第11讲 一次函数的应用（讲练）（思维导图+10种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数应用 ►题型01 分配问题 ►题型02 最大利润问题 ►题型03 行程问题 ►题型04 几何问题 ►题型05 工程问题 ►题型06 分段计费问题 ►题型07 体积问题 ►题型08 调运问题 ►题型09 计时问题 ►题型10现实生活相关问题 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 2024省卷20题， 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． ►题型01 分配问题 【例1】．（2020·山东济宁·中考真题）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 【变式1-1】（2021·山东聊城·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【变式1-2】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【变式1-3】（2022·山东日照·二模）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表： A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W(元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来 方案三：甲店A型产品40件，B型产品30件，乙店A型产品0件，B型产品30件． ►题型02 最大利润问题 【例2】．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式2-1】（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式2-3】（2020·山东烟台·中考真题）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍． （1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？ ►题型03 行程问题 【例3】．（2023·山东德州·一模）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【变式3-1】．（2021·山东临沂·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【变式3-2】．（2021·山东滨州·中考真题）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题： （1）当（秒）时，两车相距多少米？当（秒）时呢？ （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象． 【变式3-3】．（2023·山东青岛·二模）周末小明和小亮相约去海军博物馆参观，小明家、书店、小亮家和海军博物馆自北向南依次在同一直线上，小明从家出发，他先匀速骑行了6分钟，想起忘记买《现代舰船》一书，于是用相同速度返回刚才路过的书店买书，买完书后小明为赶时间加快了速度，又骑行一段时间后到达海军博物馆．当小明出发时，小亮开始从家匀速步行出发，用时30分钟到达海军博物馆，两人离海军博物馆的距离与时间之间的对应关系如图所示． (1)：填表： 时间 4 6 10 12 25 小明离博物馆的距离 1500 1800 0 (2)小明家距离书店______m，买书前小明骑行的速度为______ (3)买完书后，小明骑行多久追上小亮？ ►题型04 几何问题 【例4】．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ． 【变式4-1】．（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ． 【变式4-2】．（2024·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点和，已知点的坐标为，则的值为 ． 【变式4-3】．（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． ►题型05 工程问题 【例5】．（2022·山东泰安·二模）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天． (1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里； (2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？ 【变式5-1】．（2021·山东淄博·二模）为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用天． （1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里； （2）若该市需付给甲工程队的费用为每天万元，需付给乙工程队的费用为每天万元．考虑到要不超过天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？ 【变式5-2】（2022·山东济宁·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【变式5-3】（2021·山东日照·一模）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ ►题型06 分段计费问题 【例6】（2022·山东临沂·二模）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？ 【变式6-1】（2024·山东德州·一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 (1)求出该市规定标准用水量的值； (2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【变式6-2】（2022·山东德州·一模）为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过时，水费按每立方米1.1元收费，超过时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为，应缴水费为y元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 【变式6-3】（2021·山东青岛·一模）为节约用水、保护水资源，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过吨时，超过部分每吨加收环境保护费元．下图反映了每月收取的水费元与每月用水量吨之间的函数关系的图象．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 四月 35 五月 80 151 （1）求出m的值； （2）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． ►题型07 体积问题 【例7】（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 【变式7-1】（2022·山东济宁·一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池中．如图，这是甲、乙两个蓄水池中水的高度（米）随注水时间（小时）变化的图象．当甲、乙两蓄水池中水的高度相同时，注水的时间是 小时． 【变式7-2】（2022·山东济宁·三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是 【变式7-3】（2022·山东日照·一模）自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池的中水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如下所示，结合图象回答下列问题． （1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式； （2）求注入多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同； （3）求注入多长时间甲、乙两个蓄水的池蓄水量相同； （4）3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？ ►题型08 调运问题 【例8】（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． (1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 【变式8-1】（2022·山东德州·二模）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x B （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【变式8-2】（2022·山东青岛·一模）某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销售，经过市场调查发现一部分数据如下： 销售价格x（元/千克） 40 50 60 月销售量p(千克) 6000 4800 3600 其中，月销售量是关于销售价格的一次函数． (1)请直接写出p与x之间的一次函数关系 (2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？ (3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点的运费分别为a元/千克（其中），3元/千克，请直接写出最优的调运方案． 【变式8-3】（2021·山东日照·三模）甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往地240吨，地260吨，运费如下：（单位：吨） 目的地 生产厂 甲 20 25 乙 15 24 (1)求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？ (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． ►题型09 计时问题 【例9】（2024·山东潍坊·三模）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：        （实验观察）实验小组通过观察，每小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） （探索发现） （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点． （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （结论应用）应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 【变式9-1】（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． ►题型10 现实生活相关问题 【例10】（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 【变式10-1】（2024·山东青岛·一模）今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如下表所示． 菜品名称 红烧排骨 三色肉丁 冬瓜鸡蛋 青椒包菜 米饭 水果 食物种类 猪小排 猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆 冬瓜、鸡蛋 青椒、包菜 粳米（标一） 苹果 (1)午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如下表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为克、克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克；         食物类别 营养素 猪小排 猪肉（瘦） 蛋白质（克） 脂肪（克） (2)按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共，已知每克青椒与包菜分别含有、的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？ 【变式10-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【变式10-3】（2024·山东日照·二模）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，现这家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍副，乒乓球盒（不少于盒）．则应付款（元）与乒乓球盒数（盒）的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．“千里游学，古已有之”，两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为元，每位学生的费用为元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 3．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系.如图，由图中给出的信息，预测营销人员销售2万件时的收入是（　　） A．3100元 B．13000元 C．12900元 D．28000元 4．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．轮船的速度为km/h B．轮船比快艇先出发 C．快艇的速度为km/h D．快艇比轮船早到 5．甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 6．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 二、填空题 7．某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3公里时收费12元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 8．某人开车由运城出发前往的目的地太原，车速为时，则他距太原的路程与行驶的时间x小时之间的关系式为 ． 9．全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案， 方案一：办理月卡，并单次打折； 方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 10．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论： ①A，B两村相距； ②小明每小时比小红多骑行8 ； ③两人相距4 时h或2h； ④图中． 其中正确的是 ．（填字号） 三、解答题 11．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 12．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 13．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 14．为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 15．A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 能力提升 一、单选题 1．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（   ）    A．17000无 B．18000元 C．19000元 D．20000元 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间关系如下： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法中，正确的是（    ） A．弹簧不挂重物时长度为0cm B．弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3.5kg C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为15cm 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（    ） A． B． C． D． 5．小李计划通过社会实践活动赚钱买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了之后，余下的打七五折全部售完，若销售金额（元）与售出西瓜的数量之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．降价后西瓜的单价为2元/千克 B．小李一共进了西瓜 C．小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元 6．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 二、填空题 7．某山地地区地面气温为，海拔每升高气温下降．该地区海拔处的气温为，则与的函数关系式是 ． 8．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过2千克，收费10元；超过2千克的部分每千克加收2元．小丽在该快递公司寄一件5千克的物品，需要付费 元． 9．小卖部从批发市场购进一批李子，在销售了部分李子之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完．销售金额（元）与李子销售量（千克）之间的关系如图所示．若销售这批李子一共赢利220元，那么这批李子的进价是 元．    10．甲乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B地，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速返回A地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y千米与甲开车行驶的时间x小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B地时，乙离B地的距离是 ． 三、解答题 11．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 12．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数（如图）． (1)请直接写出y关于x的函数表达式_________． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 13．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 14．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车，请根据图象解答下列问题： (1)求货车的平均速度？ (2)轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ (3)若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ (4)轿车追上货车时，两车距甲地多少千米？ 15．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． $$第三章 函数 第11讲 一次函数的应用（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数应用 ►题型01 分配问题 ►题型02 最大利润问题 ►题型03 行程问题 ►题型04 几何问题 ►题型05 工程问题 ►题型06 分段计费问题 ►题型07 体积问题 ►题型08 调运问题 ►题型09 计时问题 ►题型10现实生活相关问题 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数的应用 · 能用一次函数解决实际问题 2024省卷20题， 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． ►题型01 分配问题 【例1】．（2020·山东济宁·中考真题）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果. 【详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资， 根据题意，得：， 解得：， 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W， 则150m+（12-m）×100≥1500， 解得：m≥6， 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000， 解得：m＜9， 则6≤m＜9， 则运输方案有3种： 6辆大货车和6辆小货车； 7辆大货车和5辆小货车； 8辆大货车和4辆小货车； ∵2000＞0， ∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元. ∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【变式1-1】（2021·山东聊城·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元 【分析】（1）设A 种花卉每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验； （2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值． 【详解】解：（1）设A 种花卉每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元． 根据题意，得． 解这个方程，得x＝1. 经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意． 此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）． 所以，A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元． （2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t）， 解得∶t≤1500. 由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000. 因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小． w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）． 所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元． 【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键． 【变式1-2】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元 (2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元． 由题意得，，解得， 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元． （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元， 由题意得，， 由题意得，解得， 因为随的增大而增大，所以当时取得最小值． 答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少． 【变式1-3】（2022·山东日照·二模）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表： A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W(元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来 【答案】（1）W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）有三种分配方案，分别是：方案一：甲店A型产品38件，B型产品32件，乙店A型产品2件，B型产品28件；方案二：甲店A型产品39件，B型产品31件，乙店A型产品1件，B型产品29件；方案三：甲店A型产品40件，B型产品30件，乙店A型产品0件，B型产品30件． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）根据公司要求总利润不低于17560元，可以得到x的取值范围，然后根据x为整数，即可得到有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来． 【详解】解：由题意可得， W=200x+170（70x）+160（40x）+150（x10）=20x+16800， x的取值范围为：10≤x≤40， ∴W关于x的函数关系式是W=20x+16800（10≤x≤40）； （2）∵公司要求总利润不低于17560元， ∴20x+16800≥17560， 解得：x≥38， ∵10≤x≤40， ∴38≤x≤40， ∵x为整数， ∴x的取值为38，39，40， 即共有三种方法， 方案一：甲店A型产品38件，B型产品32件，乙店A型产品2件，B型产品28件； 方案二：甲店A型产品39件，B型产品31件，乙店A型产品1件，B型产品29件； 方案三：甲店A型产品40件，B型产品30件，乙店A型产品0件，B型产品30件． ►题型02 最大利润问题 【例2】．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； (2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【变式2-1】（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． 【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部； （2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部， ， 解得，， 答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部； （2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元， w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000， ∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， ∴30﹣x≤2x， 解得，x≥10， ∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20， 答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元． 【变式2-3】（2020·山东烟台·中考真题）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍． （1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元；（2）药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元 【分析】（1）设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据“药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3”列方程组解答即可； （2）根据题意即可得出W关于m的函数关系式；根据题意列不等式得出m的取值范围，再结合根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得： ， 解得， 经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解， ∴每只A型口罩的销售利润为：（元）， 每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）， 答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元． （2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000， 10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000， ∵0.1＜0， ∴W随m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600， 即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元． ►题型03 行程问题 【例3】．（2023·山东德州·一模）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 (2) (3)小时 【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解； （2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 （2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为， 此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为， ∴ 设直线的表达式为 ∴ 解得： ∴直线的表达式为 （3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则， 解得： ∴甲乙两地的距离为千米， 设快车返回的速度为千米/小时，根据题意， 解得：， ∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键． 【变式3-1】．（2021·山东临沂·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米 【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可； （2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， ∵一次函数经过（0，16），（8，8）， 则，解得：， ∴一次函数表达式为， 令v=9，则t=7， ∴当t=7时，速度为9m/s， ∵二次函数经过（2，30），（4，56）， 则，解得：， ∴二次函数表达式为， 令t=7，则s==87.5， ∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m； （2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s， ∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小， 当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大， ∴当v=10m/s时，两车之间距离最小， 将v=10代入中，得t=6， 将t=6代入中，得， 此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m， ∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提． 【变式3-2】．（2021·山东滨州·中考真题）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题： （1）当（秒）时，两车相距多少米？当（秒）时呢？ （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象． 【答案】（1）当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，可以先计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当x=50和x=150时，两车的距离； （2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据x的取值范围不同，写出相应的函数解析式即可； （3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象． 【详解】解：（1）∵500÷（25-20）=500÷5=100（秒）， ∴当x=50时，两车相距：20×50+500-25×50=1000+500-1250=250（米）， 当x=150时，两车相距：25×150-（20×150+500）=3750-（3000+500）=3750-3500=250（米）， 答：当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米； （2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25-20）=500÷5=100（秒）， ∴当0≤x≤100时，y=20x+500-25x=-5x+500， 当x＞100时，y=25x-（20x+500）=25x-20x-500=5x-500， 由上可得，y与x的函数关系式是； （3）在函数y=-5x+500中，当x=0时，y=-5×0+500=500，当x=100时，y=-5×100+500=0， 即函数y=-5x+500的图象过点（0，500），（100，0）； 在函数y=5x-500中，当x=150时，y=250，当x=200时，y=500， 即函数y=5x-500的图象过点（150，250），（200，500）， 画出（2）中所求函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 【变式3-3】．（2023·山东青岛·二模）周末小明和小亮相约去海军博物馆参观，小明家、书店、小亮家和海军博物馆自北向南依次在同一直线上，小明从家出发，他先匀速骑行了6分钟，想起忘记买《现代舰船》一书，于是用相同速度返回刚才路过的书店买书，买完书后小明为赶时间加快了速度，又骑行一段时间后到达海军博物馆．当小明出发时，小亮开始从家匀速步行出发，用时30分钟到达海军博物馆，两人离海军博物馆的距离与时间之间的对应关系如图所示． (1)：填表： 时间 4 6 10 12 25 小明离博物馆的距离 1500 1800 0 (2)小明家距离书店______m，买书前小明骑行的速度为______ (3)买完书后，小明骑行多久追上小亮？ 【答案】(1)1200，1800 (2)300，150 (3)买完书后，小明骑行分钟追上小亮 【分析】 本题主要考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握函数图象的关键信息，路程与速度和时间的关系，待定系数法求函数解析式，一次函数与方程组的关系，是解决问题的关键． （1）根据图象找出第时小明离海军博物馆的距离，第到之间小明在书店买书，第在此范围，找出书店距离海军博馆的距离．填表即可； （2）根据图象找出小明家离书店的距离，根据前内小明离海军博物馆从到计算出买书前小明骑行的速度； （3）根据，求出的解析式，根据，求出的解析式，两解析式联立解方程组，求得x值，再减去15即得． 【详解】（1） 由图象看出，第时，小明距离海军博物馆，第到小明在书店买书，书店距离海军博馆．填表如下： 时间 4 6 10 12 25 小明离博物馆的距离 1500 1200 1800 1800 0 （2） 小明家离书店， ， 买书前小明骑行的速度为， ， 故答案为：300，150； （3） 设段解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设段解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ， 故买完书后，小明骑行追上小亮． ►题型04 几何问题 【例4】．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标． 【详解】解：如图所示，∵D（0，4）， ∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4）， ∴ED=EH， 将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4）， ∴EF=HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴EH=FG， ∴FG =ED， ∵B（-4，6）， ∴BD=， 又∵EF＝3， ∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF, 要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小， 而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小， 设直线BG的解析式为： ∵B（-4，6），G（-3，-4）， ∴， ∴， ∴， 当y=0时，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式4-1】．（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 【变式4-2】．（2024·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点和，已知点的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，全等三角形的性质于判定；根据题意先求出点的坐标，再根据，两点的坐标即可解决问题． 【详解】解：分别过点和作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 四边形是正方形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为， ，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 【变式4-3】．（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，，证得出则，进而可得点在上运动，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设，， 如图所示，过点作轴于点， ∵且， 又 ∴， ∴ ∴，， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴点在上运动， 当时，， 当时， ∴点运动的距离为 故答案为：． ►题型05 工程问题 【例5】．（2022·山东泰安·二模）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天． (1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里； (2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】(1)B每天修4公里 (2)B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元 【分析】（1）设B工程队每天维护道路的长度是x公里，则A工程队每天维护道路的长度是2x公里，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A工程队单独完成整个任务比B工程队单独完成整个任务少用25天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设B工程队先单独做m天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给A工程队的费用×A工程队工作的时间+每天需支付给B工程队的费用×B工程队工作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设B每天修x公里，则A每天修公里 解得 经检验符合题意． 答：B每天修4公里. （2）设B单独做m天．总费用为w元 ∵ ∴w随m的增大而减小. 又∵ ∴当时，w最小 答：B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元． 【变式5-1】．（2021·山东淄博·二模）为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用天． （1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里； （2）若该市需付给甲工程队的费用为每天万元，需付给乙工程队的费用为每天万元．考虑到要不超过天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？ 【答案】（1）4公里；（2）乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是840万元 【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独完成整个任务比乙工程队单独完成整个任务少用25天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给甲工程队的费用×甲工程队工作的时间+每天需支付给乙工程队的费用×乙工程队工作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）设乙工程队每天维护道路的长度是公里，则甲工程队每天维护道路的长度是公里，依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙工程队每天维护道路的长度是公里， （2）设乙工程队先单独做天，则甲、乙两工程队需合作做天， 依题意得： 解得： 设该市需付的整个工程费用为万元， 则 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为： 答：乙工程队先单独做天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是万元． 【变式5-2】（2022·山东济宁·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）；（3）当时，元 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需天，根据工作量相同列方程求解即可； （2）利用甲，乙完成的工作量之和为，列关系式，整理可得答案； （3）利用（2）的结论，根据甲，乙完成的工作时间列出函数解析式，再求解自变量的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设乙队单独完成此项工程需天，则甲队单独完成此项工程需天．根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验：是所列方程的解． 所以． 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天． （2）由题意得： ． （3）设总施工费用元．根据题意，得 ． ∵，∴．解得：． ∵，∴随增大而减小． ∴当时，（元） 【变式5-3】（2021·山东日照·一模）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】（1）120米（2）y乙=120x﹣360，y甲=60x（3）9 【详解】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米）， 答：乙工程队每天修公路120米． （2）设y乙=kx+b，则，解得：．∴y乙=120x﹣360． 当x=6时，y乙=360． 设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x． （3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）． 设需x天完成，由题意得： （120+60）x=1620，解得：x=9． 答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成 （1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数． （2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式． （3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数． ►题型06 分段计费问题 【例6】（2022·山东临沂·二模）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？ 【答案】（1）y=（2）该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3 【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式； （2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3． 【详解】解：（1）当0<x<15时，设y=mx， 则15m=27， 所以m=1.8， 所以y=1.8x； 当x≥15时，设y=kx+b，则， 解得， 所以y与x的关系式是y=； （2）设二月份的用水量是am3，则三月份的用水（40-a）m3， 因为二月份用水量不超过25m3， 所以40-a≥15，即三月份的用水量不小于15m3， ①当0≤a<15时，由题意得1.8a+2.4(40-a)-9=79.8，解得a=12，40-a=28； ②当15≤a≤25时，两个月用水量均不少于15m3，所以2.4a-9+2.4(40-a)-9=79.8，整理得78=79.8，故此方程无解； 综上所述，该用户二、三月份用水量分别是12m3和28m3． 【变式6-1】（2024·山东德州·一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 (1)求出该市规定标准用水量的值； (2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】(1) (2)，290元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出一元二次方程以及一次函数是解此题的关键． （1）根据七月份用水量以及交费总数得出关于的方程，解方程即可得出答案； （2）当，根据收费方式即可得出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，求出当 的值即可得解． 【详解】（1）解：因七月份用水量为140吨，，             所以需加收：（元），     即， 解得，，     又8月份用水量为95吨，，不超标， 故答案为； （2）解：当时，则． ∴， 用水量为150吨时，应交水费：（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【变式6-2】（2022·山东德州·一模）为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过时，水费按每立方米1.1元收费，超过时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为，应缴水费为y元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 【答案】（1）；（2）这两户家庭这个月的用水量分别为和 【分析】（1）由题意可分，x>6两种情况写出y与x之间的函数表达式； （2）首先判断消费是否大于1.1×6，若不大于，则采用（1）中的函数关系式求解，若大于，则采用x>6的函数关系式求解． 【详解】解：（1）当时，； 当， 即， 所以y与x之间的函数表达式为， （2）因为 所以用水量不超过6立方米， 所以当时，，解得． 因为 所以用水量超过6立方米， 所以当时，，解得． 答：这两户家庭这个月的用水量分别为和 【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握分段函数的特点和解决方法是解题关键 ． 【变式6-3】（2021·山东青岛·一模）为节约用水、保护水资源，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过吨时，超过部分每吨加收环境保护费元．下图反映了每月收取的水费元与每月用水量吨之间的函数关系的图象．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 四月 35 五月 80 151 （1）求出m的值； （2）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据单价=总价÷数量求出不超过m吨时水费的单价，结合五月的用水量及水费钱数，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据四月的用水量及水费钱数，即可确定m值,； （2）根据总价=单价×数量，即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】（1）由函数图象可知，不超过m吨时，水费为：元/吨， 根据五月份用水量得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）可得，当时，， 当时，， ∴关系式为：． ►题型07 体积问题 【例7】（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h 【分析】（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可． 【详解】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得， 2k+100=380， 解得 k=140， ∴y=140t+100， 当y=480时， 则480=140t+100， 解得t=， (480-100)÷=140m3/h； ∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h； （2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得 ， 解得x=60， 经检验x=60符合题意， (h)， ∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h． 【变式7-1】（2022·山东济宁·一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池中．如图，这是甲、乙两个蓄水池中水的高度（米）随注水时间（小时）变化的图象．当甲、乙两蓄水池中水的高度相同时，注水的时间是 小时． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的实际应用．先利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式，再联立求出交点横坐标即可得． 【详解】解：设甲蓄水池的函数解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则甲蓄水池的函数解析式为， 设乙蓄水池的函数解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则乙蓄水池的函数解析式为， 联立得， 解得， 即当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为小时， 故答案为：． 【变式7-2】（2022·山东济宁·三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是 【答案】20 【分析】设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s，根据当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积． 【详解】解：设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s 由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平． 由此可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：20． 【变式7-3】（2022·山东日照·一模）自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池的中水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如下所示，结合图象回答下列问题． （1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式； （2）求注入多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同； （3）求注入多长时间甲、乙两个蓄水的池蓄水量相同； （4）3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？ 【答案】（1）甲： y=-x+2 乙：y=x+1；（2）小时；（3）1小时；（4）4小时． 【详解】试题分析：（1）先设函数关系式，然后看甲乙两图分别取两组x、y的值得到一个二元一次方程组，解此方程组得出常数项，将常数项代入即可得出解析式； （2）根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同，可以得到一个一元一次方程，解此方程组可得注水时间； （3）从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后，甲水深度下降2米，而乙水池深度升高3米，所以甲乙两水池的底面积比是3：2，再根据容积公式求水量得到一个一元一次方程，解此方程得甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同时的注水时间； （4）由图可知乙蓄水池的水深为4米，乙蓄水池上升的速度为1米/小时，由此求得答案即可． 试题解析：（1）设它们的函数关系式为y=kx+b， 根据甲的函数图象可知，当x=0时，y=2；当x=3时，y=0， 将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b中得， k=-，b=2代入函数关系式y=kx+b中得， 甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为： y=-x+2 根据乙的函数图象可知，当x=0时，y=1；当x=3时，y=4， 将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b中得， k=1，b=1代入函数关系式y=kx+b中得， 乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为：y=x+1； （2）根据题意，得 解得x=． 故当注水小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同； （3）从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后，甲水池深度下降2米，而乙水池深度升高3米，所以甲乙水池底面积之比Sl：S2=3：2 S1（-x+2）=S2（x+1） 解得x=1． 故注水1小时后，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同． （4）4÷（3÷3）=4小时． 所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时． 考点：一次函数的应用 ►题型08 调运问题 【例8】（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． (1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 【答案】(1)A城生产20件，最小值是5700万元； (2)从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小． 【分析】（1）设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元）， 则 ， ∴当时，取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元； （2）设从A城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（万元）， 由题意得：， 解得， ， 根据一次函数的性质可得： P随n增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为110， ∴从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件； 从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使A、两城运费的和最小． 【变式8-1】（2022·山东德州·二模）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x B （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】（1）见解析（2）W=5x＋1275（3）当x最小为1时，W有最小值 1280元 【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解． （2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案． （3）首先求出x的取值范围，再利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可． 【详解】解：（1）完成填表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14﹣x B 15﹣x x﹣1 （2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1）， 整理得，W=5x＋1275．          （3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数， ∴，解不等式组，得：1≤x≤14． 在W=5x+1275中，W随x增大而增大， ∴当x最小为1时，W有最小值 1280元. ∴当x=1时，A:x=1，14−x=13， B:15−x=14，x−1=0， 即A向甲地运1吨，向乙地运13吨，B向甲地运14吨，向乙地运0吨才能使运费最少. 【变式8-2】（2022·山东青岛·一模）某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销售，经过市场调查发现一部分数据如下： 销售价格x（元/千克） 40 50 60 月销售量p(千克) 6000 4800 3600 其中，月销售量是关于销售价格的一次函数． (1)请直接写出p与x之间的一次函数关系 (2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？ (3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点的运费分别为a元/千克（其中），3元/千克，请直接写出最优的调运方案． 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元； (3)①时，运往地，运往地， ②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以． 【分析】（1）射出函数关系式，用待定系数法即可求解； （2）设月销售利润为元，则，再把求出抛物线对称轴，利用函数的性质求出函数的最大值； （3）设运往网点 ，则运往网点，根据题意求出的取值范围，再根据总运费等于运往、两地的运费之和列出函数解析式，再根据的取值求函数的最值，从而得出最优方案． 【详解】（1）解：与成一次函数关系，设函数关系式为， 可选择，和，代入， 则：， 解得：， 所求的函数关系为； （2）解：设月销售利润为元， ， 即， 当时，有最大值，（元 答：这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元； （3）解：根据（2）得月销量为：， 设运往网点 ，则运往网点， 由题意得：， 解得：， 总运费， ①当时，取最小值1200时最小， 此时，运往地，运往地， ②当时，取最大值1800时最小， 此时运往地，运往地， ③时，在范围内的所有方案都可以． 综上所述，最优方案：①时，运往地，运往地， ②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以． 【变式8-3】（2021·山东日照·三模）甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往地240吨，地260吨，运费如下：（单位：吨） 目的地 生产厂 甲 20 25 乙 15 24 (1)求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？ (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】(1)甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨 (2)甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨 【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨；由题意，得 ，解得，， 所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时运费最小． 所以总运费的方案要是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨． ►题型09 计时问题 【例9】（2024·山东潍坊·三模）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：        （实验观察）实验小组通过观察，每小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） （探索发现） （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点． （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （结论应用）应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 【答案】（1）见解析；（2）在一条直线上，；（3）此时箭尺的读数为；（4）对应第二天凌晨的 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用． （1）将各点在坐标系中直接描出即可； （2）观察发现，供水时间每增加小时，箭尺读数增加，结合（1）中直角坐标系点的特点，可以判断它们在同一直线上，设直线解析式为，待定系数法求解析式即可； （3）将代入解析式即可求出箭尺的度读数； （4）将代入解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间即可求解． 【详解】（1）解：将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示： （2）解：分析表格中数据发现，供水时间每增加小时，箭尺读数增加，观察（1）中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，设直线解析式为，代入点和点， 得到，解得， ∴直线的表达式为：； （3）解：当供水时间达到小时时，即时，代入中， 解得， ∴此时箭 尺的读数为； （4）解：当箭尺读数为厘米时，即时，代入中， 解得(小时)， ∴经过小时后箭尺读数为厘米， ∵实验记录的开始时间是上午， ∴箭尺读数为厘米时对应的时间为，即对应第二天凌晨的． 【变式9-1】（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． ►题型10 现实生活相关问题 【例10】（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 【答案】(1)； (2)，表、图见解析 【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可； （2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答． 【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴重物×OA=秤砣×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2x=0.5y， ∴； ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12， ∴． （2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴秤砣×OA=重物×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2×0.5=xy， ∴； 当x=0.25时，； 当x=0.5时，； 当x=1时，； 当x=2时，； 当x=4时，； 填表如下： …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… 4 2 1 …… 画图如下： 【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键． 【变式10-1】（2024·山东青岛·一模）今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如下表所示． 菜品名称 红烧排骨 三色肉丁 冬瓜鸡蛋 青椒包菜 米饭 水果 食物种类 猪小排 猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆 冬瓜、鸡蛋 青椒、包菜 粳米（标一） 苹果 (1)午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如下表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为克、克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克；         食物类别 营养素 猪小排 猪肉（瘦） 蛋白质（克） 脂肪（克） (2)按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共，已知每克青椒与包菜分别含有、的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？ 【答案】(1)该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克、克 (2)青椒与包菜的质量分别为克、克时，该菜品膳食纤维的含量最高 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设青椒的质量为克，则包菜的质量为克，该菜品膳食纤维的含量为，列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克，根据题意得， 解得： 答：该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克、克； （2）解：设青椒的质量为克，则包菜的质量为克，该菜品膳食纤维的含量为，依题意， 依题意， 解得： ∵ ∴当时，取得最大值， ∴，即青椒与包菜的质量分别为克、克时，该菜品膳食纤维的含量最高 【变式10-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． 【变式10-3】（2024·山东日照·二模）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，现这家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍副，乒乓球盒（不少于盒）．则应付款（元）与乒乓球盒数（盒）的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道销售问题的试题，赋予了现实的生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．考查了一次函数的解析式解实际问题的运用及自变量的取值范围．根据商店规定每买副乒乓球拍赠盒乒乓球，所以从而就可以求出结论． 【详解】解：由题意得， 故选C． 2．“千里游学，古已有之”，两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为元，每位学生的费用为元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意确定一次函数解析式是解题的关键． 依题意得，，整理作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：C． 3．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系.如图，由图中给出的信息，预测营销人员销售2万件时的收入是（　　） A．3100元 B．13000元 C．12900元 D．28000元 【答案】B 【解析】略 4．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．轮船的速度为km/h B．轮船比快艇先出发 C．快艇的速度为km/h D．快艇比轮船早到 【答案】C 【分析】观察图象可知，该函数图象表示的是路程与时间的函数关系，依据图象中的数据进行计算即可． 【详解】A．轮船的速度为=20千米时，故本选项正确； B．轮船比快艇先出发2小时，故本选项正确； C．快艇的速度为=40千米时，故本选项错误； D．快艇比轮船早到2小时，故本选项正确； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的运用、行程问题的数量关系的运用，解题时分析函数图象提供的信息是关键． 5．甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 【答案】C 【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确． 乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确． 设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误． 乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 6．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解． 【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴， 解得，， ∴的解析式为， 由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为， ∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意； B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意； C、∵， ∴聪聪的速度为，正确，不符合题意； D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， 当时，， ∴， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∵, ∴D选项不正确，符合题意 ； 故选：D ． 二、填空题 7．某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3公里时收费12元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，等量关系式：乘车费元超过3公里的车费，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ； 故答案：． 8．某人开车由运城出发前往的目的地太原，车速为时，则他距太原的路程与行驶的时间x小时之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，他距太原的路程于行驶的时间x小时之间的关系式为：，根据两地相距，减去汽车行走的路程即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案， 方案一：办理月卡，并单次打折； 方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得两个函数的解析式，再根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：由题意设方案一的函数解析式为；方案二的函数解析式为； ∴，， 解得，， ∴，， ①，∴方案一办理月卡120元，每健身一次打六折的说法正确； ②，∴方案二没有办理月卡，每健身一次打九折的说法正确； ③当时，，，， ∴健身4次，方案一的费用比方案二多95元的说法不正确； ④当时，，， ∴每月健身20次，两种方案费用相同的说法正确． 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 10．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论： ①A，B两村相距； ②小明每小时比小红多骑行8 ； ③两人相距4 时h或2h； ④图中． 其中正确的是 ．（填字号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求一次函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．由图象可得，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，即可判断①；小明的速度为：，小红的速度为：即可判断②；由小明是匀速骑行，可得，即可判断④；设，，分别求出相应的解析式，分类讨论当小明未到B村时，他们相距4km，和当小明到B村之后，他们相距4km，两种情况，即可判断③； 【详解】解：由图象可得， ∵l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系， ∴当，A，B两村相距；故①正确，符合题意； 由题意可知： 小明的速度为：，小红的速度为：， 则小明每小时比小红多骑行，故②正确，符合题意； ∵小明是匀速骑行， ∴，故④错误，不符合题意； 设， 把和分别代入，得 解得 则， 设， 把代入， 得， 解得， ∴， 当小明未到B村时，他们相距4km，则， 解得（舍去）， 当小明到B村之后，他们相距4km， ∴， 解得或， 综上：两人相距4km时h或2h；，故③是正确的， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1)； (2)这个月该户用了11吨水． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可； （2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 与x的函数关系式为． （2）， 该户居民用了超过6吨水， 当时，， 解得：， 答：这个月该户用了11吨水． 12．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：目的地距离学校千米， 小车出发去目的地的行驶速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当时，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 行驶时间为或或， 故答案为：或或 13．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元 (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元，由题意得， 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， 获利， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当，取最大值，最大值为， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 14．为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， (2)购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法分段求解即可； （2）购买乙型号足球a个，则购买甲型号足球个，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 把点代入得：，解得：． 当时，； 当时，设函数解析式为， 把点代入得：， 解得， 综上所述，当时，，当时，； （2）解：购买乙型号足球个，则购买甲型号足球个， ， ， 随的增大而减小， 当时，最小， 此时元， 个， 答：购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元． 15．A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 【答案】(1)，； (2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨；  B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨，然后根据题意写出与x之间的函数关系式； （2）先根据城运往两乡的总运费不低于4200元求出的取值范围，再根据总费用 列出函数解析式，由函数的性质求最小值； 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨， ∴， ， ∴与x之间的函数关系式为：， 与x之间的函数关系式为： ； （2）解：依题意， 解得：， 设两城总费用和为元，则 ， ∴随着x的增大而减小， ∴当时， 此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 能力提升 一、单选题 1．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】剩余量=原有油量工作时间内耗油量，把相关数值代入即可． 【详解】由题意得，每小时耗油5升，则工作时内耗油量为 剩余油量 故选D． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，得到剩余油量的关系式是解题的关键． 2．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（   ）    A．17000无 B．18000元 C．19000元 D．20000元 【答案】C 【分析】设y与x的函数关系式为，由图可知，函数经过点和点，列方程组求解，即可求得函数关系式；当时，代入函数关系式计算即可求得收入． 【详解】设所求的函数关系式为：， ∵函数图象过和两点， 根据题意得：， 解得． ∴所求的函数关系式为． 当时，， ∴营销人员月销售3万件的收入是19000元． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能够运用待定系数法准确求出一次函数的关系式． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间关系如下： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法中，正确的是（    ） A．弹簧不挂重物时长度为0cm B．弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3.5kg C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为15cm 【答案】C 【分析】观察表格分析数据，再通过逐一判断A、B、C、D四个选项进行选择． 【详解】解：A、通过观察表格弹簧不挂重物时长度为10cm，故选项A错误； B、通过观察表格弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3kg，故选项B错误； C、通过观察表格在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故选项C正确； D、观察表格分析数据，得到y = 0.5x +10，所挂物体质量为10kg时，y=0.5×10+10= 15，没有说在弹簧的允许范围内，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，能够正确理解表格并分析数据是本题解题关键． 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据图示，可得小丽用元去购买该种水果，数量应超过，应根据点，运用待定系数法求出解析式，即求解． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵小丽用元去购买该种水果， ∴小丽购买的水果数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵小丽用元去购买该种水果， ∴， 解得，， ∴她购买的数量为， 故选：D ． 5．小李计划通过社会实践活动赚钱买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了之后，余下的打七五折全部售完，若销售金额（元）与售出西瓜的数量之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．降价后西瓜的单价为2元/千克 B．小李一共进了西瓜 C．小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元 【答案】C 【分析】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，关键是根据y与x的函数关系式解答．先设售价为元，可得出函数解析式，把已知坐标代入解析式可得的值，根据余下的打七五折得出余下西瓜的售价，再根据图就能得出总利润和总共进的西瓜数量. 【详解】解：设售价为元，根据题意可得出函数解析式 根据图可知销售40千克时，销售金额为80元， ∴ 解得：，即降价前的售价是每千克2元，故A选项错误； ∵余下的打七五折全部售完 ∴余下的价格为：（元） ∴降价前的单价比降价后的单价多（元），故D选项错误； ∴降价后销售的西瓜为：（千克） ∴总共的西瓜是：（千克） ∴广宇一共进了千克西瓜，故B选项错误； ∴总的利润是：（元）， ∵， ∴小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书，故C选项正确. 故选：C． 6．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；根据可知，点时二人之间的距离最大，利用路程速度时间，计算二人的路程之差即可判断；由可知，点表示哥哥已经到达学校，利用路程速度时间求出点时哥哥骑行的路程即可判断；设坐标，利用弟弟在段和段的路程速度时间列关于和的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出的函数表达式即可判断；掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：、∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴点表示哥哥已经到达学校， ∴原选项正确，不符合题意； 、哥哥与弟弟相距的最大距离是（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、他们家与学校之间的距离为（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、设坐标， 根据题意，得， 解得， 设的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为， ∴原选项错误，符合题意， 故选：． 二、填空题 7．某山地地区地面气温为，海拔每升高气温下降．该地区海拔处的气温为，则与的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到所求量的等量关系． 所求的某地的气温 地面气温升高千米下降的气温，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：高度相对于地面增加了千米，那么气温将减少， ． 故答案为：． 8．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过2千克，收费10元；超过2千克的部分每千克加收2元．小丽在该快递公司寄一件5千克的物品，需要付费 元． 【答案】16 【分析】根据收费标准，这是一个分段函数，为：，代值求解即可． 【详解】解：设物品重量为千克，收费为元，则得， 小丽在该快递公司寄一件5千克的物品，， 需要付费：10+（5﹣2）×2＝10+3×2＝10+6＝16（元）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查分段函数求值问题，关键是根据题意准确得出分段函数表达式． 9．小卖部从批发市场购进一批李子，在销售了部分李子之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完．销售金额（元）与李子销售量（千克）之间的关系如图所示．若销售这批李子一共赢利220元，那么这批李子的进价是 元．    【答案】10 【分析】观察函数图象，利用单价＝总价÷数量及数量＝总价÷单价，可分别求出李子的原价及降价后销售的数量，设这批李子的进价是x元/千克，根据利润＝销售收入−成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】李子的原价为600÷40＝15（元/千克）， 降价后销售的数量为（720﹣600）÷（15﹣3）＝10（千克）． 设这批李子的进价是x元/千克， 依题意，得：720﹣（40+10）x＝220， 解得：x＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．甲乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B地，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速返回A地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y千米与甲开车行驶的时间x小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B地时，乙离B地的距离是 ． 【答案】40 【分析】结合题意分析函数图象：线段OC对应甲乙同时从A地出发到A返回前的过程，此过程为1小时；线段CD对应甲返回走到与乙相遇的过程（即甲的速度大于乙的速度）；线段DE对应甲与乙相遇后继续返回走至到达A地的过程，因为速度相同，所以甲去和回所用时间相同，即x＝2时，甲回到A地，此时甲乙相距120km，即乙2小时行驶120千米；线段EF对应甲从A地重新出发到追上乙的过程，即甲用（5﹣2）小时的时间追上乙，可列方程求出甲此时的速度，进而求出甲到达B地的时刻，再求出此时乙所行驶的路程． 【详解】解：∵甲出发到返回用时1小时，返回后速度不变， ∴返回到A地的时刻为x＝2，此时y＝120， ∴乙的速度为60千米/时， 设甲重新出发后的速度为v千米/时，列得方程： （5﹣2）（v﹣60）＝120， 解得：v＝100， 设甲在第t小时到达B地，列得方程： 100（t﹣2）＝400 解得：t＝6， ∴此时乙行驶的路程为：60×6＝360（千米）， 乙离B地距离为：400﹣360＝40（千米）． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系． 三、解答题 11．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上的物体后，弹簧伸长， ∵弹簧不挂重物时长， ∴弹簧总长． 12．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数（如图）． (1)请直接写出y关于x的函数表达式_________． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元 【分析】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润总销售额总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ，． 函数图象开口向下，对称轴是直线． ，此时随的增大而增大， 当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元． 13．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 14．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车，请根据图象解答下列问题： (1)求货车的平均速度？ (2)轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ (3)若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ (4)轿车追上货车时，两车距甲地多少千米？ 【答案】(1)60千米小时 (2)30千米 (3)货车行驶1.5小时轿车开始行驶 (4)234千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，正确理解题意，读懂图象是解题的关键． （1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米时； （2）根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：千米； （3）令，求出的值即可； （4）设段的函数解析式为，将，两点的坐标代入，运用待定系数法求出段的函数解析式，由货车的平均速度得线段对应的函数解析式为，联立函数解析式，求出相遇时间即可解决问题． 【详解】（1）解：根据图象信息：货车的速度（千米小时）． 答：货车的平均速度是60千米小时； （2）解：轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时， 轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米）， 可得到货车距乙地的路程为：（千米）． 答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； （3）解：当时，， 解得：， 答：货车行驶1.5小时轿车开始行驶； （4）解：设段函数解析式为． ，在其图象上， ， 解得， 段函数解析式：． ∵货车的平均速度是60千米小时 ∴线段对应的函数解析式为， 则 解得：， ∴（千米）， 答：轿车追上货车时，两车距甲地234千米． 15．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． $$