第27章相似 -模型探究（二）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章相似 模型探究（二） 模型探究5母子型相似一)射影型 图形： 结论： 如图，∠ACB=90°，CHLAB于点H ①△ABC~△ACH~△CBH: ②AC2=AH·AB,BC2=BH·BAHC2=HAHB. 类型一直接利用射影型相似 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB于点D. (1)若AD=2,BD=1,则AC的长为 (2)若AC=20,BD=9,求CD的长 类型二构造射影型相似 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB于点D,∠CAB的平分线分别交BC,CD于E,F两点. (I)求证：CE=CF (2)求证：EF.EA=2CE2 D 3.如图，在四边形ABCD中，ABIICD,∠ADC-90°，E为BC上一点，CE=3BE,且AE⊥DE,若 AD=6,求AE的长 模型探究6母子型相似二)仿射影型 图形： 如图，∠ABD=∠C 结论： ①△ABDN△ACB @AB2=AD·AC 类型一直接利用仿射影型相似 1.(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB: (2)如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，且∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3, 求AD的长 图 类型二构造仿射影型相似 2.如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F,交AD于点 E (I)求证：DF2=BF.CF ②)若器=，求器的值 D 3.在△ABC中，P为边AB上的一点 (1)如图1，若∠ACP=∠B,求证：AC2=AP·AB; (2)如图2，M为CP的中点，∠PBM=∠ACP,AB=3,AC=2,求AP的长 图1 图2 模型探究7一线三等角型相似（一）三垂直型 图形：如图，点C,O,D在同一直线上， ∠A0B=∠AC0=∠0DB=90 结论：△ACO~△ODB. 类型一直接利用三垂直型相似 1.如图，在正方形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接CE,过点E作.EF⊥CE,与BA的延 长线交于点F (I)求证：△FAE△EDC (2)若器=月AB=4,求AF的长 类型二构造三垂直型相似 2.如图，∠ABC=90°AB=3,BC=4,,将线段AB绕点A逆时针旋转((0°<<90) 得到线段AD,过点C作射线BD的垂线，垂足为E,求器的值 3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD1AC,且CD=2AC,延长BC至点E,使∠CED=150求证： DE=2BC. 答案 模型探究5母子型相似（一）射影型 1.解：(I)由∠ACB-90°，CDLAB,可证得△ACD~△ABC, ∴.AC2=ADAB=2×3=6. :AC=V6; (2)设AD-X,由AC2=AD·AB,得202=x(x+9) 解得x=16或-25（舍负）， ·CD2=AC2-AD2=202-162=12, .CD=12 2.证明：(I)∠ACB=90°，CDLAB,.∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠EAB=90° ∠CAE=∠EAB. ∴∠CEF=∠AFD=∠CFE .CE-CF, (2)过点C作CHLAE于点H. .CE=CF, ..EF=2EH 由∠ACE=∠CHE=90°可证得△CHE~△ACE ·CB2=EH·EA EF.EA=2EH·EA=2CE2 3.解：延长AE,DC交于点F. ABIICD, △ABE△FCE “器=器= 设AE=a,则EF=3a,AF=4a AELDE, ∴∠DEF=∠ADC-90°，∠DAE=∠FAD, △DAE-△FAD ·AD2=AE·AF=4a2=36, ∴AE=a=3(舍负值) 模型探究6母子型相似二)仿射影型 1.解：(1)r∠ACD=∠B ∠A=∠A ∴△ADC-△ACB “架=器 AC2=AD·AB (2)~四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠A=∠C 又：∠BFE=∠A ∠BFE=∠C 又~∠FBE=∠CBF △BFE∽△BCF, ÷器=器， ·BF2=BE·BC :BC=器-号=9， AD= 2.解：(1)连接AF EF是AD的垂直平分线， .AF=DF. ∴∠ADF=∠DAF, '∠BAD=∠CAD, ∠ADF-∠BAD=∠DAF-∠CAD ∴∠B=∠CAF, .△ACF-△BAF」 “部=器 .AF2=BF.CF DF2=BF.CF (2)△ACF-△BAF …器=器=指= ·BF=专ARCF=AR …最=最 3.解：(1)r∠ACP=∠B,∠A=∠A, △APC△ACB, “指=能， ·AC2=AP·AB; (2)取AP的中点G,连接MG 设AG-X,则PG-xBG=3-x M为PC的中点， ·GM‖ACGM=AC=1, ·∠GMP-∠ACP-∠PBM △GPM-△GMB, ÷GM2=GP.BG 即12=x(3-x), 朝得= .AB=3>AP, ·AP=2x=3-V5 模型探究7一线三等角型相似（一）三垂直型 1.解：(1：∠FAE=∠CDE=∠CEF=90°， ∠FEA+∠CED=∠DCE+∠CED=90°， ∠FEA=∠DCE, △FAE-△EDC: (2)~△FAE~△EDC “品=尧=器=昌 设DEX则竖=空= 解得x=2 .AF=x=3. 2.解：过点A作AF⊥BE于点F AB=AD BF=青BD 由∠ABC=∠AFB=∠BEC-90°，可证得△AFB~△BEC, “器=器= :BF=CE=专BD, …器=引 3.证明：过点A作AF⊥BC于点E,过点D作DGLBE于点G. AB=AC, .CF=BC, :∠CED=150° DG=DE, 由AF⊥BC,CD LAC,DG⊥BE可证得△AFC~△CGD, “器=$= .DG=2CF, :DE=2×BC ..DE=2BC.