第七章 相交线与平行线单元复习（教学课件）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

小结 第七章 相交线与平行线 人教版七年级下册 学习目标 熟练掌握相交线与平行线的相关概念、性质与判定定理，能准确运用其进行角度计算和证明. 一 二 三 在探究图形关系的过程中，培养几何直观与逻辑推理的核心素养，提升对几何知识的理解和应用水平. 体会并运用转化、分类讨论等数学思想，通过分析几何图形，提升解决问题的思维能力. 1 知识结构 目录 2 考点梳理 5 总结提升 6 布置作业 3 典例分析 4 巩固练习 平移的基本性质 知识结构 相交线 两条直线相交 两条直线被第 三条直线所截 平行线的判定 平行线的性质 垂线及其性质 同位角、内错角、同旁内角 邻补角、对顶角 平移 平行线 点到直线的距离 定义、命题、定理 关于平行线的基本事实及其推论 考点梳理 考点1 邻补角与对顶角 两条直线相交 分类 位置关系 数量关系 名称 ∠1与∠2 ∠2与∠3 ∠3与∠4 ∠4与∠1 ①有公共顶点 ②有一条公共边 ③另一边互为反向延长线 互补 邻补角 ∠1与∠3 ∠2与∠4 ①有公共顶点 ②两边互为反向延长线 相等 对顶角 典例分析 例1 如图，直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，∠1=26°，求∠2，∠3，∠BOE的度数. 【考点】此题考查了对顶角、邻补角的性质以及垂线的定义． 解：∵∠1＝26°， ∴∠3＝∠1＝26°， ∵AB⊥CD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝64°． ∴∠BOE＝180°﹣∠1＝154°. 1. 如图所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A B C D B 【考点】此题考查了对顶角的定义． 巩固练习 巩固练习 2. 将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若∠1减小5°，则下列说法正确的是（ ） A．∠2减小5° B．∠3增大5° C．∠4增大5° D．∠2和∠4的和不变 C 【考点】此题考查了对顶角、邻补角的性质，同时对动态思维能力有一定要求． 考点梳理 两条直线垂直 垂直的定义 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 垂线和垂足 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂线的画法 借助三角尺画垂线. 关于垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短. 点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 解：（1）如图： （2）如图： 典例分析 例2 根据下列语句画出图形： （1）过线段AB的中点C，画CD⊥AB； （2）点P到直线AB的距离是3 cm，过点P画直线AB的垂线PC. 【考点】本题主要考查借助三角尺画垂线． 典例分析 例3 判断题：a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c. 【考点】本题考查了垂直的定义与平行线的判定，同时对空间想象能力有较高要求． 解：这句话是错误的. 反例：如图，a，b，c在同一平面内， ∵a⊥b，b⊥c，， ∴∠1＝∠2＝90°， ∴a∥c. 巩固练习 1. 如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则直线OA和直线OB重合的理由是（ ） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 【考点】本题主要考查了垂线的性质（存在性与唯一性）． 巩固练习 2. 如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA= 5 cm，MB=4 cm，MC=2 cm，MD=3 cm，则点M到直线l的距离是（ ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm A 【考点】本题主要考查了垂线段和点到直线的距离． 考点梳理 同一平面内，两条直线被第三条直线所截 分类 基本图形 名称 ∠1与∠5 ∠2与∠6 ∠3与∠7 ∠4与∠8 同位角 ∠3与∠5 ∠4与∠6 内错角 ∠3与∠6 ∠4与∠5 同旁内角 典例分析 例4 ∠2与∠3是直线 、 被直线 所截得的 .（填序号） ①AB，②AC，③DE，④BC，⑤DF， ⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角. ③ ④ ⑤ ⑦ 【考点】本题考查了“三线八角”，需要熟练掌握同位角、内错角和同旁内角的图形特征． 巩固练习 1. 如图，下列说法正确的是（ ） A．∠2与∠B是同位角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠4与∠A是内错角 A 【考点】本题考查了同位角、内错角和同旁内角的概念，需要掌握各类角的图形特征． 巩固练习 2. 如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有， 这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； （2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 解：（1）∠1的同旁内角是∠MOE，∠AOE，∠ADE， ∠2的内错角是∠MOE，∠AOE； （2）∵∠BOM＝145°， ∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°， ∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°， ∴水下部分向上折弯了30度． 【考点】本题考查了同旁内角和内错角的概念，邻补角的性质以及与角有关的简单计算． 考点梳理 两条直线平行 平行线的概念 在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作a∥b. 借助直尺和三角尺画平行线 1.放，2.靠，3.推，4.画. 关于平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.如果b∥a，c∥a，，那么b∥c. 解：如图： 直线l1∥AB， 直线l2∥BC， 直线l3∥AC. 典例分析 例5 根据下列语句画出图形： 过三角形ABC内的一点P，分别画AB，BC，AC的平行线. 【考点】本题主要考查借助三角尺画平行线． 典例分析 例6 判断题：a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. 【考点】本题考查了关于平行线的基本事实的推论． 解：这句话是正确的.理由如下： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 巩固练习 1. 如图，∠AOB内有一点P. （1）过点P画PC∥OB，交OA于点C，画PD∥OA，交OB于点D； （2）写出图中相等的角；（3）写出图中互补的角. 【考点】本题考查了借助三角尺画平行线，邻补角和平行线的性质． 解：（1）如图： （2）相等的角：如∠1与∠3，∠1与∠5 ... （3）互补的角：如∠1与∠2，∠2与∠5 ... 请同学们补充. 巩固练习 2. 在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行； ②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行； ③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交； ④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交． 正确判断的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】本题考查了同一平面内，两条直线的位置关系． C 考点梳理 平行线的判定 判定方法 简单说成 1. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 同位角相等， 两直线平行. 2. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 内错角相等， 两直线平行. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 同旁内角互补， 两直线平行. 解：管道AB∥DC是对的．理由如下： ∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD． 典例分析 例7 如图是一根弯形管道的平面示意图，其中的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥DC对吗，为什么？ 【考点】本题考查了平行线的判定方法． 解：（1）∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°． 又∵∠1＝30°， ∴∠DAB＝∠1+∠BAC＝30°+90°＝120°， ∵∠B＝60°， ∴∠DAB+∠B＝120°+60°＝180°． 典例分析 例8 如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC. （1）∠DAB+∠B等于多少度？（2）AD与BC平行吗？AB与DC平行吗？ 【考点】本题考查了垂直的定义和与角有关的简单计算． （2）AD∥BC，AB与DC不一定平行，理由如下： ∵由（1）得：∠DAB+∠B＝180°， ∴AD∥BC. ∵∠ACD的度数不能确定， ∴AB与CD不一定平行． 典例分析 例8 如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC. （1）∠DAB+∠B等于多少度？（2）AD与BC平行吗？AB与DC平行吗？ 【考点】本题考查了平行线的判定方法． 巩固练习 1. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ） A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠2 C. ∠D=∠DCE D. ∠D+∠ACD=180° 【考点】本题考查了平行线的判定方法． B 解：AB和CD平行，理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠CAB+∠ABD＝180°. ∵AB⊥l2，CD⊥l1， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴∠CAB＝180°-∠ABD=90°， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD. 巩固练习 2. 如图，直线l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l1，AB和CD平行吗？为什么？ 【考点】本题考查了垂直的定义、平行线的性质定理和判定方法． 解：如图，作∠BCD=165°，则继续行驶的路线是CD方向． 巩固练习 3. 如图，某人骑自行车自A处沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线. 【考点】本题考查了平行线的判定方法． D 考点梳理 平行线的性质 性质 简单说成 1. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 两直线平行， 同位角相等. 2. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 两直线平行， 内错角相等. 3. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 两直线平行， 同旁内角互补. 解：能．若∠1＝α. 由对顶角和邻补角的性质可得： ∠3＝α，∠2＝180°﹣α，∠4＝180°﹣α， ∵a∥b， ∴∠5＝∠1＝α，∠6＝∠2＝180°﹣α， ∠7＝∠3＝α，∠8＝∠4＝180°﹣α． 典例分析 例9 如图，平行线a，b被直线c所截，若知道∠1~∠8中一个角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角. 【考点】本题考查了对顶角、邻补角和平行线的性质． 典例分析 例10 如图，∠1+∠2=180°，∠3=108°，则∠4=（ ） A. 72° B. 80° C. 82° D. 108° A 【考点】本题考查了平行线的判定和性质． 巩固练习 1. 如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ） A．60° B．65° C．72° D．75° 【考点】本题考查了平行线和翻折变换，解题的关键是利用平行线和翻折的性质转化角度，从而解决问题． C 巩固练习 2. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数． 解：∵EF∥BC， ∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°， ∵AC平分∠BAF， ∴∠CAF=∠BAF＝50°， ∵EF∥BC， ∴∠C＝∠CAF＝50°． 【考点】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 考点梳理 定义、命题、定理 定义 对数学对象的清晰、明确的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征. 命题 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫做命题. 被判断为正确(或真)的命题叫做真命题， 被判断为错误(或假)的命题叫做假命题. 命题由题设和结论两部分组成. 基本事实 经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的真命题叫作基本事实. 定理 经过推理证实的真命题叫做定理. 证明 一个命题的正确性通常需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明. 反例 符合命题的题设，但不满足结论的例子叫作反例.它可以用来判断一个命题是错误的. 典例分析 例1 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的.如果是错误的，举出一个反例. （1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （2）同旁内角相等，两直线平行； （3）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 解:（1）题设：两个角的和等于平角； 结论：这两个角互为补角. 它是真命题. （2）题设：同旁内角相等； 结论：两直线平行. 它是假命题. 反例：如图，∠A=∠B，但AC和BC不平行. （3）题设：两条平行线被第三条直线所截； 结论：同旁内角互补． 它是真命题． 【考点】本题考查的是命题的结构，判断命题的真假并为假命题举出反例． 典例分析 例2 完成下面的证明. 如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证∠FDE=∠A. 证明：∵DE∥BA， ∴∠FDE= （ ）， ∵DF∥CA， ∴∠A= （ ）. ∴∠FDE=∠A. 【考点】本题考查的是命题的证明，熟练掌握平行线的性质是解题关键． ∠BFD 两直线平行，内错角相等 ∠BFD 两直线平行，同位角相等 1. 如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD∥BC． （1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题； （2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 解：（1）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC； （2）这个命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠A＝180°， ∴AD∥BC． 巩固练习 【考点】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 答案不唯一. 巩固练习 2. 完成下面的证明. 如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD.求证AC∥DB. 证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD， 且∠COA=∠BOD（ ）. ∴∠C= . ∴AC∥DB（ ）. 【考点】本题考查的是命题的证明，熟练掌握对顶角的性质和平行线的判定方法是解题关键． 对顶角相等 ∠D 内错角相等，两直线平行 考点梳理 平移 平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移. 平移的性质 1.新图形与原图形的形状和大小完全相同. 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 平移作图 几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，只要画出其图形中的一些关键点经过平移后的对应点，连接这些对应点，就可以得到原图形平移后的图形. 典例分析 例1 如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案. 【考点】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移的基本性质是解题关键． 典例分析 例2 如图，将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF，若△ABC的周长为20 cm，则四边形ABFD的周长为（ ） A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm D 【考点】本题考查了平移的基本性质：平移前后图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 巩固练习 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ） A B C D 【考点】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移的基本性质是解题关键． D 巩固练习 2. 如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这块红地毯至少需要（ ） A．23平方米 B．90平方米 C．130平方米 D．120平方米 【考点】本题考查利用平移解决实际问题，解题关键是利用平移将相应线段移动到一条直线上，再进行计算． B 总结提升 1. 在本章的学习过程中，分类讨论思想和转化思想起到了关键作用，你能举例说明哪些内容体现了这些数学思想吗？ 角 数量关系 线 位置关系 2. 谈谈你对本章的研究思路的体会． 平行线的判定 平行线的性质 同旁内角 内错角 同位角 两条直线被第三条直线所截 实际问题 抽象 图形的概念 观察、度量、猜想 验证、证明 图象的性质/判定 应用 布置作业 基础性作业 请同学们整理一下本章所学的主要知识，以思维导图的形式画出本章的知识结构图. 探究性作业 完成复习题7：第9、15、16题. 谢谢观看！ 人教版七年级下册 $$