精品解析：海南省海口某校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级第一学期期末考试数学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 6. 如图，，，，，那么的值等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A B. C. D. 11. 某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长是（ ） A 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 若和是一元二次方程的两个的实数根，则______． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 15. 如图，为直径，弦于点，点在圆上，且，，交于点，则______，______． 三、解答题（本大题7道小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话： 求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 18. 海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 19. 赵州桥始建于隋朝（公元595年—605年），由匠师李春设计建造，距今已有1400余年，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.某数学小组利用无人机测量赵州桥的高度，如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量赵州桥高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方47米的P处，测得桥面正中心A的俯角为，测得C的俯角为（点C在过点A的水平线上）. 无人机位于水面上方47米的N处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动61米到达P处，测得点A的俯角为. （1）填空：根据以上数据判断，方案 不能求赵州桥的高度； （2）利用以上可行方案求赵州桥的高度．（结果保留1位小数，参考数据，，） 20. 如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，. （1）求证：： （2）已知，求的长． 21. 如图1，抛物线交x轴于和点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接，求四边形的面积； ②如图3，是否存在点M，使为直角三角形，若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作交边于点，连接交于点． （1）当时． ①求证：； ②求的值； （2）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第一学期期末考试数学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选： D． 4. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 由得，根据可得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则，解得：． 故选：A． 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 6. 如图，，，，，那么的值等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、是二次函数，故该选项符合题意； C、的右边不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选： B． 8. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 【详解】解：A、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里，，， △， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 9. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 10. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，， ，， ， 故选D． 11. 某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 12. 如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，含角直角三角形，相似三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据题意得出，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ，， , ， ， 故选：D ． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 若和是一元二次方程的两个的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个的实数根， ∴， 故答案为：． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 15. 如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，交于点，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，延长交于点，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，证明，得到，证明，得到，计算即可． 【详解】解：如图，连接，，并延长交与点， 为的直径，， ， 设， , ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①，②． 三、解答题（本大题7道小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值、实数的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值以及零指数幂，负整数指数幂、化简绝对值进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话： 求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 【答案】甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元， 根据题意得， 解得， 答：甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元． 18. 海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法和画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据条形统计图和条形统计图中的数据计算即可： （2）根据数据补全条形统计图即可； （3）先列表或画树状图，再根据表格或树状图中的信息求出概率即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 故答案为：， ； 【小问2详解】 解：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种， . 19. 赵州桥始建于隋朝（公元595年—605年），由匠师李春设计建造，距今已有1400余年，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整石拱桥.某数学小组利用无人机测量赵州桥的高度，如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量赵州桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方47米的P处，测得桥面正中心A的俯角为，测得C的俯角为（点C在过点A的水平线上）. 无人机位于水面上方47米的N处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动61米到达P处，测得点A的俯角为. （1）填空：根据以上数据判断，方案 不能求赵州桥的高度； （2）利用以上可行方案求赵州桥的高度．（结果保留1位小数，参考数据，，） 【答案】（1）一； （2）约7.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题目数据和图形，即可解答； （2）延长交于点C,根据题意可得:,米,设米,则米,然后在中,利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程,进行计算即可解答. 【小问1详解】 解：根据以上数据判断，方案一不能求赵州桥的高度； 故答案为：一； 【小问2详解】 解： 延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，, ,即， 解得， 答：赵州桥的高度约为7.2米． 20. 如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，. （1）求证：： （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定， （1）根据题意得出，对顶角，即可判断； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：，，. ，． ，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图1，抛物线交x轴于和点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接，求四边形的面积； ②如图3，是否存在点M，使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①6；②或 【解析】 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的图象及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把和代入抛物线的解析式即可求解； （2）①如图：先求得，，再根据运算三角形的面积公式和梯形的面积公式求解即可； ②设，结合、运用两点间距离公式可得，再分、、三种情况分别运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入抛物线的解析式得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①如图： ∵；， ∴当 时， ，即；对称轴为直线， ∴，； ∴ ． ②存在点M，使得为直角三角形，理由如下： 设， ∵， ∴， 当 时，则， ∴，解得：， ∴； 当时，， ∴，解得：， ∴； 当时，， ∴，整理得：， ∵， ∴该方程无解，这种情况不存在． 综上，点M的坐标为或． 22. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作交边于点，连接交于点． （1）当时． ①求证：； ②求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）①根据题意得到，，即可证明结论； ②延长交延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理计算即可； （2）先证明，再证明，计算即可求解． 【小问1详解】 ①证明：矩形中， ， ， ， ， ， ； ②延长交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 小问2详解】 解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$