精品解析：湖北省随州市曾都区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

曾都区2024-2025学年度第一学期学业质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A B. 1 C. 0 D. 2 2. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，5，9 D. 5，6，10 3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 分式化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 下面是计算的过程： 解： 第一步 第二步 其中，第一步、第二步分别是（ ） A. 积的乘方、同底数幂的乘法 B. 幂的乘方、同底数幂的乘法 C. 积的乘方、合并同类项 D. 幂的乘方、合并同类项 9. 在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分正确答案填在答题卡对应题号的横线上） 11. 写出一个使分式的值为负数的x的值_______． 12. “奋斗者”号深海潜水器，其外壳某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形是_______（填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 13. 如果关于x的方程无解，则m的值是_______． 14. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，于点E，于点F，则的长为________． 15. 如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 19. 如图，在中，，． （1）在图中，用尺规作的角平分线（不写作法与证明，保留作图痕迹）； （2）若，求的面积． 20. 某数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下： 活动项目 测量教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 方案示意图 测量步骤 ①在教学楼外选定一点C； ②测量教学楼顶点A处视线与地面的夹角； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； ⑤测量标杆顶端E处视线与地面的夹角； ⑥测量的长度． 测量数据 ，，， 说明 图上所有点均在同一平面内； ②点B，C，D在同一条直线上． 请你根据以上测量方案中测得的数据，求出教学楼的高度． 21. 如图，在△ABC中，，点D在延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 22. 随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． （1）求，两种型号的机器人的进价各是多少？ （2）春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 23. 用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… （1）直接写出第2025个等式； （2）用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； （3）根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 24. （1）【习题解答】如图1，是等边三角形，是中线，延长至，使.求证：. （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，试判断与的大小关系并说明理由. （3）【拓展探究】如图3，是等边三角形，为线段的延长线上一点，为直线上一点，若，请直接写出线段，与之间存在的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区2024-2025学年度第一学期学业质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据零指数幂计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟练掌握是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，5，9 D. 5，6，10 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4. 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，，∴，∴，该选项不符合题意； B、∵，，，∴，该选项不符合题意； C、，，不能判断，该选项符合题意； D、∵，，，∴，该选项不符合题意． 故选：C． 7. 分式化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，注意分母变为的符号变化． 先把分子分母因式分解后约分，再把约分的结果与通分合并即可． 【详解】解：原式 故选：D． 8. 下面是计算的过程： 解： 第一步 第二步 其中，第一步、第二步分别是（ ） A. 积的乘方、同底数幂的乘法 B. 幂的乘方、同底数幂的乘法 C. 积的乘方、合并同类项 D. 幂的乘方、合并同类项 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，根据计算过程判断即可得解，熟练掌握幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，第一步是幂的乘方，第二步是同底数幂的乘法， 故选：B． 9. 在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义、折叠的性质，根据折叠的性质结合中线的定义即可得解． 【详解】解：根据中线的定义结合图形可得： 折出的是中边上的中线的是 故选：D． 10. 如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质，利用两点之间线段最短求最值是解答的关键． 首先根据的垂直平分线可得点A与点C关于直线对称； 然后连接，此时与的交点为使周长最小的M点的位置； 最后利用三角形的面积计算公式，算出的长，进而计算出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴点A与点C关于对称． 连接，与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置． ∵是等腰三角形，且点D是底边上的中点， ∴ ∵，， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分正确答案填在答题卡对应题号的横线上） 11. 写出一个使分式的值为负数的x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，根据两数相除同号得正，异号得负列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，， ∴， ∴， ∴x的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. “奋斗者”号深海潜水器，其外壳的某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形是_______（填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 设三角形的内角为别为，，，根据三角形的内角和定理可计算求解． 【详解】解：设三角形的内角为别为，，， ∴， 解得， ∴， ∴这个三角形的最大的内角的度数是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 13. 如果关于x的方程无解，则m的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案． 【详解】方程去分母，得：， ∴， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，于点E，于点F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，求出，由三角形内角和定理可得，再由直角三角形的性质可得，从而得出，最后再由直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合 ∴ ∴当时， ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式除以单项式； （2）首先提公因式a，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的四则混合运算法则进行化简，得出化简结果后再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式四则混合运算，平方差公式，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握整式和有理数的运算法则是解题的关键． 18. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，． （1）在图中，用尺规作的角平分线（不写作法与证明，保留作图痕迹）； （2）若，求的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，以大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点D，即可完成作图； （2）作于E，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：射线即为所求， 小问2详解】 解：作于E， ∵为角平分线，， ，， ∵， ∴ ． 20. 某数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下： 活动项目 测量教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 方案示意图 测量步骤 ①在教学楼外选定一点C； ②测量教学楼顶点A处视线与地面的夹角； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； ⑤测量标杆顶端E处视线与地面的夹角； ⑥测量的长度． 测量数据 ，，， 说明 图上所有点均在同一平面内； ②点B，C，D在同一条直线上． 请你根据以上测量方案中测得的数据，求出教学楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ． 答：教学楼高度为． 21. 如图，在△ABC中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的计算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据三角形内角和定理得出， ，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 证明：中， ， 在中， ， ∴． 22. 随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． （1）求，两种型号的机器人的进价各是多少？ （2）春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】（1）型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； （2）商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． 【小问2详解】 解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 23. 用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… （1）直接写出第2025个等式； （2）用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； （3）根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 【答案】（1） （2）用含n（n为正整数）等式表示第n个等式为，证明见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的乘法，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给的式子即可得解； （2）根据题干所给的式子得出规律即可； （3）根据（2）中的式子将正方形进行分割，再重新拼接即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：第2025个等式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为， 左边，右边， ∴左边右边； 【小问3详解】 解：如图所示： ． 24. （1）【习题解答】如图1，是等边三角形，是中线，延长至，使.求证：. （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，试判断与的大小关系并说明理由. （3）【拓展探究】如图3，是等边三角形，为线段的延长线上一点，为直线上一点，若，请直接写出线段，与之间存在的等量关系． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再由等腰三角形的性质可知，结合三角形中线的性质得到，从而得到，即可证明； （2）作，交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得为等边三角形，从而得到，，结合，从而证明，得到，即可得到； （3）第一种情况，当在线段上时，作交的延长线于点，同（2）可证为等边三角形，，从而得到，，结合，即可得到；第二种情况，当在的延长线上时，作交的延长线于点，同第一种情况可证，，从而得到，结合，，即可得到． 【详解】解：（1）证明：为等边三角形 为等边三角形的中线 ； （2），理由如下： 作，交于点，如图 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ，， ， 在和中 （3）第一种情况，当在线段上时，作交的延长线于点，如图 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ， 第二种情况，当在的延长线上时，作交的延长线于点，如图 同理，可证， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $