第10讲 一次函数的图像与性质（讲练）（思维导图+5考点+2命题点6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质（5~10分） （思维导图+5考点+2命题点8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正比例函数 考点二 一次函数的图像 考点三 一次函数的平移 考点四 一次函数的性质 考点五 比较函数值的大小 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数性质 ►题型01 一次函数综合题 ►题型02 一次函数最值问题 ►题型03 一次函数规律性问题 ►题型04 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 ►题型02 一次函数与一元一次不等式 ►题型03 一次函数与一元一次不等式组 ►题型04 一次函数与二元一次方程组 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 2024省卷21题， 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 考点一 正比例函数 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 【例1】．（2023·山东德州·二模）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】．（2022·山东济南·一模）已知函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【变式1-2】．（2021·山东临沂·二模）正比例函数y=（k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1 【变式1-3】．（2022·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，直线经过点，和，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点二 一次函数的图像 一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 【例2】．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2022·山东淄博·二模）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B． C．D． 【变式2-3】．（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点三 一次函数的平移 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 【例3】．（2024·山东临沂·模拟预测）将直线向左平移2个单位所得直线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东济南·一模）将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-2】．（2023·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式3-3】．（2023·山东德州·二模）将直线向上平移2个单位，相当于（    ） A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位 考点四 一次函数的性质 一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【例4】．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【变式4-1】．（2024·山东德州·二模）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而增大 【变式4-2】．（2022·山东德州·中考真题）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【变式4-3】．（2021·山东济南·二模）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是(   ) A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0) C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 考点五 比较函数值的大小 一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 【例5】．（2022·山东泰安·一模）一次函数的图像过点，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（2022·山东菏泽·二模）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式5-2】．（2022·山东青岛·二模）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 【变式5-3】．（2024·山东临沂·二模）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 1对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 2. 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的性质 ►题型01 一次函数综合题 【例1】．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】．（2022·山东德州·二模）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】．（2021·山东临沂·一模）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是（　　） ①y2随x的增大而减小；②3k+b＝3+a；③当x＜3时，y1＜y2； ④当x＞3时，y1＜y2． A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-3】．（2023·山东青岛·一模）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的有（    ）    ①随x的增大而减小；    ②函数的图象不经过第二象限； ③；        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型02 一次函数最值问题 【例2】．（2023·山东泰安·一模）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．1 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式2-2】．（2021·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【变式2-3】．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（     ） A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，） ►题型03 一次函数规律性问题 【例3】．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东日照·一模）如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】．（2021·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2022·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ►题型04 一次函数与几何综合 【例4】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2022·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6），直线y=kx+3k将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则k的值是（ ）. A． B． C．- D．﹣ 【变式4-3】．（2021·山东济宁·一模）如图，P点的坐标为（3，2），过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A，B两点，作PM⊥x轴于M点，作PN⊥y轴于N点，若△PAM的面积与△PBN的面积的比为，则直线AB的解析式为（　　） A．y＝x+6 B．y＝x+5 C．y＝﹣x+6 D．y＝﹣x+5 命题点二 一次函数与方程不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 【例1】．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ） A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15 【变式1-1】．（2022·山东临沂·一模）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·山东德州·二模）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2021·山东青岛·二模）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 【例2】．（2024·山东临沂·三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2021·山东德州·二模）已知直线与直线 交于点 P．若点P的横坐标为2，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2022·山东滨州·二模）如图，一次函数的图象经过，两点，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2023·山东德州·二模）函数（、为常数，）的图象如图，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ►题型03 一次函数与一元一次不等式组 【例3】．（2023·山东枣庄·二模）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2021·山东潍坊·二模）如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2023·山东临沂·二模）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【变式3-3】．（2023·山东潍坊·二模）如图，直线y1=kx+b过点A(0,2)，且与直线y2=mx交于点P(1,m)，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． ►题型04 一次函数与二元一次方程组 【例4】．（2022·山东淄博·二模）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2021·山东聊城·二模）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2021·山东青岛·二模）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．（2022·山东德州·二模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）    A． B． C． D． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 3．下列各点中，函数的图象一定经过的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 二、填空题 7．若关于的函数是一次函数，则的值为 ． 8．将直线向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 9．已知一次函数和的图象交点坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 10．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为 ，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ．    三、解答题 11．已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 12．已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)根据图象，直接写出当时的取值范围． 13．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 14．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 15．如图，直线l：y＝x+与两坐标轴分别交于A、B两点，点M为线段AB的中点， (1)求A、B、M的坐标； (2)直线l关于y轴对称的直线为l'，写出直线l'的解析式； (3)若直线l'交x轴于点C，直线MC与y轴的交点为N，连接OM，求． 能力提升 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．对于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象一定不过原点 B．当时，函数图象不经过第一象限 C．当时函数图象经过点 D．点和均在函数图象上，则 3．关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 8．将直线向下平移2个单位长度，得到的函数表达式为 ． 9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 10．如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 三、解答题 11．已知，当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 12．已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________； (3)把直线向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________； 13．如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 14．如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． $$第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质（5~10分） （思维导图+5考点+2命题点8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正比例函数 考点二 一次函数的图像 考点三 一次函数的平移 考点四 一次函数的性质 考点五 比较函数值的大小 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数性质 ►题型01 一次函数综合题 ►题型02 一次函数最值问题 ►题型03 一次函数规律性问题 ►题型04 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 ►题型02 一次函数与一元一次不等式 ►题型03 一次函数与一元一次不等式组 ►题型04 一次函数与二元一次方程组 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 2024省卷21题， 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 考点一 正比例函数 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 【例1】．（2023·山东德州·二模）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 【变式1-1】．（2022·山东济南·一模）已知函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【答案】B 【详解】解：函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴m2﹣3=1，m+1＜0， 解得：m=±2，而2+1>0 则m的值是﹣2． 故选：B． 【变式1-2】．（2021·山东临沂·二模）正比例函数y=（k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数 y=（k+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴k+1＜0， 解得，k＜-1； 故选D． 【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 【变式1-3】．（2022·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，直线经过点，和，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式，求函数值等，求出关系式是解题的关键．本题也可以先判断正比例函数图象的性质，再比较即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， 即：，则， ∴函数关系式为． ∵点和点在该函数图象上， ∴，， ∴． 故选：B． 考点二 一次函数的图像 一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 【例2】．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况． 【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限． 观察选项只有D选项符合． 故选D 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键． 【变式2-1】．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵m＜﹣2， ∴m+1＜0，1﹣m＞0， 所以一次函数的图象经过一，二，四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ． 【变式2-2】．（2022·山东淄博·二模）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B不可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C不可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D不可能，不符合题意； 故选：A． 【变式2-3】．（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据一次函数图象的性质分别根据，和进行判断即可． 【详解】解：当时，，，， ∴的图象经过二、三、四象限，的图象经过一、三、四象限， 故可能的图象为：C， 当时，，，， ∴的图象经过一、二、四象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合要求的选项； 当时，，，， ∴的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、二、四象限，没有符合要求的选项； 故选：C． 考点三 一次函数的平移 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 【例3】．（2024·山东临沂·模拟预测）将直线向左平移2个单位所得直线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向左平移2个单位， 所得直线的解析式为， 即， 故选：D. 【变式3-1】．（2022·山东济南·一模）将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及正比例函数的定义，熟知函数图象“左加右减，上加下减”的平移法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移个单位后得到一个正比例函数， 即， ， 则m的值为2． 故选：A． 【变式3-2】．（2023·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出平移后的直线解析式，再根据平移后的直线经过点即可利用待定系数法求出答案． 【详解】解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出平移后的一次函数解析式是解题的关键． 【变式3-3】．（2023·山东德州·二模）将直线向上平移2个单位，相当于（    ） A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位 【答案】B 【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为： 直线向左平移2个单位，可得 故A不符合题意； 直线向左平移1个单位，可得 故B符合题意； 直线向右平移2个单位，可得 故C不符合题意； 直线向右平移1个单位，可得 故D不符合题意； 故选B 考点四 一次函数的性质 一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【例4】．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 【变式4-1】．（2024·山东德州·二模）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的图象与性质．将直线向下平移3个单位长度后得到直线，对于直线经过一、三、四象限，与轴交于，与轴交于，随的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线 A.直线经过一、三、四象限，此项不符合题意； B.直线与轴交于，此项不符合题意； C.直线与轴交于，此项不符合题意； D.直线中，故随的增大而增大，此项符合题意． 故选：D． 【变式4-2】．（2022·山东德州·中考真题）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【答案】D 【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意； C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息． 【变式4-3】．（2021·山东济南·二模）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是(   ) A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0) C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的几何变换进行判断． 【详解】解：A、k＝﹣2，b＝4，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，不符合题意； B、函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，不符合题意； D、若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＜x2，则y2＜y1，符合题意； 故选D． 考点五 比较函数值的大小 一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 【例5】．（2022·山东泰安·一模）一次函数的图像过点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性求解即可． 本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】， ∴y随x增大而减小， ， ， 即， 故选：A． 【变式5-1】．（2022·山东菏泽·二模）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】首先根据得到随的增大而减小，进而判断即可． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又∵点，点是一次函数图象上的两个点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”． 【变式5-2】．（2022·山东青岛·二模）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 【变式5-3】．（2024·山东临沂·二模）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性加以判断即可． 【详解】解：一次函数中， ， 随的增大而增大， ， ， 故选：A． 1对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 2. 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的性质 ►题型01 一次函数综合题 【例1】．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【变式1-1】．（2022·山东德州·二模）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数而言，随的增大而减小， ，结论①正确； 一次函数与轴的交点位于轴负半轴， ，结论②错误； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则，结论③错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 【变式1-2】．（2021·山东临沂·一模）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是（　　） ①y2随x的增大而减小；②3k+b＝3+a；③当x＜3时，y1＜y2； ④当x＞3时，y1＜y2． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据图像逐项分析即可. 【详解】对于y2＝x+a，y2随x的增大而增大，所以①错误； ∵x＝3时，y1＝y2， ∴3k+b＝3+a，所以②正确； 当x＜3时，y1＞y2；所以③错误； 当x＞3时，y1＜y2；所以④正确． 故选B． 【变式1-3】．（2023·山东青岛·一模）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的有（    ）    ①随x的增大而减小；    ②函数的图象不经过第二象限； ③；        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象和即可判断①②；把和代入与即可判断③④． 【详解】解：由图象可得：随x的增大而减小，故①正确； 由图象可得：， ∴经过一、三、四象限，故②正确； 当时，，， 由图象可得：当时，，即，故，故③正确； 当时，，， 由图象可得：当时，，， ∴ ∴，故④正确； 正确的有①②③④，共4个， 故选：D． ►题型02 一次函数最值问题 【例2】．（2023·山东泰安·一模）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值． 【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小    当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ，点的坐标为． 又点的坐标为， ， ． 故选：D． 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求． 【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴OA=OD=2， ∴OE=AE=1， ∴， ∴点D的坐标为； ∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形， ∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°， ∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD， ∴△BAO≌△PAD（SAS）， ∴∠PDA=∠BOA=90°， ∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合， ∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP， ∴AO=PO=2， ∴此时点P的坐标为（0，-2）， 设直线PD的解析式为， ∴， ∴， ∴直线PD的解析式为； 如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H， ∴点H的坐标为， ∴， ∴∠OCH=30°， ∴， 由轴对称的性质可知AP=GP， ∴， ∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°， ∴AD=GD，即点D为AG的中点， ∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为， ∴AG=2AD=2OA=4， ∵AC=4，∠CAG=60°， ∴△ACG是等边三角形， ∵OC=OA， ∴OG⊥AC，即点G在x轴上， ∴由勾股定理得， ∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长， ∴的最小值为， 故选：C． 【变式2-2】．（2021·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【变式2-3】．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（     ） A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，） 【答案】D 【分析】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标． 【详解】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点 ∵直线AB的解析式为 ∴直线的解析式为 由 解得 ∴直线AB与直线的交点坐标为 ∵K是线段的中点 ∴ 连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小 设直线DE的解析式为 可得 解得 ∴直线DE的解析式为 联立直线DE和直线直线可得 解得 ∴点D的坐标为 故答案为：D． ►题型03 一次函数规律性问题 【例3】．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形性质，解答本题的关键是寻找点的坐标规律．利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，，的坐标，然后找到点坐标的变化规律，即可求出的纵坐标． 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，是等边三角形， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理 ，，， ， ∴的纵坐标是． 故选：D． 【变式3-1】．（2022·山东日照·一模）如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，首先根据勾股定理和含角直角三角形的性质得到，，进而求出点，，的坐标，然后求出点的坐标，然后结合图象的性质找到点的坐标和点的坐标的关系求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴，    ∵点都在直线上， ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，都是以为直角顶点的三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴同理可得，，即 ，即 … ∴，即 由图象可得，点的横坐标和点的横坐标相同 ∴点的横坐标为； 点的纵坐标为点的纵坐标加上的长度，即的长度 ∴点的纵坐标为 ∴点的坐标为． 故选：D． ． 【变式3-2】．（2021·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解． 【详解】∵、…都是等边三角形， ∴, ∵直线与轴的成角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，…，， ∴，，…，， 易得，…，， ∴，，…，， ∴，，…，； 故选：D． 【变式3-3】．（2022·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【详解】解：过点作M⊥x轴于M，如图所示： 将代入直线解析式中得， ∴，45°， ∵90°， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标为（2，0）， 同理可以求出的坐标为（4，0）， 同理可以求出的坐标为（8，0）， 同理可以求出的坐标为（，0）， ∴的坐标为（，0），故B正确． 故选：B． ►题型04 一次函数与几何综合 【例4】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 【变式4-1】．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解． 【详解】解： 四边形的周长 ， 是定值， 所以四边形的周长最小，则最小， 如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则 则 作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小， 设的解析式为： 解得： 所以的解析式为： 令 则 则 即 故选C 【变式4-2】．（2022·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6），直线y=kx+3k将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则k的值是（ ）. A． B． C．- D．﹣ 【答案】A 【分析】经过平行四边形对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，故先求出对角线的交点坐标，再代入直线解析式求解． 【详解】解：如图，连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F， ∵四边形ABCO为平行四边形，B的坐标为（4，6），∴ME=BF=3，OE=OF=2，∴点M的坐标为（2，3），∵直线y=kx+3k将▱ABCO分割成面积相等的两部分，∴该直线过点M，∴3=2k+3k，∴k=． 故选A． 【变式4-3】．（2021·山东济宁·一模）如图，P点的坐标为（3，2），过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A，B两点，作PM⊥x轴于M点，作PN⊥y轴于N点，若△PAM的面积与△PBN的面积的比为，则直线AB的解析式为（　　） A．y＝x+6 B．y＝x+5 C．y＝﹣x+6 D．y＝﹣x+5 【答案】D 【分析】求出△PMA∽△BNP，根据相似三角形的性质求出BN和AM长，求出A、B的坐标，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把A、B的坐标代入求出k、b值，即可得出答案． 【详解】∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠BNP＝∠PMA＝90°，PN x轴， ∴∠BPN＝∠PAO， ∴△PMA∽△BNP， ∵△PAM的面积与△PBN的面积的比为， ∴ ， ∵P（3，2）， ∴PN＝3，PM＝2， ∴AM＝2，BN＝3， ∴AO=5，BO=5， ∴A（5，0），B（0，5）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A、B的坐标代入得： ， 解得 ， 即直线AB的解析式为y＝﹣x+5． 故选：D． 命题点二 一次函数与方程不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 【例1】．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ） A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15 【答案】A 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：由图可知： 直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25）， ∴方程x+5=ax+b的解为x=20． 故选：A． 【变式1-1】．（2022·山东临沂·一模）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是理解两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解． 【变式1-2】．（2022·山东德州·二模）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0， ∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【变式1-3】．（2021·山东青岛·二模）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案． 【详解】解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的， ∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0） ∴当y=0时，方程的解为x=3， 故选：C． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 【例2】．（2024·山东临沂·三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先画出的图象，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：的图象如图所示， ， ∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，的取值范围为， 故选：C． 【变式2-1】．（2021·山东德州·二模）已知直线与直线 交于点 P．若点P的横坐标为2，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据交点的横坐标为2，可得，得到，代入解不等式即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点P，若点P的横坐标为2， ∴当时，，整理得到， ∴代入， 解得， 故选：D． 【变式2-2】．（2022·山东滨州·二模）如图，一次函数的图象经过，两点，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在直线上方时的取值范围，根据一次函数的图象可知的解集是． 【变式2-3】．（2023·山东德州·二模）函数（、为常数，）的图象如图，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．直接利用图象得出答案． 【详解】解：如题图所示：不等式的解集为：． 故选：D ►题型03 一次函数与一元一次不等式组 【例3】．（2023·山东枣庄·二模）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解答该题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的解集问题．根据图象，当时，直线在轴的下方，且在直线的上方，据此即可求得不等式的解集为点与点之间的横坐标的范围． 【详解】解：，， 观察图象，不等式的解集为， 故选：B． 【变式3-1】．（2021·山东潍坊·二模）如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：当时，， ∵一次函数图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选D． 【变式3-2】．（2023·山东临沂·二模）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【答案】A 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式3-3】．（2023·山东潍坊·二模）如图，直线y1=kx+b过点A(0,2)，且与直线y2=mx交于点P(1,m)，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于一次函数y1同时经过A、P两点，可将它们的坐标分别代入y1的解析式中，即可求得k、b与m的关系，将其代入所求不等式组中，即可求得不等式的解集． 【详解】由于直线y1=kx+b过点A(0,2),P(1,m)， 则有： 解得 . ∴直线y1=(m−2)x+2. 故所求不等式组可化为： mx>(m−2)x+2>mx−2， 不等号两边同时减去mx得，0>−2x+2>−2， 解得：1<x<2， 故选A. ►题型04 一次函数与二元一次方程组 【例4】．（2022·山东淄博·二模）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为． 即：方程组的解为． 故选：A． 【变式4-1】．（2021·山东聊城·二模）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点的坐标是， 故关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C 【变式4-2】．（2021·山东青岛·二模）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于，的方程组可化为： 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：B 【变式4-3】．（2022·山东德州·二模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 【详解】解：将点代入得： ∴交点坐标为： 由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为 故选：B 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B是正比例函数，故本选项符合题意； C是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数． 2．在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．一次函数中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 3．下列各点中，函数的图象一定经过的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，在一次函数图象上的点一定满足其函数解析式，据此分别把四个坐标中的横坐标代入一次函数解析式求出对应的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，；当时，；当时，；当时，； ∴函数的图象一定经过的是， 故选：C． 4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 根据图象，找直线在上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为， 由知，直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， 关于的不等式的解集为． 故选：B． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 【答案】C 【分析】先求解一次函数与坐标轴的坐标，结合等腰三角形的性质可判定A，把代入可判断B，利用一次函数的增减性可判断C，由一次函数与不等式的关系结合图象可判断D，从而可得答案． 【详解】解：直线分别与x轴、y轴交于点A，C， 则，，即， ∴为等腰直角三角形，，A正确，不符合题意； 将代入可得，， 即函数图象过点，B正确；不符合题意； 当时，函数随的增大而减小， ∵， ∴，C错误；符合题意； 直线与直线相交于点，将代入可得，， 即， 由图象可得，在点的左侧，， 则不等式的解集为，D正确；不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，等腰三角形的性质，一次函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 二、填空题 7．若关于的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由一次函数的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴，． 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 8．将直线向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式． 【详解】解：将函数向下平移5个单位，根据数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，得： ． 故答案为：． 9．已知一次函数和的图象交点坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据两直线的交点即是方程组的解即可求解． 【详解】解：由题意得： 的解为， 即的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的综合，熟练掌握两直线的交点就是方程组的解是解题的关键． 10．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为 ，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点的坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，    ∴垂直平分 ∴， ∴最小， ∵，，点，分别是，的中点， ∴，，， ∴，即的长为定值， ∴当最小即点与点重合时，周长最小， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当点与点重合时即，周长最小． 故答案为：；． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定一次函数的解析式，最短路线问题，中位线定理和中点坐标公式．掌握最短路线问题中点的确定及求出直线的解析式是解题关键． 三、解答题 11．已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 【答案】(1)；(2)且. 【分析】(1)根据一次函数定义得到m−1≠0，易得m的值； (2)根据正比例函数定义得到m−1≠0且n=0，易得m,n的值. 【详解】解：(1)当该函数是一次函数时， . 当时，该函数是一次函数. (2)当该函数是正比例函数时, 且. 且，该函数是正比例函数. 【点睛】考查了正比例函数和一次函数的定义，熟记一次函数与正比例函数的一般形式即可解题，属于基础题． 12．已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出图象与轴和轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象； （2）观察函数图象，即可得解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 该函数的图象如图： （2）解：观察函数图象，可知：当时，． 13．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可． （2）根据（1）代入即可即解答． 【详解】（1）解：与成正比例， 设． 时，， ， ， ， 与之间的函数表达式为． （2）当时，， ． 14．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点把点代入可求出的值，令可求出点的坐标； （2）已知点，点的坐标，可知的底边长，高，由三角形的面积公式即可求解； （3）已知的面积为，的面积是的面积的，可求出的面积为，动点在直线上运动，设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴， 当，， ∴点的坐标为． （2）解：如图所示，过点作轴于，且，， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图所示，直线，即，动点在直线上运动，设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，点， 当时，点， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质和特点，掌握一次函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 15．如图，直线l：y＝x+与两坐标轴分别交于A、B两点，点M为线段AB的中点， (1)求A、B、M的坐标； (2)直线l关于y轴对称的直线为l'，写出直线l'的解析式； (3)若直线l'交x轴于点C，直线MC与y轴的交点为N，连接OM，求． 【答案】(1)A，B， (2) (3) 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点即可求得A、B的坐标，进而根据中点公式求得M点的坐标；（2）求得点B关于y轴的对称点，然后根据待定系数法即可求得；（3）过M作轴于D，通过勾股定理求得OM的长，再利用待定系数法求得MC的解析式，从而求得与y轴的交点N的坐标，即可得到的值． 【详解】（1）在直线的解析式中， 令，得，令，得， 故点A、B的坐标分别为、；         点M为线段的中点，； （2）直线与l关于y轴对称，设直线交x轴于点C， 则点C与B关于y轴对称，即， 直线过点，可设直线的解析式为， 由直线过点，，， 即函数解析式为：； （3）如图，过M作轴于D，在中，由勾股定理有： ，      又设直线的解析式为， 则解方程组得， 直线的解析式为， 直线的与y轴的交点为，          ．          能力提升 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，符合题意； C．不是一次函数，不符合题意； D．不是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握：形如，这样的函数叫一次函数是解题的关键． 2．对于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象一定不过原点 B．当时，函数图象不经过第一象限 C．当时函数图象经过点 D．点和均在函数图象上，则 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：A、当时，函数图象一定过原点，选项错误，不符合题意； B、时，，经过二、三、四象限，不经过第一象限，正确，符合题意； C、当时，， 当时，，不经过点，选项错误，不符合题意； D、和均在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 当时，，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 3．关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第二、三、四象限，没有选项符合要求； 故选：B． 4．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一次函数为根据两直线平行的性质先求解的值，再根据与函数的图象交y轴于同一点，求解的值，从而可得答案． 【详解】解：设一次函数为 一次函数的图象与直线平行， 所以一次函数为 由可得函数与轴的交点为： 与函数的图象交y轴于同一点， 所以一次函数的解析式为： 故选A． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“利用待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意，求出的解集，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， 令，则；令，则； ∴点A为（4，0），点B为（0，4）， ∵点的坐标为，且点在的内部， ∴， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，图像上的点坐标适合解析式，以及解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握一次函数的图像和性质进行解题． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数图象的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标结合待定系数法求一次函数的解析式可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，可知的值随着值的增大而减小， 故①符合题意； 由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象过点和， 将和代入，得， 解得， 因此， 令，得， 解得， 因此方程的解为， 故③符合题意； 由一次函数的图象与y轴的交点在点的下方，可知当时，， 故④不符合题意； 综上：符合题意的有①②③，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 7．已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 8．将直线向下平移2个单位长度，得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，要注意求直线平移后的解析式时k的值不变，只有b发生变化． 上下平移时k值不变，b值是上加下减，依此求解即可． 【详解】解∶将直线向下平移2个单位长度，得到直线； 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 10．如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决问题的关键． 作出图形，分别以A、B为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：对于函数，令，则，令，则， ∴，， ∵点P在一次函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴， ， ， ①当点B是直角顶点，即时， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当点A是直角顶点，即时， ∵在中，， ∴， 解得： ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题 11．已知，当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数的函数值求解，注意计算的准确性即可. （1）根据当时，，即可求解； （2）将点代入函数解析式即可求解； 【详解】（1）解：∵当时，， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）知，一次函数的解析式为， ∵点是函数图象上的一点， ∴， 解得． 12．已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________； (3)把直线向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________； 【答案】(1)见解析 (2)函数图像的增减性，随的增大而增大 (3) 【分析】本题考查了一次函数图像及性质， （1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图像， （2）根据一次函数的性质即可求解， （3）根据一次函数的平移性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：函数图像的增减性，随的增大而增大， 故答案为：函数图像的增减性，y随x的增大而增大； （3）解：由一次函数的平移性质可知，把直线向下平移一个单位，得到，即， 故答案为：． 13．如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）解两个函数解析式组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点 得， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， 故点C的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组． 14．如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 【答案】(1) (2)E点的坐标为 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解． （2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为． （2）∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． $$