专项训练4 平行线与图形变换-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

专项训练4平行线与图形变换 一．平移 1．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm 第2题图 第3题图 3.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 4．如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（　　） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图所示，线段AB经过平移后得到线段A′B′，AB＝3cm，AA′＝4cm，那么线段AB沿 　 　方向平移了 　 　cm． 6．如图，∠3＝40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2＝　 　°． 7．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°． （1）请说明AE∥BC的理由． （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝　 　． 二．轴对称 8．如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后测得∠1+∠2＝180° 9．如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE∥BC，若∠C＝70°，则∠FEC＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 10．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 第9题图 第10题图 第11题图 11.如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若∠1＝70°，则∠2＝ 　 　°． 12．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝　 　°． 13．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°． 第12题图 第13题图 14.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE．（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 三．旋转 15．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 　 　°． 第15题图 第16题图 第17题图 16．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是　 　． 17．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　． 18．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； （2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练4 平行线与图形变换 一．平移 1．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可． 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF． ∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合， ∴平行四边形ABCD是平移重合图形， 故选：A． 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm 【分析】先根据平移的性质得到CF＝AD＝2cm，AC＝DF，而AB+BC+AC＝16cm，则四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF， ∵△ABC的周长为16cm， ∴AB+BC+AC＝16cm， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD ＝AB+BC+AC+CF+AD ＝16+3+3 ＝22（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 3.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案． 【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b， 乙所用铁丝的长度为：2a+2b， 丙所用铁丝的长度为：2a+2b， 故三种方案所用铁丝一样长． 故选：D． 【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键． 4．如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（　　） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，故∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积（6+10）×2＝16，故④正确． 【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上， ∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确； 由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE， ∴∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED， ∴∠A＝∠BED，故①正确； ∵BG＝4， ∴AD＝BE＞BG， ∴△ABC平移的距离＞4，故②错误； ∵EF＝10， ∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6， ∵△BEG的面积等于4， ∴BG•GE＝4， ∴GE＝2， ∴四边形GCFE的面积（6+10）×2＝16，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键． 5.如图所示，线段AB经过平移后得到线段A′B′，AB＝3cm，AA′＝4cm，那么线段AB沿 　AA′　方向平移了 　4　cm． 【分析】根据平移的方向和距离确定平移的结果即可． 【解答】解：线段AB经过平移后得到线段A′B′，AB＝3cm，AA′＝4cm，那么线段AB沿着AA′（或BB′）方向平移了4cm， 故答案为：AA′，4． 【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 6．如图，∠3＝40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2＝　220　°． 【分析】如图，利用平移的性质得a∥b，再根据平行公理的推论证明a∥b∥AD，再根据平行线的性质转角，从而可计算出∠1+∠2的度数． 【解答】解：如图，记∠1、∠2、∠3的顶点分别是B、A、C. ∵直线b平移后得到直线a， ∴a∥b， 过点A作AD∥a，则a∥b∥AD， ∴∠1+∠BAD＝180°，∠DAC=∠3＝40°， ∴∠1+∠2＝∠1+∠BAD+∠DAC=220°． 故答案为220． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 7．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°． （1）请说明AE∥BC的理由． （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝　或140°　． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论； （2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵DE∥AB， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∵∠B＝∠E， ∴∠BAE+∠B＝180°， ∴AE∥BC； （2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F， ∵PQ∥AE， ∴DF∥PQ， ∵∠E＝70°， ∴∠EDF＝110°， ∵DE⊥DQ， ∴∠EDQ＝90°， ∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°， ∴∠DPQ+∠QDP＝160°， ∴∠Q＝180°﹣160°＝20°； ②如图3，过D作DF∥AE交AB于F， ∵PQ∥AE， ∴DF∥PQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝70°， ∴∠EDF＝110°， ∴180°﹣∠QQ＝110°， ∴∠Q． 如图4，过D作DF∥AE交AB于F， ∵PQ∥AE， ∴DF∥PQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝70°， ∴∠EDF＝110°， ∴180°﹣∠QQ＝110°， ∴∠Q＝140°， 综上所述，∠Q或140°， 故答案为：或140°． 【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二．轴对称 8．如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后测得∠1+∠2＝180° 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意； B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°， ∴a∥b，故此选项不符合题意； C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意； D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键． 9．如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE∥BC，若∠C＝70°，则∠FEC＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【分析】根据平行线的性质可得∠AED＝∠C＝70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数． 【解答】解：∵DE∥BC，∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C＝70°， 由折叠得：∠DEF＝∠AED＝70°， ∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠DEF＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题． 【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠1， ∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AEF＝2x＝72°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 11.如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若∠1＝70°，则∠2＝ 　40　°． 【分析】由平行线的性质推出∠ACF＝∠1＝70°，由折叠的性质得到∠ACB＝∠ACF＝70°，由平角定义即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACF＝∠1＝70°， 由折叠的性质得到：∠ACB＝∠ACF＝70°， ∴∠2＝ 180°﹣70°﹣70°＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠ACF＝∠1＝70°，由折叠的性质得到∠ACB＝∠ACF． 12．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝　95　°． 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和是180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC， ∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°， ∵△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠BMN∠BMF100°＝50°， ∠BNM∠BNF70°＝35°， 在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°． 故答案为：95． 【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 13．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°． 【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进而可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键． 14.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE．（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB＝∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论； （2）求出∠AEB＝70°，由平行线的性质进而得出答案． 【解答】（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF， ∵EG平分∠CEF， ∴∠FEG＝∠CEG， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°， ∴AE⊥EG， ∵HG⊥EG， ∴HG∥AE； （2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°， ∴∠AEB＝70°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝70°， ∵HG∥AE， ∴∠DHG＝∠DAE＝70°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、折叠的性质、长方形的性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质和矩形的性质是解题的关键． 三．旋转 15．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 　25　°． 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠1的同位角的度数，然后用∠2减去∠1即可得到木条a旋转的度数． 【解答】解：如图， ∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数 至少是75°﹣50°＝25°． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键． 16．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是　15°　． 【分析】利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠BDF﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°， 故答案为15°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　秒或秒　． 【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°， ∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°， 分二种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°， 解得t； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°， 解得t； 综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行． 故答案为： 秒或秒． 【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 17．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； （2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由． 【分析】（1）由∠BCD＝150°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD可得出结论； （3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解． 【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°， ∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°， ∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°； （2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下： ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE＝180°； （3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB． 如图②，根据同旁内角互补，两直线平行， 当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°； 如图③，根据内错角相等，两直线平行， 当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$