精品解析：江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期宜兴市初中学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的 相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指 定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正 确的的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是　　 A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 3. 一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　） A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91 4. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 3.5米 B. 4.5米 C. 5 米 D. 5.5 米 8. 如图，的周长为，正六边形内接于．则 的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（ ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 方程的解是______． 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 13. 写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 14. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 15. 如图，是的内接三角形，若，则__________°． 16. 如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为________ 17. 如图，矩形的对角线与交于点，于点， 延长与交于点，若，，则点到的距离为_________ 18. 如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点E为的中点，连接，，则___________；若，则的面积是_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. （1）计算 （2）已知，求代数式的值． 20. 解方程 （1） （2） 21. 在中，，平分交 于 点D，于 E． （1）求证：； （2）求的长． 22. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范 意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动． 为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位： 分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： ：组的数据： ，，，，，，，，，，，，，，，． ： 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为 ，扇形统计图中组对应扇形的圆心角为 度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 23. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 24. 已知：． （1）尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 25. 如图，以为直径的与的边相切于点D，分别与交于点E 、F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 26. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销 售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 ． （1）直接写出关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，直接写出销售单价的范围为 ． 27. 在矩形中，点E，F 分别在边，上，将矩形沿折叠． （1）若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H． ①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ； ②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值． （2）若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为 ． 28. 抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期宜兴市初中学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的 相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指 定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正 确的的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程的定义，由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证即可． 【详解】解：A、方程是分式方程，选项不符合题意； B、不是一元二次方程，选项不符合题意； C、，当，不符合一元二次方程定义．不符合题意． D、，符号一元二次方程的定义，符合题意． 故选：D． 2. 已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是　　 A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】点P在半径为5cm的圆内， 点P到圆心的距离小于5cm， 所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合； 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3. 一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　） A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为极差为：98﹣78=20,所以A选项正确; 从小到大排列为：78,85,91,98,98，中位数为91，所以B选项正确； 因为98出现了两次,最多,所以众数是98，所以C选项正确； 因为，所以D选项错误. 故选D． 考点：①众数②中位数③平均数④极差. 4. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 5. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规则；先把一般式化为顶点式，再根据二次函数图象的平移规则：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：， 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为， 故选：． 7. 如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 3.5米 B. 4.5米 C. 5 米 D. 5.5 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是3.5米， 故选：A． 8. 如图，的周长为，正六边形内接于．则 的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．先求解半径，再根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 10. 关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（ ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性；①由求解即可判断；②由求解即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的对称性求解即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，求出，则即可判断． 【详解】解：①此抛物线与x 轴只有一个公共点， ， 解得：， 故①不正确； ②此抛物线与坐标轴只有一个公共点， ， 解得：， 故②正确； ③抛物线， 对称轴为直线， ，， ， 故③不正确； ④抛物线， 抛物线的顶点为：， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 直线直线， 如图，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，则， 当时，，解得：， ， 是等腰直角三角形， ， 抛物线的顶点到直线的距离都等于， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∴或， ∴，． 故答案为：， 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 13. 写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意设二次函数为，根据题意得出，，取值即可解答． 【详解】解：设二次函数为， ∵对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小， ∴， ∵图像过点， ∴， 取， 则二次函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 15. 如图，是的内接三角形，若，则__________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 故答案为：64． 16. 如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为： 17. 如图，矩形的对角线与交于点，于点， 延长与交于点，若，，则点到的距离为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再根据等面积法求出，利用角的余弦值求出，再利用勾股定理求出，从而得出，最后利用三角形面积求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ，，，， ， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点E为的中点，连接，，则___________；若，则的面积是_____________． 【答案】 ①. 30 ②. ## 【解析】 【分析】连接与相交于点，连接，先利用三角形的内角和定理求得，再由由折叠可得，，，可证明为等腰直角三角形，得到，；由旋转得，，可得，，，进而得到为等边三角形，得到，，进而可得，证明，得到，即可得，由得四点共圆，利用圆周角定理可得，进而利用直角三角形的性质可得，，利用线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质可求得；利用直角三角形的性质可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴，垂直平分， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，四点共圆是解答的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. （1）计算 （2）已知，求代数式的值． 【答案】【小问1】 【小问2】13 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据算术平方根定义，负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据，得出，将化简为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，直接开平方法解一元二次方程是解题的关键； （1）直接开平方求解即可； （2）先化为一般式，再求出，再根据求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 21. 在中，，平分交 于 点D，于 E． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）利用即可得证； （2）勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故． 22. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范 意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动． 为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位： 分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： ：组的数据： ，，，，，，，，，，，，，，，． ： 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为 ，扇形统计图中组对应扇形的圆心角为 度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）组人数除以所占的比例求出随机抽取的八年级学生人数，乘以组所占的比例，可求出组对应扇形的圆心角，根据中位数的确定方法求出中位数； （2）求出组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的八年级学生人数为（人）， 扇形统计图中组对应扇形的圆心角为， 将数据排序后第个和第个数据分别为，， 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是（分）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 （人）， 答：该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人． 23. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 24. 已知：． （1）尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得． 【小问1详解】 解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ， ②作的垂直平分线交于点， ③连接、相交于点， ④标出点 ，点 即为所求； 【小问2详解】 解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴． 25. 如图，以为直径的与的边相切于点D，分别与交于点E 、F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，从而，由圆周角定理得，从而，得到，进而可证； （2）由勾股定理求出，，证明，求出，然后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵与的边相切， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 26. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销 售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 ． （1）直接写出关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，直接写出销售单价的范围为 ． 【答案】（1） （2）销售单价为元时，每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用．解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据“销售单价每上涨元，每天销量减少个”，列出与之间的函数关系式，根据“规定销售单价不低于元，且不高于元”，可得自变量的取值范围； （2）根据利润销量单件利润，得到与的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 ， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 ， ， 解方程， 解得：或， 又， 销售单价的范围为， 故答案为：． 27. 在矩形中，点E，F 分别在边，上，将矩形沿折叠． （1）若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H． ①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ； ②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值． （2）若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为 ． 【答案】（1）①；② （2）2； 【解析】 【分析】（1）①设，则，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，求出，再求出答案即可； ②延长，交于一点M，连接，设，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，求出结果即可； （2）根据折叠可知：，根据点P在上，点E在上，得出当时，最小，求出最小值即可；连接，根据点A的对应点P 落在边上，得出，根据折叠得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据当时，随增大而增大，随增大而减小，得出当时，x随的增大而增大，说明当时，最大，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点P为的中点， ∴， 根据折叠可知：，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ②延长，交于一点M，连接，如图所示： 根据折叠可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵P为的中点， ∴设， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 根据折叠可知：， ∵点P在上，点E在上， ∴当时，最小， ∵此时， ∴此时四边形为矩形， ∴， ∴最小值为2，即的最小值为2； 连接，如图所示： ∵点A的对应点P 落在边上， ∴， 根据折叠可知：， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 整理得：， ∵当时，随增大而增大，随增大而减小， ∴当时，x随的增大而增大， ∴当时，最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 28. 抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】（1） （2）4， （3）存在，点Q的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入可得： ，解得：， 所以抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M， ∴M的横坐标为，则纵坐标为，即， 设， 如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 综上，点Q的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $