第10讲 一次函数的图像和性质（讲练）（思维导图+11考点+6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第10讲 一次函数的图像和性质 （思维导图+11个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 一次函数的相关概念 4 重点考点二 一次函数的图象与性质 4 重点考点三 一次函数与方程（组）、不等式 8 题型精研 考向洞悉 9 第一部分：常考考点讲练 9 考点1：一次函数的图象 9 考点2：一次函数的性质 10 考点3：正比例函数的性质 11 考点4：一次函数图象与系数的关系 12 考点5：一次函数图象上点的坐标特征 13 考点6：一次函数图象与几何变换 14 考点7：待定系数法求一次函数解析式 14 考点8：一次函数与一元一次方程 16 考点9：一次函数与一元一次不等式 17 考点10：一次函数与二元一次方程（组） 17 考点11：两条直线相交或平行问题 18 第二部分：高频题型洞悉 19 题型1：一次函数图像的位置与系数的关系 19 题型2：用待定系数法求一次函数解析式 19 题型3：求直线与坐标轴围成的图形的面积 21 题型4：一次函数与方程（组）之间的关系 错误！未定义书签。 题型5：一次函数与不等式（组）之间的关系 23 题型6：一次函数的平移、旋转、对称 23 分层训练 巩固提升 24 基础夯实训练 24 能力拔高训练 28 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 重点考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 重点考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1. 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 2. 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 重点考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 第一部分：常考考点讲练 考点1：一次函数的图象 【例1】（2020•江都区一模）有下列四个函数：①②③④，其中图象经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有　　 A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【变式1】（2024•建湖县二模）如图，一次函数的图象为直线，菱形，，，按图中所示的方式放置，顶点、、、、均在直线上，顶点，，，均在轴上，则点的纵坐标是 　　． 【变式2】（2017•徐州模拟）我们知道对于轴上的任意两点，，，，有，而对于平面直角坐标系中的任意两点，，，，我们把称为，两点间的直角距离，记作，，即，． （1）已知为坐标原点，若点坐标为，则　　； （2）已知为坐标原点，动点满足，请写出与之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点所组成的图形； （3）试求点到直线的最小直角距离． 考点2：一次函数的性质 【例2】（2024•高邮市二模）下列关于函数的图象与性质叙述错误的是　　 A．该函数图象关于直线对称 B．该函数最小值为1 C．该函数随着的增大而增大 D．该函数图象与轴交于 【变式1】（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线的性质与特征的是　　 A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴交于点 D．与轴交于点 【变式2】（2024•梁溪区校级一模）某一次函数的图象经过点，且函数的值随着自变量的增大而减小，请你写一个符合条件的函数表达式：　　． 考点3：正比例函数的性质 【例3】（2023•滨湖区二模）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•海州区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点是线段上任意一点，在射线 上取一点，使，在射线上取一点，使．所在直线的关系式为，点、分别为线段、的中点，则的最小值是　　 A． B． C． D．4.8 【变式2】（2022•贾汪区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　　．（填“增大”或“减小” 考点4：一次函数图象与系数的关系 【例4】（2024•鼓楼区三模）已知：如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2023•工业园区校级二模）一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2024•沭阳县校级一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 　　； （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 考点5：一次函数图象上点的坐标特征 【例5】（2024•通州区二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的的值可以是　　 A． B．0 C． D． 【变式1】（2024•工业园区一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点、，将称作、两点间的“拐距”，记作，即．已知点，动点在直线上，横坐标为．当取得最小值时，应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•苏州模拟）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为．在轴的负半轴上有一点，直线上有一点，且． （1）求的值及点的坐标； （2）在线段上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围． 【变式3】（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点与点的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点，给出如下定义：若，则称点为线段的“等角点”． （1）当时， ①若点为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点的坐标为 　　； ②若点为线段的“等角点”，并且在轴上，则点的坐标为 　　； （2）已知直线上总存在线段的“等角点”，则的范围是 　　． 考点6：一次函数图象与几何变换 【例6】（2024•邗江区二模）已知直线与轴、轴分别交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，则直线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•吴江区二模）如果将直线沿轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是 　　． 考点7：待定系数法求一次函数解析式 【例7】（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是 　　． 【变式1】（2020•如皋市二模）定义：如图1，已知锐角内有定点，过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．若是线段的中点时，则称直线是的中点直线．如图2，射线的解析式为与轴的夹角为，，为的中点直线． （1）求直线的解析式； （2）若过点任意作一条直线，分别交射线，轴的正半轴于点，，记的面积为，的面积为．求证：． 【变式2】（2019•鼓楼区校级模拟）如图，一次函数的图象经过、，是此图象上一点，垂直于轴，垂足为，求： （1）一次函数的解析式； （2）梯形的面积； （3）的正弦函数的值． 考点8：一次函数与一元一次方程 【例8】（2020•吴江区二模）若一次函数为常数且的图象经过点，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021•高邮市二模）已知函数的部分函数值如表所示，则关于的方程的解是　　 1 5 3 A． B． C． D． 【变式2】（2014•无锡模拟）一次函数，为常数，且的图象如图所示，根据图象信息可求得关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 考点9：一次函数与一元一次不等式 【例9】（2024•海安市一模）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2019•崇川区校级二模）已知直线与直线的交点坐标为，，则不等式组的解集为　　． 考点10：一次函数与二元一次方程（组） 【例10】（2024•宝应县一模）若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与是常数，的图象的交点坐标是 　　． 【变式1】（2021•广陵区校级一模）如图，函数和的图象相交于点，点的纵坐标为40，则关于，的方程组的解是　　． 【变式2】（2022•海州区校级二模）如图，直线和直线交于点则长于、的二元一次方程组的解为 　　． 考点11：两条直线相交或平行问题 【例11】（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，在直线上运动，则的最小值为 　　． 【变式1】（2021•徐州模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴，直线交于点，，则的面积为 　　． 【变式2】（2021•滨湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，过点的直线与轴负半轴交于点，与直线交于点．若点的坐标是，且，则直线的函数表达式为　　． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：一次函数图像的位置与系数的关系 【例1】（2023•广陵区二模）图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•连云港一模）已知一次函数，当满足 　　时，随的增大而减小． 【变式2】（2020•张家港市校级模拟）已知，，为正实数，且，则直线一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型2：用待定系数法求一次函数解析式 【例2】（2024•宝应县三模）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，求整齐摆放在桌面上饭碗的高度与饭碗数（个之间的一次函数解析式 　　． 【变式2】（2024•高港区三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： （1）求的函数解析式． （2）若该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 【变式3】（2023•靖江市模拟）已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出、两点的坐标（用含有的代数式表示）； （2）当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点，使得，求出点的坐标； （3）点在轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由． 题型3：求直线与坐标轴围成的图形的面积 【例3】（2022秋•兴化市校级期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 【变式1】（2022秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一点，将线段绕点旋转至处，过点作垂直轴于点，若四边形的面积为36，则直线的解析式为 　　． 【变式2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是　　 A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【变式1】（2023•海陵区一模）学校数学兴趣小组开展综合实践活动——鱼塘中的“增氧器”在何处？如图1，测出正方形鱼塘的边长为，在边上的点处发现点正好被“增氧器” 挡住，同样在边边上的点处发现点被挡往，量出、的长都是．如图2，他们以点为坐标原点，直线、分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题． （1）求直线的函数表达式； （2）求“增氧器” 距边、的距离． 题型5：一次函数与不等式（组）之间的关系 【例5】（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是 　　． 【变式1】（2020•如皋市二模）如图，一次函数，为常数，且的图象过点，，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 题型6：一次函数的平移、旋转、对称 【例6】（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020•太仓市模拟）正比例函数的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 基础夯实训练 1．（2024•东海县一模）函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 2．（2024•工业园区一模）已知点，、，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•无锡）已知是的函数，若存在实数，，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2024•工业园区校级二模）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为　　． A．24 B．12 C．18 D．21 5．（2024•沛县校级三模）如图，函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为 　　． 6．（2024•姜堰区二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则该种液体的体积为 　　． 7．（2024•新沂市模拟）根据图象，可得关于的不等式的解集是 　　． 8．（2024•南通）平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 　　． 9．（2024•南京模拟）有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间之间的关系如图1中． （1）进水管每小时的进水量为 　　，出水管每小时的出水量为 　　． （2）若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图象． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 10．（2024•南京模拟），两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从，两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达地后立即按原路原速返回，慢车到达地后停止．快、慢两车离地的距离，（单位：与出发时间（单位：之间的函数关系如图所示． （1）补全与之间的函数图象； （2）若慢车的速度为． ①点的坐标为 　　； ②快车到达地前，两车何时相距？ （3）若慢车在快车返回地后的内到达，则慢车速度的范围是 　　． 11．（2024•淮阴区一模）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：与加热的时间（单位：符合初中学习过的某种函数关系，该函数关系是 　　函数关系（请选填“一次、二次、反比例” ； （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当加热到时，油沸腾了，请推算该食用油沸点的温度． 能力拔高训练 12．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道、两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从地出发，同时亮亮从地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离（米与行走时间（分的函数关系的图象，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 13．（2024•海陵区校级三模）若一次函数的图象经过点，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024•鼓楼区校级三模）如图，直线分别交坐标轴于点、，轴上一点关于直线的对称点坐标为，则的值为　　 A． B． C． D． 15．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 　　． 16．（2024•惠山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 　　． 17．（2024•玄武区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作交轴于点：过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，，按此作法进行下去，则坐标为 　　． 18．（2024•丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形周长的最小值是 　　． 19．（2021•淮安区二模）如图，已知、、在直线上．按照如图所示方法分别作等腰△面积为，等腰△面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，，2，3，，若，则　　． 20．（2024•常州二模）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？ 21．（2024•宝应县三模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 22．（2024•赣榆区二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨 交费总数（元 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量的值； （2）写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 23．（2024•姑苏区校级二模）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点． （1）若折叠后点与点重合，求直线的解析式； （2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的取值范围； （3）若折叠后点落在边上的点为，且使，则△的周长为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第10讲 一次函数的图像和性质 （思维导图+11个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 一次函数的相关概念 4 重点考点二 一次函数的图象与性质 4 重点考点三 一次函数与方程（组）、不等式 8 题型精研 考向洞悉 9 第一部分：常考考点讲练 9 考点1：一次函数的图象 9 考点2：一次函数的性质 12 考点3：正比例函数的性质 14 考点4：一次函数图象与系数的关系 17 考点5：一次函数图象上点的坐标特征 20 考点6：一次函数图象与几何变换 27 考点7：待定系数法求一次函数解析式 29 考点8：一次函数与一元一次方程 33 考点9：一次函数与一元一次不等式 35 考点10：一次函数与二元一次方程（组） 37 考点11：两条直线相交或平行问题 38 第二部分：高频题型洞悉 41 题型1：一次函数图像的位置与系数的关系 41 题型2：用待定系数法求一次函数解析式 43 题型3：求直线与坐标轴围成的图形的面积 49 题型4：一次函数与方程（组）之间的关系 53 题型5：一次函数与不等式（组）之间的关系 55 题型6：一次函数的平移、旋转、对称 56 分层训练 巩固提升 57 基础夯实训练 57 能力拔高训练 69 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 重点考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 重点考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1. 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 2. 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 重点考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 第一部分：常考考点讲练 考点1：一次函数的图象 【例1】（2020•江都区一模）有下列四个函数：①②③④，其中图象经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有　　 A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【思路点拨】根据题目中的函数解析式和性质，可以判断是否符合题意，从而可以解答本题． 【规范解答】解：在函数中，当时，，故①符合题意； 函数的图象经过二、四象限，故②不符合题意； 函数经过一、三象限，当时，，故③符合题意； 函数的图象开口向下，对称轴是直线当时，，当时，，故④不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用它们的性质解答． 【变式1】（2024•建湖县二模）如图，一次函数的图象为直线，菱形，，，按图中所示的方式放置，顶点、、、、均在直线上，顶点，，，均在轴上，则点的纵坐标是 　　． 【思路点拨】首先求得直线的解析式与、轴的交点，然后根据菱形的性质求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解． 【规范解答】解：一次函数， ，， 四边形是菱形， 与关于轴对称，与互相垂直平分， ，轴，且是△的中位线， ，， 同理，与互相垂直平分， 把代入得， ， 垂直平分， ，， 把代入得， ， 垂直平分， ， 的纵坐标是：， 的纵坐标为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 【变式2】（2017•徐州模拟）我们知道对于轴上的任意两点，，，，有，而对于平面直角坐标系中的任意两点，，，，我们把称为，两点间的直角距离，记作，，即，． （1）已知为坐标原点，若点坐标为，则　4　； （2）已知为坐标原点，动点满足，请写出与之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点所组成的图形； （3）试求点到直线的最小直角距离． 【思路点拨】（1）由与原点的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）利用题中的新定义列出与的关系式，画出相应的图象即可； （3）根据新的运算规则知，然后由绝对值与数轴的关系可知，表示数轴上实数所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1． 【规范解答】解：（1）； 故答案为：4； （2）为坐标原点，动点满足， ， 所有符合条件的点组成的图形如图所示； （3） 可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1． 点到直线的直角距离为1． 【考点评析】此题主要考查了一次函数图象，涉及的知识有：绝对值的代数意义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 考点2：一次函数的性质 【例2】（2024•高邮市二模）下列关于函数的图象与性质叙述错误的是　　 A．该函数图象关于直线对称 B．该函数最小值为1 C．该函数随着的增大而增大 D．该函数图象与轴交于 【思路点拨】根据函数解析式画出相应的函数图象；根据图象即可求解． 【规范解答】解：并画出函数的图象如下： 由图象知，该函数图象关于直线对称，故选项不符合题意； 该函数最小值为1，故选项不符合题意； 当时，该函数随着的增大而增大，故选项符合题意； 该函数图象与轴交于，故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 【变式1】（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线的性质与特征的是　　 A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴交于点 D．与轴交于点 【思路点拨】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第一、三、四象限，随的增大而增大，可判断，；令，求得，令，求得，即可得出直线与轴的交点为，与轴的交点为，可判断，． 【规范解答】解：．，， 直线经过第一、三、四象限，故选项不符合题意； ．， 随的增大而增大，故选项不符合题意； ．当时，， 解得：， 与轴交于点，故选项符合题意； ．当时，， 函数图象与轴交于点，故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 【变式2】（2024•梁溪区校级一模）某一次函数的图象经过点，且函数的值随着自变量的增大而减小，请你写一个符合条件的函数表达式：　　． 【思路点拨】设一次函数解析式为，利用一次函数的性质得，可取，则，然后把代入求出对应的值，从而得到满足条件的一个一次函数． 【规范解答】解：设一次函数解析式为， 函数的值随着自变量的增大而减小， ， 当时，， 把代入得，解得， 满足条件的一次函数可为． 故答案为． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降． 考点3：正比例函数的性质 【例3】（2023•滨湖区二模）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由正比例函数图象在第二、四象限可得出，由，，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解． 【规范解答】解：正比例函数的图象在第二、四象限， ． ，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：． 【考点评析】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 【变式1】（2023•海州区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点是线段上任意一点，在射线 上取一点，使，在射线上取一点，使．所在直线的关系式为，点、分别为线段、的中点，则的最小值是　　 A． B． C． D．4.8 【思路点拨】连接，，设交于点，过点作，连接，先证四边形为矩形得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长，此时只需求出即可；设，根据点在直线上得，然后证得，进而得，最后根据点即可求出的值． 【规范解答】解：连接，，设交于点，过点作，连接，如图： ，点为的中点， ，平分， ， ，点为的中点， ，平分， ， ， ． 四边形为矩形， ， 当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 即的最小值为线段的长， 设， 点的纵坐标为， 又点在直线上， ， 四边形为矩形，， ，， ，， ， ， ， 即：， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数的图象，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段的性质等，解答此题的关键是证四边形为矩形，把求的最小值转化为求的最小值，最后转化为求线段的长． 【变式2】（2022•贾汪区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小” 【思路点拨】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【规范解答】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 【考点评析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小． 考点4：一次函数图象与系数的关系 【例4】（2024•鼓楼区三模）已知：如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在轴左边可得：，同号，所以．所以直线不经过第四象限． 【规范解答】解：抛物线的开口向上， ， 对称轴在轴左边， ，同号，即， 直线不经过第四象限， 故选：． 【考点评析】考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围．同时考查了一次函数图象与系数的关系． 【变式1】（2023•工业园区校级二模）一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】利用一次函数图象与系数的关系列出关于的不等式，然后解不等式即可． 【规范解答】解：一次函数中，随的增大而减小， ， 解得，； 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小． 【变式2】（2024•沭阳县校级一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 　　； （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 【思路点拨】（1）如图中，满足条件的点在以为圆点，半径为5的半圆上（不包括点以及轴上的点），点满足条件． （2）如图中，以为圆心，5为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件． 【规范解答】解：（1）如图，，，， ， ， ； 点不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点，则，， ， 点是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点，则，， ， 不是点关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是， 故答案为：． （2）在轴上取点，当直线经过点时，可得， 当直线经过点时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，直线与圆的位置关系，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题． 考点5：一次函数图象上点的坐标特征 【例5】（2024•通州区二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的的值可以是　　 A． B．0 C． D． 【思路点拨】根据一次函数的图象和性质求解． 【规范解答】解：由题意得：当时，， 由图象得：， 随的增大而减小， 当时，， 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的特征，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式1】（2024•工业园区一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点、，将称作、两点间的“拐距”，记作，即．已知点，动点在直线上，横坐标为．当取得最小值时，应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由点的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点的坐标为，结合点的坐标，可得出，分，及三种情况，可找出的取值范围或的值，进而可得出当取得最小值时的取值范围． 【规范解答】解：动点在直线上，横坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ，． 当时，； 当时，； 当时，， 当取得最小值时，应满足的条件是． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，找出取最小值时的取值范围是解题的关键． 【变式2】（2024•苏州模拟）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为．在轴的负半轴上有一点，直线上有一点，且． （1）求的值及点的坐标； （2）在线段上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围． 【思路点拨】（1）待定系数法求解． （2）求出点所在直线解析式，通过与，交点求解． 【规范解答】解：（1）将点的坐标为代入， 解得．， ，点坐标为， 点横坐标为， 当时，， 点坐标为． （2）点所在直线解析式为：， 点关于轴的对称点，且点落在内（不包括边界）， 点所在直线解析式为：． 设所在直线解析式为：，将，代入解析式得，， 即． 设所在直线解析式为：，将代入解析式得， 即． 联立方程，解得． 联立方程，解得． 点横坐标为， ，解得． 【考点评析】本题考查一次函数与图形综合问题，解题关键是将点转化为直线通过交点求解． 【变式3】（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点与点的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点，给出如下定义：若，则称点为线段的“等角点”． （1）当时， ①若点为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点的坐标为 　，　； ②若点为线段的“等角点”，并且在轴上，则点的坐标为 　　； （2）已知直线上总存在线段的“等角点”，则的范围是 　　． 【思路点拨】（1）①根据在直线上画图1，作的外接圆，连接，，可知，的半径为3 ，最后计算的长可得点的坐标； ②同理根据作辅助线，计算和的长，可得点的坐标，注意不要丢解； （2）当的外接圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“等角点”，再根据圆与切线的关系求出的临界值，即可求的取值范围． 【规范解答】解：（1）①如图1，作的外接圆，设圆心为，连接，， 点与点的坐标分别是与， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点在直线上， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； ②如图2所示，同理作的外接圆，设圆心为，过作轴于，作于，连接，， 在轴上存在， 则①知：，，， 由勾股定理得：， ， 同理得：， ， 综上分析，点的坐标为． 故答案为：； （2）作的外接圆， ，， ， ，， ， ， 设直线与轴、轴的交点分别为、， ，， ， ， 当点在点左侧时，过点作轴于直线交于点， ， ， 当时，， ，， ， ， 解得（舍或， 同理当点在点右侧时，，， ， ， 解得 时，直线上总存在线段的“等角点”． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质，直角三角函数值的定义是解题的关键． 考点6：一次函数图象与几何变换 【例6】（2024•邗江区二模）已知直线与轴、轴分别交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，则直线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设直线交轴于，，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得． 【规范解答】解：设直线交轴于，如图： 在中，令得，令得， ，，； ，， ， 将直线绕点逆时针旋转得到新的直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与轴的交点坐标为； 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是画出图形，掌握函数图象上点坐标的特征和锐角三角函数的定义． 【变式1】（2024•吴江区二模）如果将直线沿轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是 　　． 【思路点拨】根据函数图象的平移规则“左加右减”，即可得出直线平移后的解析式． 【规范解答】解：将直线沿轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是：，即． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“左加右减”． 【变式2】（2023•鼓楼区校级三模）以下对一次函数的图象进行变化的方案中正确的是 　①②④　（只填序号）． ①向下平移4个单位长度得到一次函数 的图象； ②向左平移4个单位长度得到一次函数的图象； ③绕原点旋转 得到一次函数的图象； ④先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数 的图象． 【思路点拨】根据平移规律，旋转的性质，轴对称的性质判断即可． 【规范解答】解：①一次函数的图象向下平移4个单位长度得到一次函数，即的图象， 方案①正确； ②一次函数的图象向左平移4个单位长度得到一次函数，即的图象， 方案②正确； ③一次函数的图象绕原点顺时针旋转 得到一次函数的图象， 方案③错误； ④一次函数的图象沿轴对称得到，再沿轴对称得到一次函数，即的图象， 方案④正确； 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，坐标与图形的变化平移，坐标与图形的变化对称，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 考点7：待定系数法求一次函数解析式 【例7】（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是 　　． 【思路点拨】延长交轴于点；连接，；连接，，且相交于点．把将多边形分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形分割成面积相等的两部分．而点正是矩形的中心，求得矩形的中心的坐标，设，利用待定系数法求，即可． 【规范解答】解：如图，延长交轴于点；连接，；连接，，且相交于点． 由已知得点是，的中点，即点为矩形的中心，所以直线把矩形分成面积相等的两部分． 又因为点是矩形的中心，所以， 过点的直线把矩形分成面积相等的两部分． 于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则 解得，故所求直线的函数表达式为． 故答案为． 【考点评析】本题考查了一次函数关系式为：，要有两组对应量确定解析式，即得到，的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积． 【变式1】（2020•如皋市二模）定义：如图1，已知锐角内有定点，过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．若是线段的中点时，则称直线是的中点直线．如图2，射线的解析式为与轴的夹角为，，为的中点直线． （1）求直线的解析式； （2）若过点任意作一条直线，分别交射线，轴的正半轴于点，，记的面积为，的面积为．求证：． 【思路点拨】（1）如图1，设点的坐标为：，，作轴于，轴于，根据相似三角形的性质得到，即，解方程即可得到结论； （2）如图2，不妨设，过作轴交于，求得，，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1，设点的坐标为：，， 作轴于，轴于， ， ， ， 点是线段的中点，， ，即， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）证明：如图2，不妨设， 过作轴交于， 则，， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 当与重合时，， ． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 【变式2】（2019•鼓楼区校级模拟）如图，一次函数的图象经过、，是此图象上一点，垂直于轴，垂足为，求： （1）一次函数的解析式； （2）梯形的面积； （3）的正弦函数的值． 【思路点拨】（1）利用待定系数法确定函数关系式即可； （2）设点的横坐标为4，利用梯形的面积公式解答即可； （3）根据勾股定理和三角函数解答即可． 【规范解答】解：（1）由图象，， ． 解得 一次函数解析式为； （2）由题设点的横坐标为4 纵坐标 ， （3）轴， ， 在中，， 由勾股定理 ． 【考点评析】此题考查待定系数法确定函数关系式，关键是根据待定系数法确定函数关系式和勾股定理以及三角函数解答． 考点8：一次函数与一元一次方程 【例8】（2020•吴江区二模）若一次函数为常数且的图象经过点，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用一次函数与一元一次方程的关系可得的解是，进而可得，然后可得的值． 【规范解答】解：一次函数为常数且的图象经过点， 的解是， ， 则， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程，为常数，的解可以转化为：一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线，确定它与轴的交点的横坐标的值． 【变式1】（2021•高邮市二模）已知函数的部分函数值如表所示，则关于的方程的解是　　 1 5 3 A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据表格数据可得当，，即时，，进而利用函数解析式求出时的值即可． 【规范解答】解：当，， 当时，自变量， 关于的方程的解是， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确连接一次函数解析式和一元一次方程的关系． 【变式2】（2014•无锡模拟）一次函数，为常数，且的图象如图所示，根据图象信息可求得关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先利用待定系数法把，，代入，可得关于、的方程组，再解方程组可得、的值，求出一次函数解析式，再求出方程的解即可． 【规范解答】解：经过，，， ， 解得：， 一次函数解析式为， ， 解得：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式． 考点9：一次函数与一元一次不等式 【例9】（2024•海安市一模）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】观察函数图象得可求解． 【规范解答】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式1】（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据题意可知恒成立，据此建立关于的不等式即可解决问题． 【规范解答】解：因为无论取何值，始终有， 所以恒成立． 因为， 所以，且， 所以， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式，能根据题意建立关于的不等式并得出关于的不等式是解题的关键． 【变式2】（2019•崇川区校级二模）已知直线与直线的交点坐标为，，则不等式组的解集为　　． 【思路点拨】由，即可得到；由，即可得到，进而得出不等式组的解集． 【规范解答】解：把，代入，可得 ， 解得， ， 令，则 当时，， 解得； 当时，， 解得， 不等式组的解集为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 考点10：一次函数与二元一次方程（组） 【例10】（2024•宝应县一模）若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与是常数，的图象的交点坐标是 　　． 【思路点拨】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标． 【规范解答】解：关于、的二元一次方程组的解是， 一次函数与是常数，的图象的交点坐标是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式1】（2021•广陵区校级一模）如图，函数和的图象相交于点，点的纵坐标为40，则关于，的方程组的解是　　． 【思路点拨】本题将点的横坐标40代入中，求出横坐标的值，进而得到，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知答案即可． 【规范解答】解：由题意可知， 点的纵坐标为40， ， 将代入中， 解得， ， 则方程组的解是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元次一方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决问题的关键． 【变式2】（2022•海州区校级二模）如图，直线和直线交于点则长于、的二元一次方程组的解为 　　． 【思路点拨】方程组的解就是两条直线的交点坐标． 【规范解答】解：直线和直线相交于点， 二元一次方程组的解为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的与一次函数的关系的知识，解题的关键是了解方程组的解就是两条直线的交点坐标，难度不大． 考点11：两条直线相交或平行问题 【例11】（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，在直线上运动，则的最小值为 　　． 【思路点拨】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法求出的长即可． 【规范解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，； ，， ，， ， 直线与直线交于点，在直线上运动， 直线即为直线， 点到直线的距离，垂线段最短， 当时，的值最小， ， ， ； 即的最小值为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 【变式1】（2021•徐州模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴，直线交于点，，则的面积为 　3　． 【思路点拨】先求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：在中，令，得， 解得，， ，， 的面积， 故答案为3． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得、的坐标是解题的关键． 【变式2】（2021•滨湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，过点的直线与轴负半轴交于点，与直线交于点．若点的坐标是，且，则直线的函数表达式为　　． 【思路点拨】由得出，，求出，，，利用即可求解． 【规范解答】解：过点作于点，过点作于， 由题意得：， ， ，， ，， ， 在中，， ，， ，解得：， 点，， 设直线的解析式为， 把，，代入得， 解得， 直线的解析式为， 故答案为． 【考点评析】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度 第二部分：高频题型洞悉 题型1：一次函数图像的位置与系数的关系 【例1】（2023•广陵区二模）图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由图1可设，为常数，且，，由图2可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【规范解答】解：由图1可设，为常数，且，，由图2可设为常数，， 将代入得：， 与的函数关系为一次函数关系， ，，， ，， 与的函数图象过一、二、四象限． 故选：． 【考点评析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键． 【变式1】（2022•连云港一模）已知一次函数，当满足 　　时，随的增大而减小． 【思路点拨】根据一次函数的性质得，然后解不等式即可． 【规范解答】解：当时，随的增大而增大， 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降；当时，直线与轴交于正半轴；当时，直线与轴交于负半轴． 【变式2】（2020•张家港市校级模拟）已知，，为正实数，且，则直线一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】由，，为正实数，且，可得出，，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出直线经过第一、二、三象限，进而可得出结论． 【规范解答】解：，，为正实数，且， ， ， 直线经过第一、二、三象限， 直线一定不经过第四象限． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 题型2：用待定系数法求一次函数解析式 【例2】（2024•宝应县三模）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，求整齐摆放在桌面上饭碗的高度与饭碗数（个之间的一次函数解析式 　　． 【思路点拨】设一次函数解析式为，代入已知两点，求解即可． 【规范解答】解：设一次函数解析式为， 当，；当，， ， 解得， 一次函数的解析式是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的待定系数法求函数解析式． 【变式2】（2024•高港区三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： （1）求的函数解析式． （2）若该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 【思路点拨】（1）直接利用待定系数求解即可； （2）易得使用品牌专用充电桩充电率从0.2至0.8所用时间，以及使用公共充电桩的充电速度，进而求得该汽车使用公共充电桩充电率从0.2至0.9所用时间，由当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同，以此求出使用品牌专用充电桩充电率从0.8至0.9所需时间，以此即可求解． 【规范解答】解：（1）设的解析式为， 由题图可知，过点，， ，解得：， 的解析式为． （2）该汽车使用公共充电桩充电时， 充电速度为，且充电率从0.2至0.9需， 由题图可知，该汽车使用专用充电桩充电时， 充电率从0.2至0.8，所用时间为， 当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同， 充电率从0.8至0.9需， 所以汽车使用专用充电桩充电时，充电率从0.2至0.9需， 即该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用． 【考点评析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式，根据题图寻找解题所需信息是解题关键． 【变式3】（2023•靖江市模拟）已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出、两点的坐标（用含有的代数式表示）； （2）当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点，使得，求出点的坐标； （3）点在轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由． 【思路点拨】（1）分别将，代入即可； （2）当，双曲线为：，直线为：，分点在第一象限和在第三象限两种情况求解； （3）由可得直线过定点，，可得，作点关于轴对称点，过向作垂线，垂足设为，利用求，在中求，在△中利用可得结果． 【规范解答】解：（1）对于，令得， 令得， ，， （2）当，，， 双曲线为：，直线为：， ①当点在第一象限时，设，的方程为：，与轴交于， 此时， 解得：， ， 令得：， ， ， ， ， ， ， （舍去），， 此时， 将代入直线得：， 在直线下方，符合题意， ②当在第三象限时，设，， 根据，求得方程为：（方法同求的方程）， 令得：，， ， ， ， 整理得：， 解得（舍 ， 此时，， 将代入直线得：， 在下方，符合题意， 综上，点坐标，或，． （3）不变，理由： ， 令可得， 此直线过定点，， 根据题意，该直线过点， 当时，该直线与轴平行， ，这与题中矛盾，从而， ， 作点关于轴对称点， 由对称可知， ， ， 过向作垂线，垂足设为， ，，，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在△中，， ， ，即． 【考点评析】本题主要考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握一次函数及反比例函数的相关知识是解决本题的关键． 题型3：求直线与坐标轴围成的图形的面积 【例3】（2022秋•兴化市校级期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 【思路点拨】（1）将点代入正比例函数中，可得，则，再根据一次函数的图象过点，，直接利用待定系数法即可求解； （2） 【规范解答】解：（1）正比例函数的图象过点， ， 解得：， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得：， 一次函数表达式为； （2）由（1）知，一次函数表达式为， 令，， 解得：， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式，两直线相交问题，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 【变式1】（2022秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一点，将线段绕点旋转至处，过点作垂直轴于点，若四边形的面积为36，则直线的解析式为 　或　． 【思路点拨】设直线的函数表达式为，作轴于点，有两种情况，如图所示，设点，则，根据点的坐标可得；当线段绕点顺时针旋转时，由旋转的性质得，，利用判定，然后利用全等三角形的性质，结合四边形的面积矩形的面积两个小直角三角形的面积可求出的值，从而得到点的坐标；再利用待定系数法求出直线的解析式，自己试着求解线段绕点逆时针旋转时直线的解析式． 【规范解答】解：设直线的函数表达式为，作轴于点． 设点，则． ， ． 当线段绕点顺时针旋转时，由旋转的性质，得，． ，， ． 由旋转的性质可得， ，， ． 四边形的面积为36， ， 解得（负值舍去）， ． 将，代入，得 ， 解得， 直线的函数表达式为； 当线段绕点逆时针旋转时， 同理可得，， 解得（负值舍去）， ． 将，代入， 得， 解得得， 直线的函数表达式为． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是　　 A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【思路点拨】（1）根据一次函数解析式求出点坐标，解，得出，，将点坐标代入，求出一次函数的解析式；再求出点的坐标，然后将点坐标代入，求出反比例函数解析式； （2）先联立直线与双曲线的解析式，求出点坐标，再根据即可求解； （3）观察图象可得不等式的解集． 【规范解答】解：函数过点，把点坐标代入得：， ， 把点坐标代入得：， ， 故正确； 反比例函数随的增大而减小，故错误； 若，则的取值范围是或，故正确； 点坐标， 的面积 ，故正确． 故选：． 【考点评析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，锐角三角函数的定义，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，注意数形结合思想的运用． 题型4：一次函数与方程（组）之间的关系 【例4】（2014•无锡模拟）一次函数，为常数，且的图象如图所示，根据图象信息可求得关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先利用待定系数法把，，代入，可得关于、的方程组，再解方程组可得、的值，求出一次函数解析式，再求出方程的解即可． 【规范解答】解：经过，，， ， 解得：， 一次函数解析式为， ， 解得：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式． 【变式1】（2023•海陵区一模）学校数学兴趣小组开展综合实践活动——鱼塘中的“增氧器”在何处？如图1，测出正方形鱼塘的边长为，在边上的点处发现点正好被“增氧器” 挡住，同样在边边上的点处发现点被挡往，量出、的长都是．如图2，他们以点为坐标原点，直线、分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题． （1）求直线的函数表达式； （2）求“增氧器” 距边、的距离． 【思路点拨】（1）求的函数表达式可以用待定系数法． （2）利用题中已建坐标系，可求得点的坐标，可求得距、的距离． 【规范解答】解：（1）按题意建立平面直角坐标系， 由的边长为，可得：，； 由、的长都是，可得：，； 设的函数表达式为：，并将、坐标代入得： ；解得：；即：． （2）设的函数表达式为：，并将、坐标代入得： ；解得：；即：． 联立、两直线函数关系式得：；解得：． 即“增氧器” 距边、的距离分别为：，． 【考点评析】本题考查待定系数法求一次函数关系式，以及一次函数与二元一次方程组的关系． 【变式2】（2023•苏州）已知一次函数的图象经过点和，则　　． 【思路点拨】利用待定系数法即可解得． 【规范解答】解：由题意得，将点和代入得： ， 解得：， ， 另一种解法：由题意得，将点和代入得： ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键． 题型5：一次函数与不等式（组）之间的关系 【例5】（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据题意可知恒成立，据此建立关于的不等式即可解决问题． 【规范解答】解：因为无论取何值，始终有， 所以恒成立． 因为， 所以，且， 所以， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式，能根据题意建立关于的不等式并得出关于的不等式是解题的关键． 【变式1】（2020•如皋市二模）如图，一次函数，为常数，且的图象过点，，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用图象得出答案即可． 【规范解答】解：如图所示：不等式的解集为：． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是解题关键． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【规范解答】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于0，即关于的不等式的解集是． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 题型6：一次函数的平移、旋转、对称 【例6】（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【规范解答】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数的图象向左平移1个单位，所得图象的解析式为，即． 故选：． 【考点评析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式1】（2020•太仓市模拟）正比例函数的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据一次函数图象平移的规律（左加右减）即可得出平移后的函数解析式． 【规范解答】解：正比例函数的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为， 即． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握一次函数图象平移的规律“左加，右减”． 基础夯实训练 1．（2024•东海县一模）函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 【思路点拨】利用时，可对选项进行判断；根据一次函数的性质可对、选项进行判断；由于直线与轴的正半轴的交点坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出，从而可对选项进行判断． 【规范解答】解：直线经过点， 当时，，所以选项不符合题意； 一次函数图象经过第一、三象限， ，所以选项不符合题意； 一次函数与轴的交点坐标为，与轴的正半轴的交点坐标为， ， 解得，所以选项符合题意； 若点和点在直线上， 而随的增大而增大， ，所以选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 2．（2024•工业园区一模）已知点，、，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【规范解答】解：，随的增大而减小， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 3．（2024•无锡）已知是的函数，若存在实数，，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【思路点拨】推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出和的值，即可判断④． 【规范解答】解：①当时，，当时，， ， 随的增大而减小， 在时，，即， 是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， 对称轴为轴，， 当时，随的增大而增大， 在时，，即， 是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③， 该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，随的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ，， 总存在， 函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ， 当时，随的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， 是函数的“4级关联范围”， 函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：． 【考点评析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，掌握反比例函数的性质，二次函数的性质是关键． 4．（2024•工业园区校级二模）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为　　． A．24 B．12 C．18 D．21 【思路点拨】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【规范解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 5．（2024•沛县校级三模）如图，函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为 　　． 【思路点拨】由函数的图象与轴交于点，可得，把代入可得，由图可知，故； 【规范解答】解：函数的图象与轴交于点， ， ， 把代入得： ， ， 由图可知，， ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征和不等式的性质． 6．（2024•姜堰区二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则该种液体的体积为 　80　． 【思路点拨】利用待定系数法求出当时，该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为，再把代入计算即可． 【规范解答】解：设当时，该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为：，则： ， 解得， 该种液体和烧杯的总质量与该种液体的体积之间的函数关系式为， 当时，， 解得， 即该种液体的体积为． 故答案为：80． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． 7．（2024•新沂市模拟）根据图象，可得关于的不等式的解集是 　　． 【思路点拨】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可答案． 【规范解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为， 所以关于的一元一次不等式的解集为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键． 8．（2024•南通）平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 　　． 【思路点拨】将点代入直线，将用表示出来，利用待定系数法求出所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出的值即可． 【规范解答】解：如图，设与直线交于点． 设所在直线的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在直线的函数关系式为． 将点代入， 得， 解得， 直线为． ， 解得， ，， ， 远离原点部分的面积为， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数关系、求出交点坐标、掌握三角形的面积公式是解题的关键． 9．（2024•南京模拟）有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间之间的关系如图1中． （1）进水管每小时的进水量为 　5　，出水管每小时的出水量为 　　． （2）若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图象． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）根据已知图象列式计算即可得到答案； （2）①求出函数图象经过点，，，，再描点，连线即可画出图象； ②分别求出当，时，水池的蓄水量为时的值，由图象可得答案． 【规范解答】解：（1），， 进水管每小时的进水量为，出水管每小时的出水量为； 故答案为：5，3； （2）①根据题意，当时；当时；当时； 蓄水量与时间之间的函数图象经过点，，，，画出图象如下： ②当时，若水池的蓄水量为，则； 当时，若水池的蓄水量为，则； 由图可知，当水池的蓄水量不小于时，的取值范围是． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 10．（2024•南京模拟），两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从，两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达地后立即按原路原速返回，慢车到达地后停止．快、慢两车离地的距离，（单位：与出发时间（单位：之间的函数关系如图所示． （1）补全与之间的函数图象； （2）若慢车的速度为． ①点的坐标为 　　； ②快车到达地前，两车何时相距？ （3）若慢车在快车返回地后的内到达，则慢车速度的范围是 　　． 【思路点拨】（1）根据快车到达地后立即按原路原速返回，可知快车返回地时，即可补全与之间的函数图象 （2）①求出快车速度为，可知两车出发后相遇，相遇处距地，从而可得点的坐标为； ②求出，当时，，可得，当时，，可得，解方程可得答案； （3）分别求出慢车和到地的速度，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）快车到达地后立即按原路原速返回， 快车返回地时，； 补全与之间的函数图象如下： （2）①快车速度为， ， 两车出发后相遇，相遇处距地， 点的坐标为； 故答案为：； ②根据题意得， 当时，， 两车相距， ， 解得或； 当时，， 两车相距， ， 解得或； 综上所述，或或或时，两车相距； （3），， ； 故答案为：． 【考点评析】本题快车一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 11．（2024•淮阴区一模）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：与加热的时间（单位：符合初中学习过的某种函数关系，该函数关系是 　一次　函数关系（请选填“一次、二次、反比例” ； （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当加热到时，油沸腾了，请推算该食用油沸点的温度． 【思路点拨】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答； （2）直接利用待定系数法即可求解； （3）将代入（2）求得的函数解析式中即可求解． 【规范解答】解：（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故锅中油温与加热的时间可能是一次函数关系； 故答案为：一次； （2）设锅中油温与加热的时间的函数关系式为， 将点，代入得，， 解得：， ； （3）当时，， 经过推算，该油的沸点温度是． 【考点评析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键． 能力拔高训练 12．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道、两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从地出发，同时亮亮从地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离（米与行走时间（分的函数关系的图象，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由两次相遇知两人共走了米，且速度不变，得（分．故选项不符合题意； 由拐点得此时亮亮到达地，故亮亮的速度为（米分），由速度和为（米分），得明明的速度为60米分，因此，故选项不符合题意； 在时，两人同向而行，是明明到点的时间，（分，故选项不符合题意； 明明到达后，亮亮距离明明的路程为：（米，故选项符合题意． 【规范解答】解：第一次相遇两人共走了2800米， 第二次相遇两人共走了米， 且二者速度不变， （分． 故选项不符合题意； 时，出现拐点， 此时亮亮到达地，路程为2800米， 亮亮的速度为（米分）， 两人的速度和为（米分）， 明明的速度为（米分）， ； 故选项不符合题意； 在时，两人同向而行， 是明明到点的时间， （分， 故选项不符合题意； 明明到达后， 亮亮距离明明的路程为： （米， 故选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题关键． 13．（2024•海陵区校级三模）若一次函数的图象经过点，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】根据一次函数的性质，可得答案． 【规范解答】解：当时，随的增大而增大， ， 当时，随的增大而减小， ，无法确定与0的大小关系． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质是解题关键． 14．（2024•鼓楼区校级三模）如图，直线分别交坐标轴于点、，轴上一点关于直线的对称点坐标为，则的值为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接，交于点，连接、、，与、的坐标可知，即可得到，，，与对称的性质得到，，垂直平分，证得△，即可证得四边形是菱形，得到，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可求得的值． 【规范解答】解：连接，交于点，连接、、， 直线分别交坐标轴于点、， ， 点坐标为， ， ，，， 由题意可知，，，垂直平分， ， ， △， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 直线分别交坐标轴于点、， ， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 15．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 　1　． 【思路点拨】点关于轴的对称点的坐标为：，将点的坐标代入直线表达式，即可求解． 【规范解答】解：点关于轴的对称点的坐标为：， 将点的坐标代入直线表达式得：， 解得：， 故答案为1． 【考点评析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解． 16．（2024•惠山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 　或或4　． 【思路点拨】分三种情况：①当落在中线上时，②当落在中线上时，③当落在中线上时，画出图形分别求解即可 【规范解答】解：①当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分此时， ， 将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内， ，，， ， 连接，设， 则， 解得：， ，． ②当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点， 则， ，解得：或（舍去）， ， 设，则， ，解得：， ； ③当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点， 则， ，解得：或（舍去）， ， 设，则， ，解得：， ； 故答案为：或或4． 【考点评析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式，数形结合是关键． 17．（2024•玄武区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作交轴于点：过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，，按此作法进行下去，则坐标为 　，　． 【思路点拨】因为直线解析式为，故可以证明直线是第一象限的角平分线，所以，所以可以证明△为等腰直角三角形，可以利用的坐标求出的长度，得到其坐标，用同样的方法求得，，而对应的、、、同理可得，横坐标相等，根据规律即可求得的坐标即可解决 【规范解答】解：直线解析式为，可知为第一象限角平分线， 与轴正半轴夹角为，所有上的点横纵坐标相等， ， △是等腰直角三角形， 作轴于点， ， ， ， 轴， 同理：△是等腰直角三角形， ， ， 同理：△是等腰直角三角形， ， ，， 轴 ，， 同理：，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征的问题，点的坐标规律，利用直线是第一象限的角平分线是解决本题的突破口． 18．（2024•丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形周长的最小值是 　　． 【思路点拨】作关于直线的对称点，作关于轴的对称点，当、、、共线时，四边形的周长最小，连接，则的长就是四边形周长的最小值，利用中点坐标公式求出坐标，再根据两点间距离公式求出和长，即可得到四边形的最小值． 【规范解答】解：作关于直线的对称点，作关于轴的对称点，当、、、共线时，四边形的周长最小， 连接，则的长就是四边形周长的最小值． 设的解析式为：，将代入解析式得：， 直线解析式为：， ，解得， ，， 由中点坐标公式可知：，， ，， ， ， 四边形周长的最小值是：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握对称的性质是解答本题的关键． 19．（2021•淮安区二模）如图，已知、、在直线上．按照如图所示方法分别作等腰△面积为，等腰△面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，，2，3，，若，则　337　． 【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征，求得点、、的纵坐标，然后由三角形的面积公式求得，，，． 【规范解答】解：、、，，在直线上， ，，，，，； 又， ； ； ； ； 是奇数）；是偶数）， ． 故答案为：337． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质的综合应用．解答此题的关键是根据已知条件找出规律：是奇数）；是偶数）． 20．（2024•常州二模）某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？ 【思路点拨】（1）根据每天的生产成本固定成本所有产品的原料成本，就可以求出结论； （2）根据每天产品的售价与每天产品生产成本之间的关系建立不等式求出其解即可． 【规范解答】解：（1）由题意，得 （2）由题意，得 ， 解得： 为整数， 每天至少生产41件，该工厂才有盈利． 【考点评析】本题考查了每天的生产成本固定成本所有产品的原料成本的数量关系的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时建立一次函数将诶相似是关键． 21．（2024•宝应县三模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 【思路点拨】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可． 【规范解答】解：（1）设线段的函数表达式为， 将，代入， 即， 解得， 线段的函数表达式为； （2）根据题意，得， ． 【考点评析】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 22．（2024•赣榆区二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨 交费总数（元 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量的值； （2）写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以判断出的取值范围，然后即可列出关于的方程，从而可以求得的值； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，然后将代入相应的函数关系式，即可得到当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元． 【规范解答】解：（1），， ， 解得，（舍去）， 答：该市规定标准用水量的值为100； （2）由（1）可得， 当时，， 当时，， 即交费总数（元与用水量（吨的函数关系式是； 当时，， 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【考点评析】本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 23．（2024•姑苏区校级二模）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点． （1）若折叠后点与点重合，求直线的解析式； （2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的取值范围； （3）若折叠后点落在边上的点为，且使，则△的周长为 　　． 【思路点拨】（1）因为折叠后点与点重合，那么，可先设出点的坐标，然后表示出，，在直角三角形中，根据勾股定理即可求出点的纵坐标，也就求出了点的坐标，然后根据待定系数法即可得到结论； （2）方法同（Ⅰ）用表示出，然后在直角三角形中根据勾股定理得出，的关系式．由于在上，因此有，由此可求出的取值范围； （3）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出，的关系，知道，的值，那么可以通过证来实现．和是平行线，的内错角，又因为，因此，即，由此可得出两三角形相似，得出，的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形中求出的值，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图①，折叠后点与点重合，则． 设点的坐标为，，则． ． 在中，由勾股定理，， 即，解得． 点的坐标为， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图②，折叠后点落在边上的点为， △． ，， ， 在△中，由勾股定理，得． ， 即． 由点在边上，有， 解析式为所求． 当时，随的增大而减小， 的取值范围为； （3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且． ． 又， ， ． ． ， ， 在△中， 设，则． 由（2）的结论，得， 解得． ， ． ， ， ， △的周长为， 故答案为：． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，正确地作出图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$