精品解析：重庆市綦江区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

八年级 数学试题卷 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. a3•a4＝a12 B. （a3）2＝a5 C （3a2）3＝27a6 D. a6÷a3＝a2 3. 一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 80厘米 D. 110厘米 4. 当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A. B. C. D. 5. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 把分式中的和分别扩大为原来的6倍，则分式的值（） A. 扩大为原来的6倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的12倍 D. 不变 8. 已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，的面积为，于点，直线垂直平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（）个． （1）存在实数x，使成立，则k取值范围是； （2）若，则； （3）若，则或； （4）存在整数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 因式分解结果为_____． 12. 正n边形的每个内角均为，则______． 13. 如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是______． 14. 如图所示：要测量河岸相对的两点、之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走40米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到处，在处转沿方向再走21米，到达处，使，与在同一直线上，那么测得，的距离为______米． 15. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为_____________． 16. 如图所示，，，，、、在同一直线上，，，求__________． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为________. 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为______；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是______． 三、解答题:(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （3）在y轴上找一点P，使的值最小． 22. 学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现的外角和外角的角平分线，交于点，他猜想平分，他的解决思路是利用角平分线性质．过点分别向、、作垂线，再利用相关性质得出结论．其中小明已经完成过点分别向、作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点作于点．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，的外角和外角的角平分线，交于点，于点，于点，于点．求证：． 证明：平分， 于点，于点， ① ， 平分， 于点，于点， ② ， ③ ， ，， ④ ， ． 由此他得出结论：三角形两⑤ 所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 23. 综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．综合实践课上田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 数学思考：（1）“”处的值为； 方法应用：（2）已知多项式有一个因式是，求的值； 深入探究：（3）若多项式有因式和，求，的值． 24. 怪味胡豆是重庆市著名特产之一．某土特产专卖店经销，两种品牌的怪味胡豆， 进价和售价如表所示： 品牌 进货（元袋） 销售（元袋） 18 21 （1）第一次进货时，该专卖店用2800元购进品牌怪味胡豆，用3200元购进品牌怪味胡豆，且两种品牌所购得的数量相同，求的值； （2）第二次进货时，品牌每袋上涨1元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时，、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于782元． 25. 如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒； （2）当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 26. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称“字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级 数学试题卷 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a3•a4＝a12 B. （a3）2＝a5 C. （3a2）3＝27a6 D. a6÷a3＝a2 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】A．a3•a4=a7，故本选项不合题意； B．(a3)2=a6，故本选项不合题意； C．(3a2)3=27a6，正确，故选项C符合题意； D．a6÷a3=a3，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 80厘米 D. 110厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．设第三边的长厘米，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：设第三边的长厘米， 一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米， 满足条件的只有80厘米， 故选：C． 4. 当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 5. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们夹边是完整的， 所以可以根据“”画出， 故选：A． 6. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，领补角互补及三角板角度的有关计算，根据对顶角，领补角及余角逐个计算即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 选项A：，，，故不符合题意， 选项B：，，，故不符合题意， 选项C：，不一定相等，符合题意， 选项D：，故不符合题意， 故选：C． 7. 把分式中的和分别扩大为原来的6倍，则分式的值（） A. 扩大为原来的6倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的12倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，牢记分式的基本性质是解题的关键． 将原式中换为，将换为，再利用分式的性质进行化简即可． 【详解】解：把分式中的和分别扩大为原来的6倍， 即：， 分式的值缩小为原来的， 故选：B． 8. 已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式． 【详解】解：由图1得：正方形ABCD的面积是，正方形FGCH的面积是， ∴阴影部分的面积是， 由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b， ∴长方形AHDE面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积． 9. 如图，在中，，，的面积为，于点，直线垂直平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到，进而得到，进而得到的最小值为的长，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 10. 对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（）个． （1）存在实数x，使成立，则k的取值范围是； （2）若，则； （3）若，则或； （4）存在整数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．由可得，再由有实数根可得，再计算即可判断（1）；由m=可 ，再判断（2）即可；由可得，得出，可求得或，再分别代入求解，再判断（3）即可；由，可得，因式分解得，即，再判断（4）即可． 【详解】解：若，则，即， ∵存在实数x使成立， ∴有实数根，即， ∴， 解得，故（1）正确，符合题意； 若， ， ∴， 故（2）正确，符合题意； 若； ∴， ∴或， 当时，， 当时，3， ∴（3）错误，不符合题意； 若， 则， ∴， ∴， ∴， 即， 存在整数等， 故（4）正确，符合题意； ∴正确的有（1）（2）（4），共3个； 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 因式分解的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．直接根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 12. 正n边形的每个内角均为，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了考查了多边形，把多边形内角问题转化为外角问题是解题的关键；根据正多边形的特点，求出每个外角度数，再根据外角和即可求出边数． 【详解】解：正n边形的每个内角均为， 多边形的每个外角均是， ， 故答案为：8． 13. 如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是关键．阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 故答案为：14． 14. 如图所示：要测量河岸相对的两点、之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走40米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到处，在处转沿方向再走21米，到达处，使，与在同一直线上，那么测得，的距离为______米． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据意义得出（米），结合对顶角相等，得证，即可作答． 【详解】解：∵先从处出发与成角方向，向前走40米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到处，在处转沿方向再走21米，到达处， ∴（米）， ∵A、C与E在同一直线上， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：21． 15. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 16. 如图所示，，，，、、在同一直线上，，，求__________． 【答案】##76度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，得到，利用三角形的外角性质得到，最后利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组无解，解得，解分式方程得，，确定出满足条件的a的值，即可得到结果． 【详解】解：∵关于x的不等式组， ∴由①得，， 由②得，， ∵原不等式组无解， ∴， 解得，， 解分式方程得，， ∵分式方程得解为正整数， ∴为、、， ∵，即， ∴， 综上为、， ∵， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为______；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的运算、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据“和百数”的定义列出方程，解方程求出结果． 根据“和百数”的定义可列方程，解方程求出的值即可得到这个数； 首先根据是“和百数”，可得：，根据这个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，可知是整数，所以可知，因为和为从到之间的整数，所以可得当，时，，，此时时为满足条件的最大数． 【详解】解：是“和百数”， 则， ， 解得，， 这个数为； 是“和百数”， 则，， ， ， 一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除， 是整数，即是整数， 各数位上的数字均不为， ， ， 当，时，，即， 和为从到之间整数， 不成立， 当，时，，即， ，， 此时为满足条件的数的最大， 满足条件的数为， 故答案为：；． 三、解答题:(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据分式混合运算法则进行计算，然后求出，再代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （3）在y轴上找一点P，使的值最小． 【答案】（1）见解析，， （2）见解析，， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点，的坐标； （2）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点，的坐标； （3）连接交y轴于P，从而解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，， 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求， 22. 学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现的外角和外角的角平分线，交于点，他猜想平分，他的解决思路是利用角平分线性质．过点分别向、、作垂线，再利用相关性质得出结论．其中小明已经完成过点分别向、作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点作于点．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，的外角和外角的角平分线，交于点，于点，于点，于点．求证：． 证明：平分， 于点，于点， ① ， 平分， 于点，于点， ② ， ③ ， ，， ④ ， ． 由此他得出结论：三角形的两⑤ 所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 【答案】（1）作图见解析 （2）；；；平分；外角角平分线 【解析】 【分析】本题考查尺规作图（过直线外一点作高），角平分线的性质与判定，熟练掌握利用尺规作高的方法和角平分线的性质与判定是解题的关键． （1）用尺规作高即可； （2）先利用角平分线的性质得出，，则，再利用角平分线的判定即可得平分，最后总结即可． 【小问1详解】 解：作图如图所示： 则即为所求； 【小问2详解】 解：平分，于点，于点， ， 平分，于点，于点， ， ， ，， 平分， ． 由此他得出结论：三角形的两外角角平分线所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 故答案为：；；；平分；外角角平分线． 23. 综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．综合实践课上田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 数学思考：（1）“”处的值为； 方法应用：（2）已知多项式有一个因式是，求的值； 深入探究：（3）若多项式有因式和，求，的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值及解二元一次方程组，做题的关键设出各个因式后转化为解方程即可． （1）直接解方程可得m的值； （2）直接把代入求解b的值即可； （3）把和代入求解方程组即可． 【详解】解：（1）依题意，由， 解得：， 故答案为：4； （2）由题意，设为整式）， 令，即，代入式子， 得， 解得； （3）依题意，设， 由于上式是恒等式，为方便计算， 取，得， 即， 取，得， 即， 解方程组， 解得， ，． 24. 怪味胡豆是重庆市著名特产之一．某土特产专卖店经销，两种品牌的怪味胡豆， 进价和售价如表所示： 品牌 进货（元袋） 销售（元袋） 18 21 （1）第一次进货时，该专卖店用2800元购进品牌怪味胡豆，用3200元购进品牌怪味胡豆，且两种品牌所购得的数量相同，求的值； （2）第二次进货时，品牌每袋上涨1元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时，、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于782元． 【答案】（1）14 （2）121袋 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意，列出分式方程，不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用2800元购进品牌怪味胡豆，用3200元购进品牌怪味胡豆，且两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设设购进袋，为袋，，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 根据题意， 可得：， 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：的值为14； 【小问2详解】 设购进为袋，为袋， ， 解得：． 答：至少购进品牌121袋． 25. 如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒； （2）当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】设点、从出发到相遇所用时间是，根据点、的运动速度把点、运动的路程表示出来，根据点、相遇时所走的路程和等于的周长可列关于的方程，解方程即可； 假设是等边三角形，则有，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可知，从而可列关于的方程，解方程即可求出运动的时间； 若，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，可得方程，解方程可得：，此时点从点出发运动的路程为厘米，已经到达线段上，所以不成立，可知不存在的值，使． 【小问1详解】 解：设点、从出发到相遇所用时间是， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，是等边三角形． 理由如下： 如图所示，若是等边三角形， 此时点在上，点在上，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：不存在的值，使． 理由如下： 如图所示：若， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得：, 又， 不存在的值，使． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、动点问题，解决本题的关键是点运动的时间和速度把线段的长度用含的代数式表示出来，再根据线段之间的相等关系列方程． 26. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）1012 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； 【小问3详解】 解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $