第11讲 一次函数的应用（讲练）（思维导图+5考点+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 （思维导图+8个考点+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 考点突破 考法探究 2 题型精研 考向洞悉 3 第一部分：常考考点讲练 3 考点1：行程问题 3 考点2：利润问题 5 考点3：分配问题 7 考点4：工程问题 8 考点5：分段计费问题 10 考点6：生活中的应用 12 考点7：几何问题 14 考点8：一次函数综合题 17 分层训练 巩固提升 21 基础夯实训练 21 能力拔高训练 26 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 第一部分：常考考点讲练 考点1：行程问题 【例1】（2024•玄武区校级模拟）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，或或或．其中正确的结论有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2024•沭阳县校级三模）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象． （1）货车的速度为 　　；、两地间的路程为 　　； （2）货车出发后，经过多少时间两车相距？ 【变式2】（2024•启东市一模）已知，两地相距．甲由地出发骑自行车前往地，其与地的距离（单位：与出发后所用时间（单位：之间的关系如图所示；乙由地出发以的速度驾车前往地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与地的距离（单位：与甲出发后所用时间（单位：之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出的值． 【变式3】（2023•鼓楼区校级二模）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图象如图中的折线段所示． （1）试求折线段所对应的函数关系式； （2）请解释图中线段的实际意义； （3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图象．（注请标注出必要的数据） 考点2：利润问题 【例2】（2024•常州二模）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？ 【变式1】（2024•连云港二模）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具．若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元：若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元．且已知销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元． （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【变式2】（2024•江阴市模拟）某企业生产、两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如表： 型产品（元件） 型产品（元件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的型产品全在乙地区销售，型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求、两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区件型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润（元与之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【变式3】（2024•赣榆区三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 考点3：分配问题 【例3】（2024•亭湖区校级模拟）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 【变式1】（2020•无锡模拟）某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元张，餐椅零售价70元张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． （1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价500元套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式2】（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 考点4：工程问题 【例4】（2024•工业园区校级二模）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为　　． A．24 B．12 C．18 D．21 【变式1】（2024•南京模拟）有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间之间的关系如图1中． （1）进水管每小时的进水量为 　5　，出水管每小时的出水量为 　　． （2）若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图象． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 【变式2】（2023•灌云县校级模拟）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． （1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？ （2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用． 【变式3】（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量 （个与甲工作时间 （时的函数图象． （1）甲的工作效率为　　个时，维修机器用了　　小时； 乙的工作效率是　　个时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求的值． 考点5：分段计费问题 【例5】（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）说出图中函数、的图象交点表示的实际意义； （2）求、关于的函数解析式； （3）①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择 　　品牌共享电动车更省钱？（填“”或“” ②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【变式1】（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． 第二阶梯 （含的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 （1）一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 　534　元； （2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为 ，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式； （3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 【变式2】（2020•江阴市二模）某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费（元是用水（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为　　立方米． 考点6：生活中的应用 【例6】（2024•东海县模拟）我市某工艺厂设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元件） 30 40 50 60 每天销售量（件 500 400 300 200 （1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ （3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（利润销售总价成本总价） 【变式1】（2024•宝应县三模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 【变式2】（2024•姜堰区二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则该种液体的体积为 　　． 【变式3】（2023•天宁区校级二模）在测浮力的实验中，如图甲所示，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至将圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计示数与圆柱体下降高度关系的图象如图乙所示，请求出： （1）求所在直线的函数表达式； （2）当圆柱体下降的高度为时，求此刻该圆柱体所受浮力的大小． （温馨提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后， 考点7：几何问题 【例7】（2014•高邮市模拟）如图，在直角坐标系中，已知菱形的面积为15，顶点在双曲线上，与轴重合，且轴于，． （1）求顶点的坐标和的值； （2）求直线的解析式． 【变式1】（2024•无锡一模）直线与轴，轴交于，两点，将绕点按顺时针方向旋转得到△，，所在的直线相交于点． （1）如图，当时，且轴时，过点作，垂足为，求的面积； （2）当线段垂直于线段时，过点作，交轴于点，求点的坐标； （3）点其中，点在上，在整个旋转过程中，的最大值和最小值的和为 　　． 【变式2】（2023•沭阳县模拟）如图，直线与坐标轴交于、两点，点与点关于轴对称．轴与直线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点的坐标． 【变式3】（2014•高港区二模）如图，平面直角坐标系中，原点为，点、的坐标分别为、，的延长线交轴于点．点为线段上的一个动点，点从点沿方向以1个单位秒的速度向运动，正方形边长为2（点在轴上，点、在轴右侧）．设运动时间为秒． （1）正方形的对角线所在直线的函数表达式为　　（用含的式子表示），若正方形的对角线所在直线恰好经过点，则时间为　　秒． （2）若正方形始终在内部运动，求的范围． （3）在条件（2）下，设的面积为，求与的函数表达式． 考点8：一次函数综合题 【例8】（2023•邗江区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点点和点，过点作于点，以为边构造等边点在轴的正半轴上）． （1）求、点的坐标，以及的长； （2）将等边，从图1的位置沿轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为，同时点从出发，以每秒2个单位的速度沿着折线运动（如图2所示），当点到点停止，也随之停止． ①　 　时，直线恰好经过等边其中一条边的中点； ②当点在线段上运动，若，求的值； ③当点在线段上运动时，若的面积为，求出的值． 【变式1】（2022•太仓市模拟）如图①，动点从矩形的顶点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时，一动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点为的中点，连接，，记的面积为，点运动的时间为，其函数图象为折线和曲线（图②，已知，，，点的坐标为． （1）点与点的速度之比的值为 　　；的值为 　　； （2）如果． ①求线段所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024•秦淮区校级三模）如图1，已知函数经过，两点． （1）求点的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，横坐标为，△的面积为，试求与的函数关系式； （3）如图3，是的角平分线上一点，与交于点，当时，，，求点的坐标． 【变式3】（2022•淮安区模拟）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图① （1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：，求证：； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点，点在直线上运动，若，求此时点的坐标； ②如图③，过点作轴与轴的平行线，交直线于点、，求点关于直线的对称点的坐标． 【变式4】（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点是函数的图象的“好点”． （1）在函数①，②，③的图象上，存在“好点”的函数是 　③　（填序号）． （2）设函数与的图象的“好点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求的值． 基础夯实训练 1．（2015•泗洪县校级模拟）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 2．（2024•丹徒区二模）甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用（元与通话时间（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜　　元． A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2024•秦淮区校级三模）杆秤是人类的一种伟大发明．如图是某种杆秤，在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡状态．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米时，秤杆处于平衡状态．已知与之间满足一次函数关系．且测得与的几组对应数据如表所示： 克 0 2 4 6 10 毫米 4 10 16 22 34 当时，的值是　　 A．45 B．46 C．48 D．50 4．（2024•沭阳县校级二模）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是　　 A．甲乙两地相距 B．点表示此时两车相遇 C．慢车的速度为 D．折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地 5．（2023•阜宁县校级模拟）从小明家到奶奶家的路线上有一个公园．一天小明从家里出发沿这条路线骑行．他从家出发0.5小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家．小明离家1小时20分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象．已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的3倍，爸爸比小明早到10分钟，根据图象可以推算小明家到奶奶家的路程为 　　． 6．（2023•京口区校级一模）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的有　　．（把你认为正确结论的序号都填上） 7．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，点坐标为，点是直线上的一个动点，若，则点的坐标为　　． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：与无人机上升的时间（单位：之间的关系如图所示时，两架无人机的高度差为 　　． 9．（2024•玄武区一模）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示． （1）该电动汽车每小时的充电量为 　　； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）在图②中，画出小美离家的距离与的函数图象． 10．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离（单位：与慢车的行驶时间（单位：之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）慢车的速度为 　　； （2）求线段表示的与之间的函数表达式； （3）请根据题意补全图象． 11．（2023•涟水县二模）在一条笔直的道路上依次有，，三地，男男从地跑步到地，同时乐乐从地跑步到地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间（分钟）与两人距地路程（米之间的函数图象． （1）　　，乐乐去地的速度为 　　米分钟； （2）结合图象，求出乐乐从地到地的函数解析式； （3）请直接写出乐乐从返回后，到达地之前，两人距地的距离相等时的值 　　． 12．（2024•崇川区三模）甲、乙两车分别从，两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时，与之间的图象如图所示． （1）求乙车到达地的时间； （2）求乙车到达地时甲车距地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 能力拔高训练 13．（2024•丰县一模）甲、乙两地相距，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与快车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是　　 A． B． C． D． 14．（2024•江都区一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的值为　　 2 4 7 12 1.8 2.6 4.2 5.8 A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 15．（2021•姑苏区校级二模）甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论： ①； ②； ③甲车从地到地共用了7小时； ④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是　　． A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2022•泗洪县模拟）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为　　 A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4 17．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为 　　． 18．（2020•浦口区二模）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中线段所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中折线段所示，则点坐标为　　． 19．（2021•泗洪县一模）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，视数学为灾难，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时开打进水管和出水管，多少小时可注满空池？“神经吧，你到底想放水还是注水？这题也太变态了”崔永元很困惑． 这类放水注水题，相信同学们小学时就接触不少，其实这只是个数学模型，用来形象地刻画“增加量消耗量改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题，突出数学建模、数学抽象等核心素养，体现数学魅力所在． 例如，某仓库，从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量（吨与时间（时之间的部分关系如图，那么从不进货起 　　小时后该仓库内的货恰好运完． 20．（2022•宜兴市二模）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 　　折销售，后四周最多盈利 　　元． 21．（2024•盐城三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． （1）该电动汽车每小时的充电量为 　　，小丽在景区游玩了 　　； （2）电动汽车从家出发时电量为，求的值； （3）求线段所表示的与之间的函数表达式． 22．（2024•宿迁三模）小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程（米与小江登山时间（分钟）之间的函数关系如图所示（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）． （1）小江休息前登山的速度为 　　米分钟，小北减速后登山的速度为 　　米分钟． （2）求的值． （3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米分钟？ 23．（2023秋•丹阳市期末）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 24．（2023•溧阳市一模）如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点是原点，点坐标为，点坐标为，点是轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）当点落在对角线上时，　　； （2）当直线经过点时，求所在的直线函数表达式； （3）如图2，点是的中点，连接、． ①的最小值为 　　； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 （思维导图+8个考点+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 考点突破 考法探究 2 题型精研 考向洞悉 3 第一部分：常考考点讲练 3 考点1：行程问题 3 考点2：利润问题 9 考点3：分配问题 13 考点4：工程问题 16 考点5：分段计费问题 21 考点6：生活中的应用 24 考点7：几何问题 29 考点8：一次函数综合题 39 分层训练 巩固提升 55 基础夯实训练 55 能力拔高训练 69 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 第一部分：常考考点讲练 考点1：行程问题 【例1】（2024•玄武区校级模拟）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，或或或．其中正确的结论有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得，可判断④，可得出答案． 【规范解答】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时， ①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车， ③正确； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达城，； 综上可知当的值为或或或时，两车相距50千米， ④正确； 综上可知正确的有①②③④共四个， 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间． 【变式1】（2024•沭阳县校级三模）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象． （1）货车的速度为 　　；、两地间的路程为 　　； （2）货车出发后，经过多少时间两车相距？ 【思路点拨】（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出轿车的速度，然后根据货车的速度是轿车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程； （2）根据函数图象中的数据，用待定系数法可以分别计算出轿车与行驶时间的函数关系式，货车与的函数关系式，然后分成、、这三种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）由图象可得，轿车的速度为：， 货车的速度是轿车速度的， 货车速度为：， 货车从到，用了3个小时， 的距离是， 的距离是， 、两地间的路程为：， 所以货车的速度为；、两地间的路程为， 故答案为：，780； （2）设轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是， 将和直接代入上式，可得， 解得， 故轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是． 设货车离站的路程与行驶时间的函数关系， 当时，由（1）可得直线经过和，代入上式，得， 解得， 故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为． 、两地间的路程为，货车速度为， 故货车到、两地间的时间为， 当时，将和，代入，得， 解得， 故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为． 综上可得，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为：． 当时，如两车相距，即， 解得， ， 当时，两车不能相距． 当时，如两车相距， ， 即， 或， 解得，， ， 舍去，当时，，两车相距． 当时，如两车相距，即， 解得，， 当时，，两车相距． 综上所述，货车出发后，经过或小时间两车相距． 答：货车出发后，经过或小时间两车相距． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想分情况讨论是解答本题的关键． 【变式2】（2024•启东市一模）已知，两地相距．甲由地出发骑自行车前往地，其与地的距离（单位：与出发后所用时间（单位：之间的关系如图所示；乙由地出发以的速度驾车前往地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与地的距离（单位：与甲出发后所用时间（单位：之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出的值． 【思路点拨】（1）根据“速度路程时间”计算即可； （2）根据“乙与地的距离两地的距离乙与地的距离”写出乙出发后与的关系式，将代入求出乙到达地的时间，从而写出乙与地的距离与甲出发后所用时间之间的函数关系式（写成分段函数）； （3）利用待定系数法求出甲的函数关系式，当时，且两人相距时，两者对应函数之差的绝对值为5，解关于的方程即可． 【规范解答】解：（1）根据“速度路程时间”，得甲的速度为， 甲的速度为． （2）根据“乙与地的距离两地的距离乙与地的距离”写出乙出发后与的关系式，得， 当乙到达地时，， 解得，即当时乙到达地， 当时，乙的与之间的函数关系式为． 乙的与之间的函数关系式为，其图象如图所示： （3）设甲的与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 甲的与的函数关系式为． 当时，且两人相距时，得， 解得或． 的值为或． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，理解题意，掌握路程、时间、速度之间的数量关系，利用待定系数法求函数表达式和解绝对值方程是解题的关键． 【变式3】（2023•鼓楼区校级二模）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图象如图中的折线段所示． （1）试求折线段所对应的函数关系式； （2）请解释图中线段的实际意义； （3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图象．（注请标注出必要的数据） 【思路点拨】（1）为正比例函数图象，可以用待定系数法求出． （2）段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动． （3）根据题意求出妈妈所走的路线的图象经过的点的坐标即可画出图象． 【规范解答】解：（1）线段对应的函数关系式为． （2）题图中线段的实际意义是： 小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟． （3）由图象可知，小明花20分钟到达学校， 则小明的妈妈花（分钟）到达学校， 所以． 可知小明妈妈的速度是小明的2倍， 即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米， 故． 小明花（分钟）走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路， 故． 妈妈所走的路线的图象经过点，，，如图中折线段就是所作图象． 【考点评析】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．特别的作一次函数图象，关键在于确定点，点确定好了，连接就可以得到函数图象． 考点2：利润问题 【例2】（2024•常州二模）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？ 【思路点拨】（1）根据每天的生产成本固定成本所有产品的原料成本，就可以求出结论； （2）根据每天产品的售价与每天产品生产成本之间的关系建立不等式求出其解即可． 【规范解答】解：（1）由题意，得 （2）由题意，得 ， 解得： 为整数， 每天至少生产41件，该工厂才有盈利． 【考点评析】本题考查了每天的生产成本固定成本所有产品的原料成本的数量关系的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时建立一次函数将诶相似是关键． 【变式1】（2024•连云港二模）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具．若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元：若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元．且已知销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元． （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【思路点拨】（1）设种茶具每套进价元，种茶具每套进价元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进、两种茶具时，种茶具和种茶具每套的价格，根据“种茶具每套进价购进种茶具的套数种茶具每套进价购进种茶具的套数”列关于的一元一次不等式并求解，设获得的利润为元，根据“获得的利润每套种茶具的利润购进种茶具的套数每套种茶具的利润购进种茶具的套数”写出关于的关系式，根据该关系式的增减性和的取值范围，确定当为何值时的值最大，求出其最大值此时的值即可． 【规范解答】解：（1）设种茶具每套进价元，种茶具每套进价元． 根据题意，得， 解得， 种茶具每套进价100元，种茶具每套进价75元． （2）再次购进、两种茶具时，种茶具每套进价为（元，种茶具每套进价为（元． 设购进种茶具套，则购进种茶具套． 根据题意，得， 解得； 设获得的利润为元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时，的值最大，，此时购进种茶具（套， 购进种茶具30套、种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 【考点评析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【变式2】（2024•江阴市模拟）某企业生产、两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如表： 型产品（元件） 型产品（元件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的型产品全在乙地区销售，型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求、两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区件型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润（元与之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【思路点拨】（1）根据该企业计划将生产的型产品全在乙地区销售，型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出与的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润． 【规范解答】解：（1）设种型号产品生产了件，种型号产品生产了件， 由题意可得：， 解得， 答：种型号产品生产了200件，种型号产品生产了300件； （2）由题意可得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，此时， 答：销售这500件产品可获得的利润（元与之间的函数表达式是，利润的最大值为72000元． 【考点评析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【变式3】（2024•赣榆区三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元，根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【规范解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 【考点评析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 考点3：分配问题 【例3】（2024•亭湖区校级模拟）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 【思路点拨】（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是、元，根据题意列方程组即可； （2）设购买甲种书柜个．则购买乙种书柜个，所需资金为元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量得出的取值范围，所需经费甲种书柜总费用乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可． 【规范解答】解：（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是、元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元； （2）设购买甲种书柜个．则购买乙种书柜个，所需资金为元， 由题意得：， 解得：， ， ，随的增大而减小， ， 当时，取最小值，（元， 答：购买甲书柜12个，乙书柜12个时，资金最少．最少资金5040元． 【考点评析】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组和一元一次不等式的解法，关键是一次函数性质的应用． 【变式1】（2020•无锡模拟）某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元张，餐椅零售价70元张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． （1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价500元套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）根据用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同，可以得到相应的分式方程，然后即可得到该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元； （2）根据题意，可以得到利润和购买餐桌数量的函数关系，再根据题意，利用一次函数的性质，即可得到该商场怎样进货，才能获得最大利润，最大利润是多少． 【规范解答】解：（1）设每张餐桌的价格为元，则每张餐椅的价格为元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则， 答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元； （2）设购进餐桌张，则购进餐椅张，销售利润为元， 由题意得：， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为7950．此时， 答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元． 【考点评析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验． 【变式2】（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【思路点拨】（1）设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可； （2）设再次购进甲种头盔只，总费用为元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出取值范围，再表示出与的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可． 【规范解答】解：（1）设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元； （2）设再次购进甲种头盔只，总费用为元， 根据题意，得， 解得， ， ， 随着增大而增大， 当时，取得最小值， 即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为（元， 答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键． 考点4：工程问题 【例4】（2024•工业园区校级二模）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为　　． A．24 B．12 C．18 D．21 【思路点拨】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【规范解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 【变式1】（2024•南京模拟）有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间之间的关系如图1中． （1）进水管每小时的进水量为 　5　，出水管每小时的出水量为 　　． （2）若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图象． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）根据已知图象列式计算即可得到答案； （2）①求出函数图象经过点，，，，再描点，连线即可画出图象； ②分别求出当，时，水池的蓄水量为时的值，由图象可得答案． 【规范解答】解：（1），， 进水管每小时的进水量为，出水管每小时的出水量为； 故答案为：5，3； （2）①根据题意，当时；当时；当时； 蓄水量与时间之间的函数图象经过点，，，，画出图象如下： ②当时，若水池的蓄水量为，则； 当时，若水池的蓄水量为，则； 由图可知，当水池的蓄水量不小于时，的取值范围是． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 【变式2】（2023•灌云县校级模拟）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． （1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？ （2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用． 【思路点拨】（1）设甲每天需工程费元、乙工程队每天需工程费元，构建方程求解即可． （2）①设甲平整天，则乙平整天．由题意，①，且②，把问题转化为不等式解决即可． ②总费用，利用函数的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）设甲每天需工程费元、乙工程队每天需工程费元， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解． 答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元． （2）①设甲平整天，则乙平整天． 由题意，①，且②， 由①得到③， 把③代入②得到，， 解得，， ， ， 解得， ， ，是正整数， ，或，或，或，或，或，或，． 甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能． ②总费用， ， 随的增大而减小， 时，的最小值（元， 此时甲工程队平整52天，乙工程队平整2天， 答：甲工程队平整52天，乙工程队平整2天，最低费用为107000元． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式3】（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量 （个与甲工作时间 （时的函数图象． （1）甲的工作效率为　20　个时，维修机器用了　　小时； 乙的工作效率是　　个时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求的值． 【思路点拨】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别得到甲的工作效率，甲维修机器用的时间和乙的工作效率； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到相应的方程，从而可以得到乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同和此时乙加工零件的个数； （3）根据甲、乙两名工人分别加工个同种零件和乙比甲早1小时完成任务，可以得到关于的方程，从而可以求得的值． 【规范解答】解：（1）由图可得， 甲的工作效率为：（个小时）， 维修机器用了（小时）， 乙的工作效率是（个小时）， 故答案为：20，0.5，60； （2）设乙加工小时与甲加工的零件数量相同， ， 解得，， ， 答：乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，此时乙加工零件是30个； （3）， 解得，， 即的值是60． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 考点5：分段计费问题 【例5】（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）说出图中函数、的图象交点表示的实际意义； （2）求、关于的函数解析式； （3）①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择 　　品牌共享电动车更省钱？（填“”或“” ②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【思路点拨】（1）根据函数图象可得交点的坐标，结合，所表示的实际意义即可解答； （2）利用待定系数法即可求解，注意为分段函数； （3）①先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择和品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； ②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． 【规范解答】解：（1）由图象可得，， 交点表示的实际意义是：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）设， 将点代入得，， 解得：， ， 由图象可知，当时，， 设当时，， 将点，代入得，， 解得：， 当时，， ； （3）①小明从家骑行到工厂所需时间为， 品牌所需费用为（元， 品牌所需费用为（元， ， 选择品牌共享电动车更省钱； 故答案为：； ②当时，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【考点评析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． 【变式1】（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． 第二阶梯 （含的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 （1）一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 　534　元； （2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为 ，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式； （3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 【思路点拨】（1）用200乘以第一阶梯的电价即可； （2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可； （3）先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出燃气量即可． 【规范解答】解：（1）（元， 故答案为：534； （2）根据题意得：， 与的函数表达式为； （3）， 甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 由（2）知，当时，， 解得， 又，且． 乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯， 设乙户年用气量为 则有， 解得， ， 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式． 【变式2】（2020•江阴市二模）某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费（元是用水（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为　30　立方米． 【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据可以求得当时对应的函数解析式，根据可知，小丽家用水量超过18立方米，从而可以解答本题． 【规范解答】解：设当时的函数解析式为， ，得， 即当时的函数解析式为， ， 当时，，得， 故答案为：30． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 考点6：生活中的应用 【例6】（2024•东海县模拟）我市某工艺厂设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元件） 30 40 50 60 每天销售量（件 500 400 300 200 （1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ （3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（利润销售总价成本总价） 【思路点拨】（1）描点，由图可猜想与是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性； （2）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此列方程，求解即可； （3）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此得表达式，运用性质求最值． 【规范解答】解：（1）画图如图： 由图可猜想与是一次函数关系， 设这个一次函数为， 这个一次函数的图象经过， 这两点， ， ，解得， 函数关系式是：． （2）根据题意，得， 化简整理，得， 解得：，， 答：当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． （3）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得： ， 抛物线对称轴为直线， ，即抛物线开口向下， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小， ， 当时，值最大， 答：销售单价定为45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用．解题关键是根据题意列出方程与求出函数解析式． 【变式1】（2024•宝应县三模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 【思路点拨】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可． 【规范解答】解：（1）设线段的函数表达式为， 将，代入， 即， 解得， 线段的函数表达式为； （2）根据题意，得， ． 【考点评析】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】（2024•姜堰区二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则该种液体的体积为 　80　． 【思路点拨】利用待定系数法求出当时，该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为，再把代入计算即可． 【规范解答】解：设当时，该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为：，则： ， 解得， 该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为， 当时，， 解得， 即该种液体的体积为． 故答案为：80． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． 【变式3】（2023•天宁区校级二模）在测浮力的实验中，如图甲所示，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至将圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计示数与圆柱体下降高度关系的图象如图乙所示，请求出： （1）求所在直线的函数表达式； （2）当圆柱体下降的高度为时，求此刻该圆柱体所受浮力的大小． （温馨提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后， 【思路点拨】（1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出圆柱体下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）设所在直线的函数表达式为，将，代入得： ， 解得， 所在直线的函数表达式为； （2）在中，当时，， ， 当圆柱体下降的高度为时，求此刻该圆柱体所受浮力的大小为． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 考点7：几何问题 【例7】（2014•高邮市模拟）如图，在直角坐标系中，已知菱形的面积为15，顶点在双曲线上，与轴重合，且轴于，． （1）求顶点的坐标和的值； （2）求直线的解析式． 【思路点拨】（1）如图，连接，作，由，，代入数值，即可求出，即可得出点的横坐标；把点的坐标，代入，即可求出值； （2）设点的坐标为，由，根据两点间的距离公式，可求出值；再设直线的解析式为，把点、的坐标代入，可求出的值，即可解答； 【规范解答】解：（1）如图，连接，作， ，， 菱形的面积为15，， ， 解得，， 点的坐标为：； 又点在双曲线上， ， ； （2）设点的坐标为， 四边形为菱形， ， ， 解得（舍去），， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过、两点， ， 解得． 直线的解析式为：． 【考点评析】本题主要考查了菱形的面积、两点间的距离和一次函数解析式的求法，根据两点间的距离公式，求出点的坐标，是解答本题的关键． 【变式1】（2024•无锡一模）直线与轴，轴交于，两点，将绕点按顺时针方向旋转得到△，，所在的直线相交于点． （1）如图，当时，且轴时，过点作，垂足为，求的面积； （2）当线段垂直于线段时，过点作，交轴于点，求点的坐标； （3）点其中，点在上，在整个旋转过程中，的最大值和最小值的和为 　　． 【思路点拨】（1）利用直线解析式求出点、的坐标，得到，，，证明，再结合，求出，过点，作轴于点，同理求出，再根据面积公式即可求出的面积； （2）依题意画出图形，证明，得到，结合，求出，，进而求出，利用证明，得到，再代入数据即可求出，从而得解； （3）根据题意得出：，，，从而得到，，绝而得解． 【规范解答】解：（1）令，解得：， ，， 当时，， ，， ， 由旋转可知：， 又轴， ， ， ， ， 设，则， ，即 解得：，， 过点，作轴于点， 同理，由，，， 可得：， 的面积为：； （2）依题意画图如下： 由旋转可知：，， ， ， 又线段垂直于线段， ，， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，即， 解得：，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 点的坐标为：． （3）点其中，即， 点在以为圆心，半径为1的圆面上，， 点在上， ， 由垂线段最短和旋转可知，的最小值就是点到的距离，也就是点到的距离， 即， ，即，如图所示： ，即，如图所示： 的最大值和最小值的和为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形，三角形的三边关系，三角形的面积公式等知识，综合性较大，根据题意正确画图和作辅助线是解题的关键． 【变式2】（2023•沭阳县模拟）如图，直线与坐标轴交于、两点，点与点关于轴对称．轴与直线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点的坐标． 【思路点拨】（1）对于，令，则，令，解得，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）求出线段、、的长度，再分、两种情况，分别求解即可． 【规范解答】解：（1）对于，令，则，令，解得， 故点、的坐标分别为、； （2）设直线交轴于点， 设直线的表达式为：， 当时，，当时，， 即点、的坐标分别为，， 则的面积， 解得：， 点的坐标为； （3）由（2）知，点的坐标为，点，设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 当时，即，解得或， 故点的坐标为或； 当时，即，解得（负值已舍去）， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【考点评析】本题是一次函数的综合题，考查了求一次函数关系式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质，其中（3），分类求解是本题解题的关键． 【变式3】（2014•高港区二模）如图，平面直角坐标系中，原点为，点、的坐标分别为、，的延长线交轴于点．点为线段上的一个动点，点从点沿方向以1个单位秒的速度向运动，正方形边长为2（点在轴上，点、在轴右侧）．设运动时间为秒． （1）正方形的对角线所在直线的函数表达式为　　（用含的式子表示），若正方形的对角线所在直线恰好经过点，则时间为　　秒． （2）若正方形始终在内部运动，求的范围． （3）在条件（2）下，设的面积为，求与的函数表达式． 【思路点拨】（1）根据直线平行于，再根据点坐标，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，把点的坐标代入函数解析式，可得答案； （2）根据点坐标在直线的下方，可得的取值范围； （3）分类讨论，时，根据直线与，可得点坐标，根据两点间距离公式，可得的长，根据三角形的面积公式，可得答案；时，根据直线与，可得点坐标，根据两点间距离公式，可得的长，根据三角形的面积公式，可得答案． 【规范解答】解：（1），1， 故答案为：，1； （2）设直线， 将代入 ， 直线， 将代入直线解析式得 ； （3）①当时，如图一，连接交于点， ， 直线 ， ； ②当时，如图二，连接交于点， 同①得，直线 ； 综上所述． 【考点评析】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了平行线间的函数关系，（2）点与直线的关系，（3）三角形的面积和差是解题关键． 考点8：一次函数综合题 【例8】（2023•邗江区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点点和点，过点作于点，以为边构造等边点在轴的正半轴上）． （1）求、点的坐标，以及的长； （2）将等边，从图1的位置沿轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为，同时点从出发，以每秒2个单位的速度沿着折线运动（如图2所示），当点到点停止，也随之停止． ①　3或6　时，直线恰好经过等边其中一条边的中点； ②当点在线段上运动，若，求的值； ③当点在线段上运动时，若的面积为，求出的值． 【思路点拨】（1）把，分别代入，即可求出点、的坐标，求出，根据直角三角形的性质，即可得出； （2）①当直线分别过、、的中点，分三种情况进行讨论，得出的值，并注意点运动的最长时间； ②分点在直线的下方和直线上方两种情况进行讨论，求出的值即可； ③分点在之间和点在之间两种情况进行讨论，求出的值即可． 【规范解答】解：（1）令，则， 点的坐标为， 令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， ， ， 为直角三角形， ； （2）①当直线过的中点时， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当过的中点时， ，， 直线为的垂直平分线， 为等边三角形， 此时点与点重合， ； 当直线过的中点时，运动时间为； 点从运动到停止用的时间为：， 此时不符合题意； 综上所述，当或时，直线恰好经过等边其中一条边的中点， 故答案为：3或6； ②，，， ， ， ， ， 当在直线的下方时， ， ， 解得：； 当在直线的上方时， ， ， 解得； 综上所述：的值为或； ③当时， ，，， ， ，， ， ， ， 边的高， 的面积为， ， 整理得：， 解得（舍或 当点在之间时， ，，， ， ，， ， ， ， ， 边的高， 的面积为， ， 解得（舍或（舍， 综上所述，的值为． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键． 【变式1】（2022•太仓市模拟）如图①，动点从矩形的顶点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时，一动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点为的中点，连接，，记的面积为，点运动的时间为，其函数图象为折线和曲线（图②，已知，，，点的坐标为． （1）点与点的速度之比的值为 　　；的值为 　　； （2）如果． ①求线段所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由函数图象可知时，与重合，时，与重合，时，与重合，则的速度，的速度，从而得出答案； （2）①当时，与重合，与重合，此时，可得，，从而得出点与的速度，即可得出点的坐标，利用待定系数法可得答案； ②利用待定系数法求出直线的函数解析式，当时，可得的值，根据图象可得答案． 【规范解答】解：（1），，， ，， 由图象可知：时，与重合，时，与重合，时，与重合， 的速度，的速度， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， 从到用了4秒，从到用了2秒， ，， ， 的值为2， 故答案为：； （2）①， ， 由题知，时，与重合，与重合， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ，此时与重合， ， ， 设直线的解析式为， 将与代入得： ， ， 线段所在直线的函数表达式为； ②存在，分情况讨论如下： 当在上，在上时， 直线经过点，， 同理求得直线的解析式为， 当时，， ， 随的增大而减小， 当时，， 当在上，在上时， 直线的解析式为， 由知：当时，， 当在上，在上时， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 或5， 由图象知：当时，， 综上，时，的取值范围为或． 【考点评析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键． 【变式2】（2024•秦淮区校级三模）如图1，已知函数经过，两点． （1）求点的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，横坐标为，△的面积为，试求与的函数关系式； （3）如图3，是的角平分线上一点，与交于点，当时，，，求点的坐标． 【思路点拨】（1）令，得，求解即可； （2）令，得，得，，，再根据即可求解； （3）过点作轴，推导出，在上取，过点作轴交于，得到△△，通过证四边形是矩形，得轴，然后可知，进一步得到，，设，由勾股定理可得列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式与的解析式，联立即可求解得点的坐标． 【规范解答】解：（1）当时，，解得：， 点的坐标为； （2）当时，，则， ，， 点是轴正半轴上一点，横坐标为， ，则， 则△的面积， ； （3）在△中，， ， 过点作轴， ，即， 又， ， 在上取，过点作轴交于，则，， △△， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形， 轴，，， 又， ，则， 轴， ， ， 平分， 又平分， 点与点重合， ，， 设，则，， 在△中，， 在△中，， ， 解得：（负值舍去）， ， 则，，， 设的解析式为：，代入，，可得，解得：， 的解析式为：， 同理，的解析式为：， 联立，解得： 故点的坐标为． 【考点评析】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键． 【变式3】（2022•淮安区模拟）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图① （1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：，求证：； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点，点在直线上运动，若，求此时点的坐标； ②如图③，过点作轴与轴的平行线，交直线于点、，求点关于直线的对称点的坐标． 【思路点拨】（1）根据余角的性质就可以求出，再由，就可以得出结论； （2）①作轴于点，轴于点，可以得出，可以得出，设点的坐标为，建立方程求出其解就可以得出结论； ②过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，设，先可以求出、的坐标，进而可以求出，，，，，．再由条件可以求出，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ， ． ， ； （2）解：①作轴于点，轴于点 ， ． ， ，． 点在直线上， 设点的坐标为， ，， ， ， ， ，； ②过点作的延长线于点，过点作的延长线于点， ， 点的纵坐标为1，点的横坐标为， ，， ，， ，， ，． 设， ，，，， 由对称可知：， ， ， ， ， 解得： ，． 【考点评析】本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，方程组的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质是关键． 【变式4】（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点是函数的图象的“好点”． （1）在函数①，②，③的图象上，存在“好点”的函数是 　③　（填序号）． （2）设函数与的图象的“好点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求的值． 【思路点拨】（1）判断与各个函数图象是否有公共点即可； （2）先得出的“好点”，从而得出的长，在上的点，使得，从而求得点坐标，将点坐标代入求得的值； （3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果． 【规范解答】解：（1）， ， ①不是“好点”的函数， ，， ， ②不是“好点”的函数， ， ， △， 方程组有解， ③是“好点”的函数， 故答案为：③； （2），， ， ， 如图， 当为等腰三角形时，或， 当时， ， ， ， ，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，点， ， ， 综上所述：或或； （3）设翻折后的抛物线解析式为， 的图象上有两个“好点”： 和， 当上有一个“好点”时， 把代入得， ， 化简整理得， ， △， ， ， 由得， ， ， ． 当在上时， 此时， 或， 这时也有三个“好点”： ，，， 或0． 【考点评析】本题考查了结合一次函数，反比例函数及二次函数知识，考查了对“好点”的理解，等腰三角形知识，坐标系中线段的长，两个图象的交点与方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是根据题意，转化为学过的知识 基础夯实训练 1．（2015•泗洪县校级模拟）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 【思路点拨】由在直线上，设，连接，，由为圆的切线，得到，在直角三角形中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出的最小值． 【规范解答】解：在直线上， 设坐标为， 连接，，由为圆的切线，得到， 在中，根据勾股定理得：， ， 则当时，切线长的最小值为4． 故选：． 【考点评析】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 2．（2024•丹徒区二模）甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用（元与通话时间（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜　　元． A．10 B．11 C．12 D．13 【思路点拨】根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出、关于的函数关系式，作差后，即可得出结论． 【规范解答】解：当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ； 当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ． 当时，， 若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出、关于的函数关系式是解题的关键． 3．（2024•秦淮区校级三模）杆秤是人类的一种伟大发明．如图是某种杆秤，在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡状态．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米时，秤杆处于平衡状态．已知与之间满足一次函数关系．且测得与的几组对应数据如表所示： 克 0 2 4 6 10 毫米 4 10 16 22 34 当时，的值是　　 A．45 B．46 C．48 D．50 【思路点拨】根据表格可得与的函数关系式，再将代入求解即可． 【规范解答】解：设与的函数关系式为， 将点，代入， 可得， 解得， 与的函数关系式为， 将代入，可得， 即当克时，的长度是46毫米． 故选：． 【考点评析】根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可． 4．（2024•沭阳县校级二模）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是　　 A．甲乙两地相距 B．点表示此时两车相遇 C．慢车的速度为 D．折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地 【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：由图象可得， 甲乙两地相距，故选项正确； 点表示此时两车相遇，故选项正确； 慢车的速度为，故选项正确； 折线表示快车先到达目的地，然后是慢车到达目的地，故选项错误； 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．（2023•阜宁县校级模拟）从小明家到奶奶家的路线上有一个公园．一天小明从家里出发沿这条路线骑行．他从家出发0.5小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家．小明离家1小时20分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象．已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的3倍，爸爸比小明早到10分钟，根据图象可以推算小明家到奶奶家的路程为 　30　． 【思路点拨】求出小明骑车速度为，爸爸驾车的速度为，设小明家到奶奶家的路程为 ，由爸爸比小明早到10分钟可得，即可解得答案． 【规范解答】解：由图象和已知可得：小明骑车速度为，爸爸驾车的速度为， 1小时20分钟，10分钟， 设小明家到奶奶家的路程为 ，由题意可知： ， 解得：， 小明家到奶奶家的路程为． 故答案为：30． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 6．（2023•京口区校级一模）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的有　①②③　．（把你认为正确结论的序号都填上） 【思路点拨】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【规范解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快，则乙的速度为．①正确； 由图象第小时，乙由相遇点到达，用时4小时，每小时比甲快，则此时甲乙距离，则，②正确； 当乙在休息时，甲前进，则点坐标为，③正确； 乙返回时，甲乙相距，到两车相遇用时小时，则，④错误． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 7．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，点坐标为，点是直线上的一个动点，若，则点的坐标为　或　． 【思路点拨】分两种情况：当点在轴右侧时，由条件可判定，容易求得点坐标；当点在轴左侧时，可设点坐标为，过作直线交轴于点，可表示出直线的解析式，可表示出点坐标，再根据勾股定理可表示出的长，由条件可得到，可得到关于的方程，可求得点坐标． 【规范解答】解：当点在轴右侧时，如图1，连接， ， ， ， 点纵坐标为8， 又点在直线上，把代入可求得， 点坐标为； 当点在轴左侧时，过、作直线交轴于点，如图2， 设点坐标为，设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，解得， 直线的解析式为，令可得，解得， 点坐标为，， ，即， ， ， ， ， ，即， 解得，则， 点坐标为． 方法二：设， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 由，解得． ． 综上可知，点坐标为或． 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出点的位置，由条件得到或是解题的关键．本题难度不大，注意考虑全面即可． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：与无人机上升的时间（单位：之间的关系如图所示时，两架无人机的高度差为 　20　． 【思路点拨】利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式，当时，分别求出两者的函数值并求差即可． 【规范解答】解：设甲无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系为， 当时，， ，解得， ； 设乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系为， 当时，；当时，， ，解得， ； 当时，，， ， 时，两架无人机的高度差为， 故答案为：20． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键． 9．（2024•玄武区一模）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示． （1）该电动汽车每小时的充电量为 　100　； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）在图②中，画出小美离家的距离与的函数图象． 【思路点拨】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为； （2）求出汽车行驶时每小时耗电，可知到达景点时汽车剩余电量为，再用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式为； （3）求出与的函数图象过，，，，，，再描点画出图象即可． 【规范解答】解：（1）， 电动汽车每小时的充电量为； 故答案为：100； （2）到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同， 汽车行驶时每小时耗电， 到达景点时汽车剩余电量为， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得， 线段所表示的与之间的函数表达式为； （3）根据题意，小美在景区游玩了（小时）， 当时，小美游玩结束开始返回， 当时，，图象过，， 当时，，图象过， 当时，，图象过， 当时，；图象过， 当时，，图象过， 画出图象如下： 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 10．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离（单位：与慢车的行驶时间（单位：之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）慢车的速度为 　　； （2）求线段表示的与之间的函数表达式； （3）请根据题意补全图象． 【思路点拨】（1）根据图象即可得出点坐标即可得出慢车的速度； （2）设线段表示的与之间的函数关系式为，由、的坐标即可求解； （3）根据快车与慢车速度，进而作出图象即可． 【规范解答】解：（1）由图象得：慢车行驶， 慢车的速度为：， 故答案为：； （2）设线段表示的与之间的函数关系式为， 将，，代入得：， 解得：， 线段表示的与之间的函数关系式为； （3）快车的速度为：， 快车追上慢车时， 快车到达乙地用时，此时，， 慢车到达乙地用时， 补全图象如图： 【考点评析】此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题． 11．（2023•涟水县二模）在一条笔直的道路上依次有，，三地，男男从地跑步到地，同时乐乐从地跑步到地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间（分钟）与两人距地路程（米之间的函数图象． （1）　2　，乐乐去地的速度为 　　米分钟； （2）结合图象，求出乐乐从地到地的函数解析式； （3）请直接写出乐乐从返回后，到达地之前，两人距地的距离相等时的值 　　． 【思路点拨】（1）由函数图象得地跑步到地的路程是400米，由乐乐从地跑步到地，休息1分钟后接到通知，可得，根据路程和时间可得乐乐去地的速度； （2）利用待定系数法求的解析式即可； （3）分，，根据两人距地的距离相等列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）由函数图象得地跑步到地的路程是400米， 乐乐从地跑步到地，休息1分钟后接到通知， ， 乐乐去地的速度为：（米分钟）， 故答案为：2，200； （2）设的解析式为：， 的图象过点、， ， 解得：， 的解析式为：， 即乐乐从地到地的函数解析式：； （3）设的解析式为：， 的图象过点， ，解得：， 的解析式为：， 即男男从地到地的函数解析式：， ①当时， 或， 解得：或， ②当时，两人距地的距离相等，不合题意舍去． 综上，两人距地的距离相等的时间为分钟或6分钟， 故答案为：或6． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，明确题意设未知数，注意利用数形结合的思想是解答本题的关键． 12．（2024•崇川区三模）甲、乙两车分别从，两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时，与之间的图象如图所示． （1）求乙车到达地的时间； （2）求乙车到达地时甲车距地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【思路点拨】（1）根据图象中的数据，可以先求出乙车从地到地的速度，然后即可求得的值； （2）根据图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据（1）中的值，即可计算出乙车到达地时甲车距地的路程； （3）根据题意可知，乙车返回前甲、乙两车相距40千米，存在两种情况，相遇之前和相遇之后，然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【规范解答】解：（1）由图象可得， 乙车从地到地的速度为：（千米时）， ， 解得， 即乙车到达地的时间为2.5时； （2）由图象可得， 甲车的速度为：（千米时）， 则乙车到达地时甲车距地的路程是：（千米）， 即乙车到达地时甲车距地的路程是100千米； （3）乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，设乙车行驶的时间为小时， 甲乙相遇之前：， 解得； 甲乙相遇之后：， 解得； 答：乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间是1.3小时或1.7小时． 【考点评析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 能力拔高训练 13．（2024•丰县一模）甲、乙两地相距，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与快车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由题意可知，当时，快车到达乙地，根据“速度路程时间”求出快车的速度；设慢车的速度为 ，当时，两车相遇，根据此时两车行驶的总路程为列方程并求解即可． 【规范解答】解：根据题意可知，当时，快车到达乙地， ， 快车的速度为． 设慢车的速度为 ． 当时，两车相遇，此时两车行驶的总路程为，得， 解得， 慢车的速度为． 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，判断快车到达乙地的时间并熟练掌握路程、速度、时间三者的关系是解题的关键． 14．（2024•江都区一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的值为　　 2 4 7 12 1.8 2.6 4.2 5.8 A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 【思路点拨】不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【规范解答】解：设过点和点的函数解析式为， 则， 解得， 即， 当时，， 当时，， 由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合， 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 15．（2021•姑苏区校级二模）甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论： ①； ②； ③甲车从地到地共用了7小时； ④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是　　． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】（1）由函数图象中的信息求出的值； （2）根据“路程时间速度”求出甲的速度，并求出的值； （3）求出甲车行驶的路程与时间之间的解析式解答； （4）根据甲、乙两车行驶的路程与时间之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【规范解答】解：由题意，得，故①结论正确； ，则，故②结论正确； 设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，由题意，得： ， 解得， 当时，， 解得：， 甲车从地到地共用了7小时，故③结论正确； 当时，． 设乙车行驶的路程与时间之间的解析式为，由题意得： ， 解得， ． 当时， 解得：， 当时， 解得：， ，， 所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距，故④结论错误． 正确结论的个数是3个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是从图形中获得必要的信息进行计算，运用待定系数法求一次函数的解析式．解答此类试题时，需要掌握建立函数模型的方法以及采用分段函数解决问题的思想． 16．（2022•泗洪县模拟）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为　　 A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4 【思路点拨】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶秒，两车的距离为24米，可求速度和为米秒，距离为米，在快车到地停留3秒，两车的距离增加米，慢车的速度为：米秒，而根据题意米的距离相当于慢车行驶秒的路程，故速度为米秒，因此，，解得：米，从而可求慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒． 【规范解答】解：速度和为：米秒， 由题意得：，解得：， 因此慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒， 快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒． 故选：． 【考点评析】考查函数图象的识图能力，即从图象中获取有用的信息，熟练掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的前提，追及问题和相遇问题的数量关系再本题中得到充分应用． 17．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为 　　． 【思路点拨】设出水管每分钟排水升．由题意进水管每分钟进水10升，则有，求出，再求出8分钟后的放水时间，可得结论． 【规范解答】解：设出水管每分钟排水升． 由题意进水管每分钟进水10升， 则有， ， 分钟后的放水时间，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2020•浦口区二模）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中线段所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中折线段所示，则点坐标为　，　． 【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，然后即可得到点的横坐标，再根据图形中的数据，可以得到点的纵坐标，从而可以得到点的坐标． 【规范解答】解：由图可得， 小丽的速度为：， 小明的速度为：， 故点的横坐标为：，纵坐标是：， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 19．（2021•泗洪县一模）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，视数学为灾难，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时开打进水管和出水管，多少小时可注满空池？“神经吧，你到底想放水还是注水？这题也太变态了”崔永元很困惑． 这类放水注水题，相信同学们小学时就接触不少，其实这只是个数学模型，用来形象地刻画“增加量消耗量改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题，突出数学建模、数学抽象等核心素养，体现数学魅力所在． 例如，某仓库，从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量（吨与时间（时之间的部分关系如图，那么从不进货起 　8　小时后该仓库内的货恰好运完． 【思路点拨】由图象计算出进货速度和出货速度，由此可得结果． 【规范解答】解：由图象可知：从0至4小时，进货20吨， 故进货速度为每小时5吨． 从4小时到12小时仓库货物增加了吨， 经过8小时仓库货物增加了10吨． 出货的速度为：（吨． 从不进货起，需要小时后该仓库内的货恰好运完． 故答案为：8． 【考点评析】不要主要考查了一次函数的应用．根据图象求出进货速度和出货速度是解题的关键． 20．（2022•宜兴市二模）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 　7　折销售，后四周最多盈利 　　元． 【思路点拨】前两周每周只卖了20件，还剩下360件，后四周每天至少要卖90件，所以折扣应该在8折以下．列出折扣与利润的一次函数表达式，利用一次函数的性质即可得出最多利润． 【规范解答】解：（件， 要在六周内卖完，后四周每周至少要卖（件， 折扣应该在8折以下． 设后四周的利润为，折扣为，依题意得 ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最大值， 此时， 当打七折时，后四周的最大盈利为72000元， 故答案为：7；72000． 【考点评析】本题考查了一次函数的实际应用，准确建立一次函数解析式并确定自变量的取值范围是解决问题的关键． 21．（2024•盐城三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． （1）该电动汽车每小时的充电量为 　100　，小丽在景区游玩了 　　； （2）电动汽车从家出发时电量为，求的值； （3）求线段所表示的与之间的函数表达式． 【思路点拨】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为； （2）到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，列方程，解方程求出的值， （3）先求出，坐标，再用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【规范解答】解：（1）根据图形得，电动汽车每小时的充电量为， 在景区游玩了（小时）， 故答案为：100；1； （2）到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同， ， 解得， 答：的值为； （3）， ，，， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得， 线段所表示的与之间的函数表达式为． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 22．（2024•宿迁三模）小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程（米与小江登山时间（分钟）之间的函数关系如图所示（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）． （1）小江休息前登山的速度为 　10　米分钟，小北减速后登山的速度为 　　米分钟． （2）求的值． （3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米分钟？ 【思路点拨】（1）由图象可以直接求出小江休息前的速度；先求出小北减速前的速度，再求出他到达半山腰所用时间，再用路程除以时间求出他减速之后的速度； （2）由两人的路程相等列方程，解方程即可； （3）先求出小江到达山顶最多所用时间，再求出加速后的最小速度即可． 【规范解答】解：（1）小江休息前登山的速度为（米分）， 小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍， 小北减速前的速度为20米分， 小北到达半山腰所用时间为：（分， 小北减速后登山的速度为（米分）， 故答案为：10，12； （2）根据题意得：， 解得； （3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为（分钟）， 小江的速度至少为（米分）， （米分）， 小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23．（2023秋•丹阳市期末）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解； ②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【规范解答】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得， 解得． 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元； （2）①根据题意得，， 即； ②据题意得，， 解得， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 此时最大利润是． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 24．（2023•溧阳市一模）如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点是原点，点坐标为，点坐标为，点是轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）当点落在对角线上时，　　； （2）当直线经过点时，求所在的直线函数表达式； （3）如图2，点是的中点，连接、． ①的最小值为 　　； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】（1）通过点在上，可以通过的三角函数和的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果； （2）通过直角中，得到的长度，然后通过，可以在中，得到对应的值然后求出结果； （3）通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度， 通过分类讨论，，，来求得对应的的坐标． 【规范解答】解：（1）如图1， ， ， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：； （2）如图， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 点的坐标为， 将和代入中， ， 解得：， 所在直线的表达式为：； （3）如图， ①， 点的运动轨迹，是以为圆心，4为半径的圆弧， 的最小值在的连线上，如图，即为所求， 是中点，， ， ， 故答案为：； ②如图， 设，， ， 当时， ， ， ， ，， 当时，如图，若点在上， 则， ，，， ， ， ， ， ， ； 若点在上方时， 由对称性可知， ， ， ； 当时，不符合题意，不成立， 故点坐标为，或或． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$