接，根据已知条件得到是的中位线，根据三角形中位线的性质得到，，推出，由相似三角形的性质即可得到结论． 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，即可求出． （2）根据则判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在上时，最小，即可求解． （1）解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ． （2）解：∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线，且在上时，最小，最小值． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明三角形相似． 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似 13．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，平行四边形的边长，，平分，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；延长交于点，得出是等边三角形，是等边三角形，进而证明，，分别求得，根据，即可求解． 解：如图所示，延长交于点， ∵平行四边形的边长，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，延长与交于点N，根据可得，，，即可由求出的长． 解：延长与延长线交于点N，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的直径，为的切线，为切点，则，两点到的距离之和等于 . 【答案】 【分析】连接，延长交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，进而证明得出，则，两点到的距离之和为，进而证明得出，即可求解． 解：如图所示，连接，延长交的延长线于点， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即， ∴，两点到的距离之和等于 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设， ，，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：延长，交的延长线于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中， ， 设，则，， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似 17.（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 过点D分别作于点N，于点H，得和是等腰直角三角形，进而可证，即可解答． 解：如解图，过点D分别作于点N，于点H，   ，， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，，， ， ， 设，则， ，， ， ∵，，， 四边形是矩形， ， ， 又∵， ， ， ， ． 18.（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】的面积可以分为，，和，所以通过面积关系来列式计算，从而得到关于，的关系式，再有关系式来判断图象．本题主要考查了函数关系式及二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过面积关系推导出函数关系式． 解：如图：作，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ， ∴四边形是正方形， 设线段的长为， ， 连接，如图： ∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， 即， ∵， ∴开口向上， 当时，则， 即经过点， 故选：C 19.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ． 【答案】10 【分析】过点作于点，根据正方形的性质可得，，，再根据同角的余角相等可得，以此即可通过证明≌，得到，，进而得到，易证明∽，根据相似三角形的性质可得，即，由等腰直角三角形的性质可得，则，最后根据勾股定理即可求解． 解：如图，过点作于点， 四边形为边长为6的正方形， ，，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键． 【方法6】截长补短构造三角形相似； 20.（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． （1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 21.（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由是绕点逆时针旋转得到的，得到，再由矩形的性质得出从而判断①；由，可得，从而判断②；由和，，得出，可以判断③；在线段上作，如图所示，连接，通过证明，得出是等腰直角三角形，可以判断④． 解：是绕点逆时针旋转得到的， ， ，，， 又四边形是矩形， ， ， 即， ， 即，故①正确； ， ， 即是直角三角形，而不是直角三角形，故②错误； 在和中， ， ， ， ，， ， 即，故③正确； 在线段上取并连接，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故④正确；故答案为：①③④． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似． 22.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 【方法7】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似 23．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】证明A、B、E、F四点共圆，则，即可判断①；延长，截取，连接，证明，则证明，得到，则，即可判断②；作交的延长线于点H，连接，证明，则,得到,则，即可判断③；作，截取，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，得到，则，即可判断④；证明，设，则，得到，由得到，解得,则，即可判断⑤；证明，则，由②可知，，则,证明，得到连接证明，则，证明，则，得到，则，即可判断⑥． 解：①∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴A、B、E、F四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故①正确； ②由①可知，， ∴A、G、P、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， 延长，截取，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③作交的延长线于点H，连接，如图， 由正方形的对称性得到， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， 故③正确； ④作，截取，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤由②可知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得, ∴， ∴， 故⑤正确； ⑥∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 由②可知，， ∴, ∵ ∴， ∴ 连接 则， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故⑥正确， 综上可知，①②③④⑤⑥均正确． 故选：A 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，综合性非常强，难度大，添加合适的辅助线是解题的关键． 24．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且．，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接线段，证明和，即可判断出①②③正确；过作，交于，交于，构造相似三角形即可判断出④正确，⑤正确，据此即可求解． 解：将绕点逆时针旋转得到，连接线段，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 点、、共线， ， ， ， 即， ，， ， ， ，故①正确； ，， ， 在中，，即， 故②正确； ，为中点， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ，故③正确； ，， ， ， 过作，交于，交于， ， ， ， ， ，故④正确； 由②知， ， ， 设，则，， ， 过作，过作，则， ， ，， ， 在中，， ，故⑤正确； 综上，正确的有5个， 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【答案】(1)，，证明见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知，； （2）由（1）知，，，则有，由相似三角形的对应边成比例，可得，再把已知数据代入求解即可． （3）如图，将绕点A顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角．连接，证得△EAD≌△HAD，进而得到，根据，利用勾股定理可得，继而即可求解． （1）解：，，理由如下： ∵， ∴ 又 ∴； 同理可得：． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴ 又∵是等腰直角三角形，且， ∴，又，， ∴，即， ∴； （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角． 连接，在和中， ∵，，． ∴， ∴， 又， ∴， 即． ∴在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 26．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，将绕着直角顶点按顺时针方向旋转得到，点落在点处，点落在点处，连接． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接，求证：； (3)如图3，过点作垂足为，交于点，若，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点A作垂足为E，过点C作垂足为F，易证得，可得，可推出，从而证得； （2）延长到点F，使，连接，可证得，得到，由于，，可得，从而得到； （3）过点C作垂足为G，过点C作垂足为N，过点B作垂足为M， 由于，，利用直角三角形的性质可得，，可得到，在中，利用锐角三角函数可得，从而求得的面积，根据，，可证得，从而得以，同理，两式相乘可得，进而得到，即可求得的值． 解：（1）证明：如图，过点A作垂足为E，过点C作垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作垂足为G，过点C作垂足为N，过点B作垂足为M， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴① 同理② ①×②得 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.17 添加辅助线构造三角形相似的七种方法（综合练）（专项练习） 第一部分【题型目录】 【方法1】作平行线构造三角形相似...........................................1 【方法2】作垂直构造三角形相似.............................................2 【方法3】连接两点构造三角形相似...........................................3 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似...................................5 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似.....................................6 【方法6】截长补短构造三角形相似...........................................7 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似.......................................8 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】作平行线构造三角形相似 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，与相交于，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（   ） A．5 B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D在上，，连接，过点A作于点E，且的延长线交边于点F，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点K，则的最小值为 【方法2】作垂直构造三角形相似 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，为的角平分线，交于点．过点作交于点，点在上，且，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 【方法3】连接两点构造三角形相似 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且与关于直线对称．点G在边上，分别与交于P，Q两点．若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级上·江苏扬州·专题练习）如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于 ． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似 13．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，平行四边形的边长，，平分，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的直径，为的切线，为切点，则，两点到的距离之和等于 . 16．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ． 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似 17.（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    18.（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 19.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ． 【方法6】截长补短构造三角形相似； 20.（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 21.（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 22.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似 23．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 24．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且．，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 26．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，将绕着直角顶点按顺时针方向旋转得到，点落在点处，点落在点处，连接． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接，求证：； (3)如图3，过点作垂足为，交于点，若，求的面积 1 学科网（北京）股份有限公司 $$