精品解析：浙江省宁波市鄞州区2024-2025学年上学期九年级数学期末考试卷

鄞州区2024学年第一学期期末考试数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置，用铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 普通无人机飞行1小时到月球 B. 一个人奔跑速度是每秒500米 C. 将普通的冷水加热后水温上升 D. 篮球队员投一次篮球正好投中 3. 以矩形的对角线为直径作圆，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 点在圆内 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 6. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，点，，，都是网格的格点，点是的重心．则下列说法正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，，则 C. 连接，则DG∥BC D. 连接，，则 10. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ） A. B. 若点在图象上，则 C. D. 若点，在图象上，则 试题卷II 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若4个成比例的数满足，则这个数是__________． 12. 下表记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种树苗的移植成活的概率为__________． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 91 186 445 890 1800 成活的频率 0.91 0.93 0.89 0.89 0.9 13. 若扇形的圆心角为，半径为3，则它的弧长为______． 14. 小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 15. 如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是__________． 16. 如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 三、解答题（第171̃9题各6分，第202̃1题各8分，第222̃3题各10分，第24小题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 18. 某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生． （1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________； （2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明． 19. 如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． （1）求证：； （2）在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 20. 宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度．无人机的起飞点为地面上的点处，点与办公楼的水平距离为，与宁波中心大厦的水平距离为．无人机先从点处垂直起飞，到高度为89米的处时，沿与地面平行方向水平飞行到点，此时测得办公楼顶部的仰角为，宁波中心大厦顶部的仰角也为．已知办公楼的高度是． （1）求从点飞行到点的水平距离； （2）求宁波中心大厦的高度． （参考数据：，，）． 21. 如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： （1）设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式； （2）在图3中画出（1）中关于的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 23. 如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 7 … （1）若，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； （2）若，请通过计算判断与的大小关系； （3）若点在抛物线上，当时，，求的取值范围． 24. 如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州区2024学年第一学期期末考试数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置，用铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关， ∴与抛物线的形状形同． 故选：A． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 普通无人机飞行1小时到月球 B. 一个人奔跑速度是每秒500米 C. 将普通的冷水加热后水温上升 D. 篮球队员投一次篮球正好投中 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可求解，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 【详解】、普通无人机飞行1小时到月球，是不可能事件，不合题意； 、一个人奔跑速度是每秒500米，是不可能事件，不合题意； 、将普通的冷水加热后水温上升，是必然事件，不合题意； 、篮球队员投一次篮球正好投中，是随机事件，符合题意； 故选：D． 3. 以矩形的对角线为直径作圆，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 点在圆内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．根据矩形的对角线相等，得出，从而得出为圆的直径，点B、D都在圆上． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∴也是以矩形的对角线为直径的圆的直径， 点B、都在圆上， 故选：C． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 6. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 8. 圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，再由圆内接四边形的性质得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴． 故选：C． 9. 如图，在的正方形网格中，点，，，都是网格的格点，点是的重心．则下列说法正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，，则 C. 连接，则DG∥BC D. 连接，，则 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接并延长交于，连接，证明，再结合相似三角形的性质可判断A，C，D，再结合三角形的外角的性质可判断B，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵为的重心， ∴，， 由图形可得：，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，故C符合题意； ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心的性质是解本题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ） A. B. 若点在图象上，则 C. D. 若点，在图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据二次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， 结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方， 当时，，即， 将代入可得， ， ，故选项A正确； ∵ ∴关于对称轴的对称点的坐标为， ∵， ∴点和点都在点右侧，在x轴的上方， ∴， 解得：，故选项B错误； 将代入可得， ， ， ， ， 即，故选项C正确， ∵， ∴在抛物线上关于对称轴对称， ∴点的纵坐标相等，即， ∴， ∴， ∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于， 当时，， 将代入可得，， ∴ ∴，故选项D正确， 故选：B． 试题卷II 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若4个成比例的数满足，则这个数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 12. 下表记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种树苗的移植成活的概率为__________． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 91 186 445 890 1800 成活的频率 0.91 0.93 0.89 0.89 0.9 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 【详解】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，所以这种树苗的移植成活的概率等于移植的棵树为2000棵时成活的频率的数值0.9． 故答案为：0.9 13. 若扇形的圆心角为，半径为3，则它的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式，根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为3， ∴它的弧长为：， 故答案为：． 14. 小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 【答案】，等 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点个数问题，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴交点个数与系数的关系．抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点． 【详解】解：解：抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点，当抛物线与 x 轴有1个交点时，函数关系式为 ，当抛物线与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点时，函数关系式为． 故答案为 或 . 15. 如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 连接，设，先证明共线，再证明，求出，然后利用面积法求出，进而可求出的周长． 【详解】解：连接，设， ∵与的各边分别相切于点D，E，F， ∴，，，， ∴，平分， ∵， ∴，， ∴共线． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 16. 如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．首先根据直角三角形两锐角互余可知，根据可知，所以可得，可证，设，则有、，当与相似时，分两种情况：一种是；另一种是．再根据相似三角形对应边成比例得到关于的方程，解方程求出的值即为线段的长度． 【详解】解：中，90°，，， ，， ， ， ， ； ∵， ， ， 设，则有， ， ； ， ， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 综上所述，线段的长是或． 故答案为：或． 三、解答题（第171̃9题各6分，第202̃1题各8分，第222̃3题各10分，第24小题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，分式的性质． （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）利用分式的性质化简，求出值即可． 【详解】解：（1） ； （2）由得， ， 解得， ∴． 18. 某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生． （1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________； （2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根据概率公式求概率，列举法求概率． （1）所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生的结果（记为事件）只有种，根据概率公式即可求解； （2）所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（记为事件）只有种，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生（记为事件）的结果只有种，所以． 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： 七年级女生 八年级男生 八年级女生 九年级男生 八年级男生 （男，女） —— （男，女） （男，男） 八年级女生 （女，女） （男，女） —— （男，女） 所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生（记为事件）的情况只有种，所以． 19. 如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． （1）求证：； （2）在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 【答案】（1） 解：设网格中每个小正方形的边长为1，则 ，，，，，， ∴， ∴； （2） 解：如图，就是所求的三角形． ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定． （1）利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）同（1）作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度．无人机的起飞点为地面上的点处，点与办公楼的水平距离为，与宁波中心大厦的水平距离为．无人机先从点处垂直起飞，到高度为89米的处时，沿与地面平行方向水平飞行到点，此时测得办公楼顶部的仰角为，宁波中心大厦顶部的仰角也为．已知办公楼的高度是． （1）求从点飞行到点的水平距离； （2）求宁波中心大厦的高度． （参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明四边形为矩形，得，解，求出，即可得出结论； （2）延长交于点，则，解，求出的长即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得，， 四边形为矩形， ， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得，， 四边形为矩形， ， ∵办公楼顶部的仰角为，宁波中心大厦顶部的仰角也为． ∴共线， 在中，， ， ∴． 21. 如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 由作法可知，， 又∵，， ∴ ∴． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接、，由作法可知，，再证明，即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得为等腰直角三角形，再结合利用勾股定理可得，最后结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： （1）设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式； （2）在图3中画出（1）中关于的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】（1） （2） 函数图像如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图像，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是关键． （1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须骨架长度大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【小问1详解】 解：， 是的垂直平分线， 分别是和的中点， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， ，解得或48， 由得，，解得， 当时，箏面的面积不超过． 23. 如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 7 … （1）若，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； （2）若，请通过计算判断与的大小关系； （3）若点在抛物线上，当时，，求的取值范围． 【答案】（1）函数有最小值，最小值为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的最值问题，求二次函数的函数值等等： （1）根据对称性可得对称轴，再由对称轴处的函数值与时的函数值的大小关系即可得到结论； （2）利用待定系数法求出解析式，进而求出p、q的值即可得到答案； （3）讨论对称轴的位置，根据二次函数的增减性与开口方向之间的关系讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当和当时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值小于当时的函数值， ∴该函数有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：将代入中得， 解得， ∴当时，， ∴此时函数解析式为， 当时，；当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，抛物线对称轴为直线 ①当时，若，则当时，随x增大而增大， ∵当时，， ∴此时满足题意， ∴， ∴， ∴； 若，则当时，随x增大而减小， ∵当时，， ∴此时不满足题意； ②当时，若，则当时，随x增大而增大， ∵当时，， ∴此时满足题意， ∴， ∴， ∴； 若，则当时，随x增大而减小， ∵当时，， ∴此时不满足题意； 当时，若，则当时，函数的最小值一定小于，若，则当时，函数的最大值一定大于7，故此种情况不符合题意； 综上所述，或． 24. 如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）①7；② 【解析】 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，，，，如图2， 连结， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连结， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $