云南省保山市2024-2025学年高三上学期1月期末质量监测数学试题

Sheet1 保山市2024~2025学年普通高中上学期期末质量监测·双向细目表 高三数学 序号 题型 分值 试题内容 关键能力 核心素养 学科思想 难易程度（打√） 易 中 难 1 单选题 5 集合的基本运算（交集） 运算求解能力、逻辑推理能力 数学运算、逻辑推理 转化与化归思想 √ 2 单选题 5 复数的概念以及四则运算 运算求解能力、逻辑推理能力 数学运算、逻辑推理 转化与化归思想 √ 3 单选题 5 等比数列运算 运算求解能力、逻辑推理能力 数学运算、逻辑推理 转化与化归思想、分类讨论思想 √ 4 单选题 5 平面向量、充分条件与必要条件 逻辑推理能力、运算求解能力 数学运算、逻辑推理 转化与化归思想、分类讨论思想 √ 5 单选题 5 三角函数 逻辑推理能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想，数形结合思想 √ 6 单选题 5 正态分布与均值不等式 逻辑推理能力、运算求解能力 直观想象、逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、数形结合思想 √ 7 单选题 5 立体几何、外接球体积 直观想象力、数学运算能力、逻辑推理能力 直观想象、逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、数形结合思想 √ 8 单选题 5 函数与导数 逻辑推理能力、数学抽象能力、数学建模能力、批判性思维能力 数学建模、逻辑推理、数学抽象 转化与化归思想、数形结合思想 √ 9 多选题 6 三角函数 逻辑推理能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、数形结合思想 √ 10 多选题 6 古典概型问题的概率、时间的相互独立性 逻辑推理能力、数学运算能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想 √ 11 多选题 6 抛物线的综合问题 数学运算能力、数学抽象能力 逻辑推理、数学运算 数形结合思想、转化与化归思想 √ 12 填空题 5 概率 逻辑推理能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想 √ 13 填空题 5 函数与导数 逻辑推理能力、数学运算能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、函数与方程思想 √ 14 填空题 5 新定义、函数与导数 逻辑推理能力、数学运算能力、创新能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、函数与方程思想 √ 15 解答题 13 数列、解三角形 数学运算能力、逻辑推理能力 逻辑推理、数学运算 数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想 √ 16 解答题 15 立体几何 直观想象能力、数学建模能力、运算求解能力 数学建模、直观想象数学运算 转化与化归思想、数形结合思想 √ 17 解答题 15 统计与函数的综合性应用问题 数学运算能力、逻辑推理能力、数学建模能力 逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析 转化与化归思想、数形结合思想 √ 18 解答题 17 双曲线 逻辑推理能力、数学运算能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、数形结合思想 √ 19 解答题 17 新定义、方程、不等式 逻辑推理能力、数学运算能力、创新能力 逻辑推理、数学运算 转化与化归思想、函数与方程思想 √ 命题思想 达成 目标 优秀率 及格率 平均分 5% 40% 70±5分 预估难度：0.40—0.60；检测知识体系，最大限度覆盖知识点，回归教材和通性通法，立足学科核心素养，注重数学阅读能力，关注时事政治、文化、科技热点对标高考方向，加大开放探究，反套路反机械刷题，注重思维考查。 $$【考试时间：2025年1月18日15：00~17：00】 保山市2024~2025学年普通高中上学期期末质量监测 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、 准考证号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1.已知集合A={-1,0,1,2,3,4},B={x|2≤8引，则A∩B= A.{-1,0,1,2,3,4} B.{-1,0,1,2,3 C.{-1,0,1,2} D-1,0,1} 2.已知复数z=1+bi(b∈R),且z·z=4,则b= A.1 B.2 C.5 D±3 3.设正项等比数列{an}的前n项的和为Sn,若a1=1,S,=7,则aca,= A.5 B.7 2.32 D.4√2 4.设a,6是非零向量，则“|a1+|刷=|a+61”是“a,万共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 风既不充分也不必要条件 5.已知函数代x)=4图象的一条对称轴是x=牙，则9 A-2 8 C.5 D.-√3 6已知随机变量5N3.o2)且P(≤1)±A(E≥a),则+4(0<a)的最小值是 x a-x A.9 B.3 9 D.2 5 高三数学·第1页（共6页） 7.已知圆锥的项点为S,底面圆心为0，AB为底面直径，圆维的轴截面是边长为4的等 边三角形，点C在底面圆周上，截面SAC与底面所成角的正切值是V6,则三棱锥 S-ACO外接球的体积是 A. 20m 20W5m B.20m C.20√5m D. 3 3 8.定义在R上的奇函数x),满足对Vx∈R都有f(-x)-代2+x)=0,代2027)=1.若 f(x)+f'(-x)>0,则不等式(x+2)x一的解集是 A(1,+o) 正.(3，+∞) C{-∞，3) D.t-∞，1) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分)》 9.对于函数fx)=tamn2x+）, 则下列结论正确的是 A函数)的最小正周期为 B函数)的定义域为≠受e列 C函数的对称中心为君受，可小(ke2 D函数)的单调递增区间为洲冬受，晋贺(：ez 10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X,掷出点数之和为Y,则 A事件“X为奇数”发生的概率日 B.事件“Y≥17”发生的概率为1O8 C.事件“X=2”和事件“Y=4”相等 D.事件“X=4”和事件“Y=6”独立 11.已知抛物线C:x2=2py(P>0)的焦点是F,-准线与y轴交于点D,直线l经过点F且与 C交于A,B两点，其中点A在第一象限、线段F的中点为M,点M在x轴上的射 影是点N,若IMWI=INFI,则 A.1的斜率是〉 B.△ABD是锐角三角形 C.四边形MNDF的面积是3p2 D.IBF|·IFAI>|FD|2 高三数学·第2页（共6页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1x23 12.在3 的展开式中，常数项为 13.已知定义在R上的函数f(x)满足4f(x)=f(-x)+5e,则f(x)在点(0，f0))处的切线 方程是 14.曲率在数学上是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为r的圆，定义其曲 率k=】，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径 计算.其中对于曲线y=∫(x)在点(xo,f(x)处的密切圆华径计算公式为 R=1+((x)3] 广()，其中∫()表示y=fx)的导数，(x)表示f(x)的是数已知 曲线C:g(x)=e,x∈R,则曲线C在点(0,1)处的曲率是 ；C上任意一点 处曲率的最大值是 ·（第一空2分，第二空3分) 四、解答题（共77分.解答应写出文字明，证明逆程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知数列1a,}是首项为1，公差为1的等差数列，数列b,}满足6，=。1 一，数列 an·an {bn}的前n项和为Tn (1)求Tn; 9 (2)在锐角△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且a=之T,△ABC外接 圆的半径为 3,求△ABC面积的最大值 高三数学·第3克（共6页）》 16.（本小题满分15分)》 如图1，在多面体ABCD-A1B,C,D,中，AM1⊥平面ABCD,AA1∥BB,∥CC1∥DD,且 底面ABCD为菱形. (1)证明：BD⊥平面ACC1A,: (2)若∠BAD=60°，AB=BB,=2,AA1=CC,=3.当A1,B1,C1,D 四点共面时，求DD,的长以及此时平面A,B,C,D,与平面ABCD所成的 夹角大小 图 17.(本小题满分15分) 腾冲科学家论坛（“TENGCHONG SCIENTISTS FORUM”,英文缩写为TSF;以下简称 “论坛”)由中国科学院院士、清华大学原校长顾秉林，中国科学院院士、北京大学 原校长许智宏，中国科学院院士、南开大学原校长饶子和三位院士倡议发起，由云南 省人民政府和中国科学技术协会共同主办，北京大学、清华大学、南开大学共同支 持.论坛为非营利性质，每年定期在中国云南腾冲举办，已成功举办两届。论坛以 “科技引领未来”为主旨，致力传承西南联大精神，弘扬科学精神和科学家精神，搭 建先进学术思想交流平台、政产学研互动平台.科技成果转化平台、中国与南亚东南 亚国家科技合作平台.云南保山某有限公司在腾冲科学家论坛的引领下，积极探索生 态农业、大健康产业，该企业研发的一种产品的质量指标值为N(N∈[70,100])， 其质量指标等级划分如下表： N [70,85) [85,90) [90,100] 等级 二级 一级 特级 为了解该产品质量与经济效益的关系，该企业进行试生产.先从试生产的产品中随机 抽取1000件产品.将其质量指标值N的数据作为样本，绘制如图2所示的频率分布 直方图： 频率 组距 0.04 0.02 707580859095100质量指标值N 图2 高三数学·第4页（共6页） (1)若样本数据质量指标的中位数为87.5，求b的值； (2)若每样产品的质量指标值N与利润y(单位：万元)的关系如下表0<》： N [70,85) [85,90) [90,100] 10sinx 利润y 、10 2x 以短鸨为概率，盈利的期望作为决策依据、若c=0.01,对任意的x∈0，》，该产 品是否一定能盈利？若不一定能盈利，需要继续升级产品.请判断该产品是否需要继 续升级。 18.(本小题满分17分) 号-=1的右焦点F到渐近线x5y=0的距离是5. 已知双曲线C:示8 (1)求双曲线C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右两支分别交于点A,B,与圆x2+y2=a2交于与A,B 不重合的M,N两点. (i)求直线AB斜率的取值范围； (i)求AB|·IMW|的取值范围 高三数学·第5页（共6页） 9.(本小题满分17分)》 法国数学家韦达(F.Vita,1540~1603)第一次有意识地使用系统的代数字母与符号， 以铺音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一 般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”， 在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关 系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦 达定理.韦达定理的一种推导过程如下： 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则有方程 (x-x1)(x-x2)=0,所以有x2-(x,+x2)x+x1x2=0;又因为ax2+bx+c=0(a≠0)可变形为 2bx+二=0(a≠0)，可得结论名，场，=- 名名。，即为韦达定理， b (1)类比以上方法推导出关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的韦达定理； (2)若方程x-2x2+3x-4=0的三个根分别为，x2,3,则有x1+x2+x3=」 x1x2十x2x3+x1x3=」 _；x1x2x3= (3)若实数a,b,c满足a+b+c>0,ab+ac+bc>0,abc>0,求证：a>0,b>0,c>0. 高三数学·第6页（共6页） 保山市2024~2025学年普通高中上学期期末质量监测 高三数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A B C D A 【解析】 1．由得，故，故选B． 2．因为，所以，，所以，故选D． 3．由题意得：所以所以或，又因为为正项等比数列，则，． 4．因为是非零向量，且，则有 共线；又，故“ ”是“共线”的充分不必要条件，故选A． 5．因为图象的一条对称轴是，所以有 ， ，，故选B. 6．由随机变量且，得， 当且仅当所以的最小值是，故选C． 7．是边长为4的等边三角形，，，取AC边的中点E，连接OE，SE，则有，所以是截面SAC与底面所成的角，，，是直角三角形，设三棱锥的外接球的球心为，外接球的半径是，底面，且平面， ，故三棱锥外接球的体积为，故选D． 8． 因为是奇函数，，；对都有， ，是周期为4的周期函数，；设则，在R上单调递增，； ，所以有，所以不等式的解集是，故选A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 【解析】 9． 对于A，因为函数的最小正周期，故A正确；对于B，由，即，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，函数的对称中心应该满足，即，所以函数的对称中心为，故C错误；对于D，由，得，所以的增区间是，故D正确，故选ABD． 10．对于A，事件“X为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为，故A正确；对于B，事件“”等价于“或”，而“”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为，“”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为，因此，故B错误；对于C，事件“”和事件“”包含相同的样本点，因此是相等事件，故C正确；对于D，事件“”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”，其概率为，事件“”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1，1个2和1个3”，其概率为，而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率，D错误，故选AC． 11．设点点 .， 对于A，直线的斜率，故A正确；对于B，中 ， ，所以是锐角三角形，故B正确；对于C，四边形MNDF的面积，故C错误；对于D，，即所以D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 20 【解析】 12．因为的展开式的通项为，令，可得，所以常中数项为. 13．由，得，两式联立得，所以，，，则在点处的切线方程是 14．由得， 曲线C在点处的曲率是． ， ，上单调递增， 时，上单调递减，在上单调递增，而曲率的曲率有最大值是. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1） ， . …………………………（6分） （2）， 为锐角三角形，即 …………………………（9分） ， 当且仅当时，上式取“=”号， . …………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：， ∴点共面， 在菱形ABCD中，， 又平面，∴， ， . ………………………………（5分） （2）解：如图所示，以建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 当四点共面时， 存在实数，使得 ， 所以． ………………………………（9分） 设平面的一个法向量为， ， 平面，∴平面的一个法向量是， ， 设平面与平面所成的夹角为θ， ， ∴平面与平面所成的夹角为． ………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1） ……………………………（4分） （2）由题意得， ， 若， . ………………………………（6分） 所以有 N [70，85) [85，90) [90，100] 利润y P 5a + 0.15 0.55−5a 0.3 . ………………………………（8分） ， ………………………………（11分） ， ， 恒成立，则上单调递增．………………………………（13分） 又， 时，不恒成立， ………………………………（14分） ∴该产品不一定能盈利，需要继续生产升级． ………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）∵焦点F到渐近线的距离是， ， 所以双曲线的方程是. ………………………………（4分） （2） （i）由题意知：直线AB的斜率一定存在， 设直线的方程是，， ， ， 又因为直线AB与曲线C的左、右支分别相交，， ， ∵直线AB与圆相交， ∴圆心(0，0)到直线AB：的距离为， 又∵A，B与M，N不重合，∴， 综上，直线AB斜率的取值范围是． ……………………………（11分） （ii）由（i）知，， ，， ， ，， ， ， 的取值范围是． ………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：设是方程的三个根， ， 则， ， 可变形为， ． ………………………（6分） （2）解：若方程的三个根分别为 则． ……………………………（9分） （3）证明：设关于的一元三次方程的三个根分别为， 则有， ………………………………（11分） ， ，所以此方程的三个根均不为0． ………………………………（13分） 假设此方程存在负根t(t<0)， 则有， ， ， 这与矛盾， ∴假设方程存在负根是错误的． ………………………………（16分） 综上，此方程的三个根均大于0，所以． …………………………………………（17分） 高三数学参考答案·第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$保山市2024~2025学年普通高中上学期期末质量监测 高三数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 2 5 6 7 8 答案 B D c A B D 【解析】 1.由2≤8得x≤3，故A∩B={-1,0,1,2,3},故选B. 2.因为z=1+bi(b∈R),所以：=1-bi,z·z=(1+bi)1-bi)=1+b2=4,所以b=±√5，故 选D 3.由题意得：a=1,a,+a9+a,g2=7,所以q2+q-6=0,所以9=2或9=-3，又因为{an} 为正项等比数列，则q=2,这时a。=a,g=32,所以√a,a,=√a=32,故选C. 4.因为a,b是非零向量，且|a1+1b曰a+b1,则有0a+b02a+b2三a.方ab台 (a,b=0=a,b共线：又非零向量a,供线→(a,b=0或(a,b=π，故“|a+b日 |ā+b1”是“a,b共线”的充分不必要条件，故选A. 5.因为f)=asx+bcsx图象的一条对称轴是x=牙所以有f国=f行户 asin<+=asm-+bc-asinx+=o+bsnxa-创 (sinx-cos)=0,:sinx-cosx不恒为0，.a-b=02=2,故选B. 6.由随机变量5~NB,o)且P5S)=P(≥a,得a=5,+4=上+.4 4-x x 5-x 是6-训-北：5g气5+3受0<，当 仅当5-=4，即x=时取“=”，所以上+40<x<)的最小值是？，故选C r 5-x x a-x 高三数学参考答案·第1页（共9页） 7.,△SAB是边长为4的等边三角形，SO⊥AB,SO=2V3,取AC边的中点E,连接 OE,SE,则有SE⊥AC,OE⊥AC,所以∠SEO是截面SAC与底面所成的角， tm∠E0=01-25-6,10E=5,4C-22,1oaf+10cP4c, OEOE ,△AOC是直角三角形，设三棱锥S-ACO的外接球的球心为M,外接球的半径是R, ,SO⊥底面AOC,且IEA曰ECHEO,.ME⊥平面AOC,又MS H MO=R, MESO1=5,∴R2MEP+AEP=5,故三棱锥S-AC0外接球的体积为 r-4R_205,故选D. 3 8.因为fx)是奇函数，.f(x)是偶函数，又：f(x)+f'(-x)>0,∴f(x)+'(x)>0:对 xeR都有f(-x)-f(2+x)=0,∴.f(x+2)=-f(x),∴.f(x+4)=f(x+2)+2]=-f(x+2) =fm),·f)是周期为4的周期函数，“f(2027)=f506×4+3)=f3)=1；设 g(x)=efx),则g'(x)=e'[fx)+f(x>0,∴gx)在R上单调递增，g3)=e3f)=e2； 又x+2>eux+2>e2→gt+2>e2g+2》>g60)，所以有 x+2>3,即x>1,所以不等式fx+2)>二的解集是，+o),故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 【解析】 9.对于A,因为函数f)=am2x+的最小正周期T=工=，故A正确：对于B,由 4 2x+标+keZ),即x≠+k∈，所以函数f田的定义域为 4 82 受宁Ae,故B正确：对于C,函数的对称中心应该满足 2x+经经依e刀，即音+经e刀，所以函数因的对称中心为 84 高三数学参考答案·第2页（共9页） (日+停0e0,放c销误：对于D,由a-子2r+经<a+e,得 3红+仁<x<+ke2,所以f的增区间是证+任，及+ke,放D正 82 82 8282 确，故选ABD. 10.对于A,事件“X为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为 固专放A正确对于B,事作7”等价于“7=7或7=1g,面78 等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为 1 216 “Y=17”等价于“掷出的 3个点数中有2个6和1个5”，其概率为C君=2，因此PV≥17) 54,故B 错误；对于C,事件“X=2”和事件“Y=4”包含相同的样本点 {(2,1,1),Q,2,),(1,1,2)},因此是相等事件，故C正确：对于D,事件“X=4” 等价于“3次挪出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1，其概率为636， 61 事件“Y=6”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1,1 个2和1个3”，其概率为。点，商积事行等价于“3次据出的点数中有2个】 3115 和1个4”，其概 2167236*108,D错误，故选AC N径，0小≥0，：wH=5n5=-2，点， 停}引小受，小对于A,直钱的斜率 3p_ k=22= 3p 3 ,故A正确：对B△MBD中B外号4Dp,BD2, 3 白BD以D,点∠ADB是最大角，s0B2产+7 7 9= 2xip.Vip 3 高三数学参考答案·第3页（共9页） ∴·∠ADB是锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；对于C,四边形MWDF的 面积s0+p.e。5p C错误：对于D,1BF仁2，FA BFF C>p2,即|BFIFAPDF,所以D正确，故选ABD. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 20 3x-3y+5=0 只9 【解析】 的展开式的道现为-C写气(-产C-a上6， 令12-4r=0,可得r=3,所以常中数项为3C=20, 1.由4=+，得4-=+e,两式联立得-+兮，所以 10-号f闭-子-，f0=1,则0在点@o)处的切线方粮是 3,即3x-3y+5=0. 14.由g=ereR得g'6)=心g)=e,g0=l,g0)=l,R=1+[gT |g"(x)川 。-25,人女号。鱼线C在点0，处的言率是要.产 1 4 lg"(x。川 0+∑，设=e,则e0,+o小，R= 1+)3 e26 +3+1+3, 设h()=2+ 3+3,1e0,+),则0=2+3-在0，+四)上单调递增，付=0， 高三数学参考答案·第4页（共9页） 10》时，A0<0,1e传+时，0>0,0连0引上单调递减，在 2 而曲率k= 故g(x)的曲 4 率有最大值是25 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)4=1，d=1,∴a,=n,6=1=1L n.(n+l)nn+1' ∴.T=b+b+b+…+b =1-+++11 +…+ 22334 nn+l n+1n+i T= …(6分) n+1 2号 a=9x8-4.isin4- Γ29 2R 45=2 2× 3 又：△4C为锐角三角形，即0<4<受·4 3 ………(9分) .a2=b+c2-2hc.=b+c2-bc=16, b2+c2=16+bc≥2bc,.be≤16， 4 4 当且仅当b=c=4时，上式取“=”号， ∴.△ABC的面积的最大值为4v5 …(13分） 16.(本小题满分15分) (1)证明：：AA∥CC, .点A,A,C,C共面， 在菱形ABCD中，BD⊥AC, 高三数学参考答案·第5页（共9页） 又AA⊥平面ABCD,∴.AA⊥BD, 又AC,AAc平面AACC,且AC∩A4=A, ∴.BD⊥平面AACC. ……(5分) (2)解：如图所示，以O4,OB为x轴和y轴建立空间直角坐标系， 设DD=m, 则A(N3,0,3),B(0,1,2),C(-V5,0,3),D,(0,-1,m), BC=(-√3，-1,1)，B4=(3,-1,D,BD=0,-2,m-2), 当A,B,C,D四点共面时， 存在实数，4，使得BD=2BA+4B,C, ∴.入=4=1m=4, 所以DD=4. …(9分) 设平面AB,CD的一个法向量为n=(x,y,z), 由 B=0, 5x-y+z=0,→n=0,1,D nBC=0-3x-y+z=0 z轴⊥平面ABCD,∴.平面ABCD的一个法向量是a=(0,0,I), ..cos(n,a)= n·a 1√2 nlal√2×12 设平面AB,CD与平面ABCD所成的夹角为0， cos0cos( e00- 平面AB,CD与平面ABCD所成的夹角为 …(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)中位数是87.5，∴.(90-87.5)b+0.2+0.1=0.5, .b=0.08 …(4分) (2)由题意得(c+0.02+a+b+0.04+0.02)×5=1, ∴.a+b+c=0.12, 高三数学参考答案·第6页（共9页） 若c=0.01,则a+b=0.11, b=0.11-a,0.02<a<0.04. …(6分) 所以有 N [70,85) [85,90) [90,100] 利润y 10 10sinx 2x x 5a+0.15 0.55-5a 0.3 ∴.利润)的期望E(y)=(5a+0.15)· +0.55-5a.10sinE+0.6x 0.6x2+(5.5-50a)sinx-50a-1.5 …(8分) t设/国=0.6r2+6.5-50a)sinx-50a-1.5,xe0,2 a∈(0.02,0.04)， .f"(x)=12x+(5.5-50a)cosx, …(11分) 0.02<a<0.04,则3.5<5.5-50a<4.5, xe0,}∴c0sx>0,1.2x>0, 2 ·f")>0恒成立，则fx)在0.召 上单调递增。…(13分) 又f0)=-50a-1.5<0,f =0.15π2+4-100a>0, x0,到时，>0不恒成立 …(14分) ∴该产品不一定能盈利，需要继续生产升级. …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)，焦点F到渐近线x-√3y=0的距离是√5， :b=5-5,a=3, a 3 所以双曲线的方程是二上 931. …(4分) 高三数学参考答案·第7页（共9页） (2)()由题意知：直线AB的斜率一定存在， .设直线的方程是y=k(x-2V3),A(x,y),B(x,乃)， y=k(x-25),=0-3r2+125kx-36-9=0, x2-3y2-9=0 ∴.△=36(k2+1),x52= -36k2-9 1-32 又因为直线AB与曲线C的左、右支分别相交，∴x= -36k2-9 <0, 1-3k2 -5<k< 3 3 直线AB与圆x2+y2=9相交， 圆心0,0到直线B::-y-25k=0的距离为1=23k<3,-5<k<5, Vk2+1 又A,B与M,N不重合，∴.k≠0， 综上，直线AB斜率的取值范围是 …(11分) D由0知A8=E6”,1w2 12k2_23V3-k 11-3k211-3k21 9k2+1 Vk2+1 4BI-MN= 西.5，} 11-3k21 设3k2-1=1,则k2=号+0,1e(-1,0), 1h8w4t8D=4521,e,- 当→-1时， AB1MA>4V3×√27=36， ,ABMA的取值范围是(36，+oo). ……(17分) 高三数学参考容案·第8页（共9页） 19.(本小题满分17分) (1)解：设x,x,x是方程a3+br2+cx+d=0(a≠0)的三个根， .(x-xx-x2)x-x)=0, 则[x2-(G+x)x+xx](x-)=0, x3-(x+3+x)x2+(x2+x+x2x)x-xx=0, 又：am+br2+cx+d=0a≠0)可变形为r2+bx+Cx+d=0, d 0 aa “无+5+x=-6,++=二，=- b d …(6分) a (2)解：若方程x3-2x2+3x-4=0的三个根分别为x,x2,x 则x+x2+x=2,x2++x2=3,x55=4 …(9分) (3)证明：设关于x的一元三次方程的三个根分别为a,b,c, 则有(r-a(x-b)(x-c)=0, ****…(11分) ..x-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=0, ,abc>0,所以此方程的三个根均不为0. …(13分) 假设此方程存在负根(<0)， 则有2<0，：a+b+c>0,.-(a+b+c)r2<0, '.'ab+ac+bc>0,.(ab+ac+be)t<0,-abe <0, ..-(a+b+c)t2+(ab+ac+be)t-abe <0, 这与r'-(a+b+cr2+(ab+ac+bcf-abc=0矛盾， 假设方程存在负根是错误的. …(16分) 综上，此方程的三个根a,b,c均大于0，所以a>0,b>0,c>0. ……(17分) 高三数学参考答案·第9页（共9页）