黄金卷01（江西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A． B．8 C． D． 6．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 8．年月，南昌市启动了“爱尚冬季·乐购洪城”百货商超消费券发放活动，投入超万元在冬季为市民送上实惠，激发市场活力．万元用科学记数法表示为 元． 9．若一元二次方程的两根分别为，则值为 ． 10．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组为 ． 11．小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形的边长为8，则图2中的值是 ． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    三、解答题：（本大题共11题，第13-17每题6分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题12分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．（1）计算：． （2）如图，是的中点，，．求证：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为对角线，作一个正方形； (2)在图2中，取格点，作，使． 16．化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： (1)若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； (2)小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 17．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 18．甘肃地震学生会向全校2000名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为____人，图①中 的值是______． (2)补全条形统计图． (3)本次调查获取的样本数据的众数是______元，中位数是______元． (4)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 19．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 20．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 21．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． (1)请求出y与x的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 22．如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． 23．（1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N． ①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ． 请你证明其中的一个猜想． （3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小的比较方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；（2）①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；②两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．利用有理数的大小比较方法比较，即可得出最小值． 【详解】解：因为， 故最小的数是， 故选：A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则分别判断各个选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 3．有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据简单几何体的三视图即可判定．正确把握观察的角度是解题关键． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 4．如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】该题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和定理得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A． B．8 C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是圆周角定理及其推论，解直角三角形相关计算，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟记解直角三角形相关计算是解题的关键．由圆周角定理可知，，然后根据锐角三角函数相关定义求出的长度． 【详解】解：连接， 由圆周角定理得，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 8．年月，南昌市启动了“爱尚冬季·乐购洪城”百货商超消费券发放活动，投入超万元在冬季为市民送上实惠，激发市场活力．万元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则．先将万化为，再求即可． 【详解】解：万， ， 故答案为：． 9．若一元二次方程的两根分别为，则值为 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 10．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲有羊只，乙有羊只，根据如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只． ∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ， ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ， 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 11．小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形的边长为8，则图2中的值是 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出②④⑥⑦的高．根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴②的斜边上的高是，④的高是，⑥的斜边上的高是，⑦的斜边上的高是， ∴图2中h的值为． 故答案为：． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底，则， ∴， ∴P的坐标为； 以和为腰，为底， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴， ∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点， ∴， ∴P的坐标为，    综上所述，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题：（本大题共11题，第13-17每题6分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题12分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．（1）计算：． （2）如图，是的中点，，．求证：． 【答案】（1）2 （2）见解析 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、用SSS证明三角形全等（SSS）、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，全等三角形的判定，熟练掌握零指数幂和特殊角的三角函数值，全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂，并把特殊角的三角函数值代入，再计算减法即可； （2）由中点定义可得，然后用定理证明即可． 【详解】（1） 解： ； （2）证明∶是的中点， 在和中， ． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查零次幂，负指数幂，分式的化简求值，掌握分式的性质化简，实数的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的性质化简计算，再根据零次幂，负指数幂的计算得到，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 15．如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为对角线，作一个正方形； (2)在图2中，取格点，作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明四边形是正方形、求角的正弦值 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键． （1）格点向上3个格点，向右1个格点为，格点向下1个格点，向右3个格点为，连接，连接则，且互相平分，连接，则四边形是正方形； （2）记中点为，格点向下1个格点，向右3个格点为，连接，则，，，，格点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，正方形即为所求； （2）解：如图2，格点即为所求； 16．化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： (1)若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； (2)小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． （2）解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 17．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】求反比例函数解析式、最短路径问题、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 18．甘肃地震学生会向全校2000名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为____人，图①中 的值是______． (2)补全条形统计图． (3)本次调查获取的样本数据的众数是______元，中位数是______元． (4)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】(1)、 (2)见解析 (3)10，15 (4)640 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数 【分析】（1）由元的人数及其所占百分比可得总人数，用元人数除以总人数可得m的值； （2）总人数乘以元对应百分比可得其人数，据此可补全图形； （3）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （4）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数． 【详解】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为人． ∵ ∴ ． 故答案为、； （2）捐款元的人数为， 补全图形如下： （3）本次调查获取的样本数据的最多的是10，故众数是：元， 本次调查获取的样本数据的中位数是：元； （4）估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数为人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线； （2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】正多边形的外角问题、证明四边形是平行四边形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【详解】（1）∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 21．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． (1)请求出y与x的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法等知识，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①根据总利润=每件产品利润×数量，列出二次函数表达式；②利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， 解得， 所以，y与x的函数关系式为 （2）解：① ② 当在范围内，w取到最大，最大值为242 答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元． 22．如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)；； 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，则，即可得解； （2）①根据中点坐标公式计算即可得出答案；②根据中点坐标公式计算即可得出答案；③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，临界点为直线线与，有一个交点，联立方程解之即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线， 令，则，； （2）解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为， ∴， ∴的中点的坐标为， 设，则， ； 同理可得，的坐标为， ∴； 的坐标为， ∴； ……， ∴的坐标为， ； 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ……， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，中点坐标公式，抛物线与直线的交点等相关问题，关键是掌握重点坐标公式． 23．（1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N． ①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ． 请你证明其中的一个猜想． （3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）① ；② （2）①，② ，证明见解析 （3） 【知识点】利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】（1）证明，得出，即可得出结论； （2）如图2，连接，将绕点O 顺时针旋转得到，证明，即可得出结论； （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得，证明，得到出，从而得到，再证明，得到，然后由正弦三角函数得到，即可得求解． 【详解】解：（1）①． ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：． （2）①．②． 证明：如图2，连接． ∵四边形和四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴O、M、B、N四点共圆， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 将绕点O 顺时针旋转得到， ∵，， ∴边刚好落在上，即为， ∴． ∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴； ∴， 故答案为：①．②． （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题属四边形综合题目，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦三角函数定义，正确作辅助线，构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A C B C 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 7． 8． 9．3 10． 11．/ 12．或或 三、解答题：（本大题共11题，第13-17每题6分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题12分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．（1）2 （2）见解析 【详解】（1） 解： ； （2）证明∶是的中点， 在和中， ． 14． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 15．(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，正方形即为所求； （2）解：如图2，格点即为所求； 16．(1) (2) 【详解】（1）解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． （2）解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 17．(1) (2)存在， 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 18．(1)、 (2)见解析 (3)10，15 (4)640 【详解】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为人． ∵ ∴ ． 故答案为、； （2）捐款元的人数为， 补全图形如下： （3）本次调查获取的样本数据的最多的是10，故众数是：元， 本次调查获取的样本数据的中位数是：元； （4）估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数为人． 19．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 20．(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 21．(1) (2)①；②销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， 解得， 所以，y与x的函数关系式为 （2）解：① ② 当在范围内，w取到最大，最大值为242 答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元． 22．(1)， (2)；； 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线， 令，则，； （2）解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为， ∴， ∴的中点的坐标为， 设，则， ； 同理可得，的坐标为， ∴； 的坐标为， ∴； ……， ∴的坐标为， ； 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ……， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ∴． 23．（1）① ；② （2）①，② ，证明见解析 （3） 【详解】解：（1）①． ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：． （2）①．②． 证明：如图2，连接． ∵四边形和四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴O、M、B、N四点共圆， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 将绕点O 顺时针旋转得到， ∵，， ∴边刚好落在上，即为， ∴． ∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴； ∴， 故答案为：①．②． （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴ / 学科网（北京）股份有限公司 $$