精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 2. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角为钝角，得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】由题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率不存在；直线的斜率； 由倾斜角为钝角，得直线的斜率， 故选：B. 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4. 如图所示，已知四面体每条棱长都等于，点，，分别是，，的中点，则下列向量的数量积等于的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先判断相应向量的夹角，然后利用向量的数量积的定义化简各个式子即可判断 【详解】由条件可知，A不符合题意； ，B不符合题意； ，D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是准确判断各向量的夹角． 5. 圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出圆心坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心， 双曲线的渐近线，即 所以圆心到渐近线距离为. 故选：B 6. 已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得椭圆经过点，代入椭圆方程化简，利用将其化成关于齐次方程，即可求得椭圆离心率. 【详解】 如图，不妨设直线经过椭圆的右焦点，因垂直于轴，由图形对称性知，椭圆经过点， 代入椭圆方程可得，，整理得，， 把代入整理得，， 两边同除以，即得，，解得或， 因，故得，. 故选：C. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C正确； 由，所以D正确． 故选：BCD． 10. 如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与为异面直线 B. C. 与夹角的正弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接观察判断即可；对B，根据平面判断即可；对C，定义法求异面直线的夹角；对D，利用等体积法求解即可. 【详解】对于A，由图可得，三点共面，且点不在平面内，点不在直线上，所以与为异面直线，故A正确； 对于B，由正方体性质可得平面，又平面，故，故B正确； 对于C，连接，正方体中平面，平面，则， 又，得与夹角等于，，， 中，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 11. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最大值是 D. 的周长存在最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】求得椭圆的离心率判断选项A；求得线段长度的取值范围判断选项B；求得面积的最大值判断选项C；根据表达式结合参数范围判断的周长是否存在最大值. 【详解】由题意得半圆的方程为， 设半椭圆的方程为， 又，则，则半椭圆的方程为 则椭圆的离心率，故选项A判断正确； 直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点， 则线段长度的取值范围是.故选项B判断错误； 不妨设 则由，可得； 由，可得； 则 （当且仅当时等号成立） 故选项C判断正确； 的周长为 则在上单调递减， 则的周长不存在最大值.故选项D判断错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】由过点和的直线与斜率为2的直线平行，得，解得， 所以的值为1. 故答案为：1 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则__；__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过抛物线的焦点坐标，即可求解，利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解的面积． 【详解】解：抛物线的焦点为， 所以，所以p=2； 如图所示， 过点作，交直线于点，由抛物线的定义知，， 且， 所以，， 所以， 所以直线的斜率为； 设直线的方程为，点，， 由，消去整理得, 所以, 所以， 所以， 所以的面积为. 故答案为：；． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 16. 已知焦点位于x轴抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 17. 已知圆经过点，，并且圆心在直线上，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）求证：直线与圆恒有两个交点； （3）若直线与圆的交于，两点，求线段的长度的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设圆，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求参数，即得圆的方程； （2）首先确定直线所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可证； （3）由圆的性质及（2），讨论、直线过圆心确定线段的长度的最值，即可得范围. 【小问1详解】 设圆，则， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由，则， 所以直线恒过定点，而，即定点在圆内部， 所以直线与圆恒有两个交点. 【小问3详解】 由（2），当时，长度最小，而，故，即； 此时直线，则到的距离， 所以； 当直线过圆心时，长度最大为直径4； 所以线段的长度的取值范围是. 18. 如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. （1）证明：OP⊥平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，， 再利用线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论； （3）求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值的表达式，再求其范围. 【小问1详解】 证明：连接，∵，， ∴△是正三角形，∴， 同理可得，∴， ∵是的中点，∴， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴， ∴，则, ∵在平面内，∴平面 【小问2详解】 由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵，∴，而， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则 ，∴ . 取，则，，∴， ∴= ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 【小问3详解】 设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为 ∵当时，关于λ的函数单调递减 ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值 ∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时直线的方程为或； （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由短轴长求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）直线的斜率为0时，此时三点共线，舍去，当直线的斜率不为0时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出的面积为，利用基本不等式求出最值，并得到此时直线的方程； （3）由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简得到答案. 小问1详解】 由题意得，解得， 将代入椭圆方程，得到，故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为，此时直线的方程为或； 【小问3详解】 在x轴上存在点使得恒成立，理由如下： 因，所以，即， 整理得，即， 所以， 则，解得， 故在x轴上存在点，使得恒成立. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C. D. 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知四面体每条棱长都等于，点，，分别是，，的中点，则下列向量的数量积等于的是 A. B. C. D. 5. 圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 10. 如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与为异面直线 B. C. 与夹角的正弦值为 D. 三棱锥的体积为 11. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最大值是 D. 的周长存在最大值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为______. 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则__；__． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 16. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 17. 已知圆经过点，，并且圆心在直线上，直线的方程为． （1）求圆标准方程； （2）求证：直线与圆恒有两个交点； （3）若直线与圆的交于，两点，求线段的长度的取值范围． 18. 如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. （1）证明：OP⊥平面； （2）求二面角大小； （3）在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $