专题17 锐角三角函数及其应用-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题17 锐角三角函数及其应用 课标要求 考点 考向 1．探索并认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值； 2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角； 3．会用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； 4．在平面上能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 锐角三角函数及其应用 考向一 锐角三角函数定义 考向二 特殊角的三角函数值 考向三 解直角三角形 考向四 锐角三角函数的实际应用 考向五 锐角三角函数与图形综合 考点一 锐角三角函数及其应用 ►考向一 锐角三角函数定义 解题技巧/易错易混 1．如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，设，则，根据锐角三角函数的意义即可求出． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数的定义，过点作，交延长线于点，利用正切函数的定义求解可得． 【详解】如图，过点作，交延长线于点，    ∴， 则， 故选D． ►考向二 特殊角的三角函数值 4．（2023·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的加减运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 5．（2022·北京·中考真题）计算： 【答案】4 【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键． 6．计算：． 【答案】 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可. 【详解】原式． 【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键. ►考向三 解直角三角形 7．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 8．如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解，如图： 由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 9．（2024·北京东城·一模）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，根据正五边形的性质可得，的面积，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，从而设，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为， ，的面积正五边形的面积， ，， ，， 设， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 该正五边形的边长大约是， 故选：A． ►考向四 锐角三角函数的实际应用 10.一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高的测角仪测得塔尖A的仰角为，向塔的方向前进到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    【答案】中央电视塔的高度为386米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解．掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 由题意可知，， ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为386米． 11.如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达点，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为多少海里． 【答案】货轮与灯塔的距离约为海里 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据题意求出的长，再由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达点， 海里， 海里， 海里， 即此时货轮与灯塔的距离约为海里． 12.有一斜坡，其坡度为，顶部处的高为在同一水平地面上． (1)求斜坡的水平宽度的长； (2)矩形为长方体货柜的侧面图，其中．将该货柜沿斜坡向上运送，当，求点离地面的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度、坡角的定义和勾股定理是解题的关键． （1）根据，得出，再根据勾股定理，即可求出； （2）过点D作于点M，交于点N，通过证明．得出，进而得出，， 设，则，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：过点D作于点M，交于点N， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴，， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． ►考向五 锐角三角函数与图形综合 13．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 14．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 【答案】（1）见详解；（2）， 【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴AD∥CE， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴EF=CE=AD， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键． 15.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．    【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1． 【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可； （2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形  ∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF， ∴  ， ∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF （2）解：如图2所示：    ∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD ∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G= ∴tan∠ABD=，∴AO=1 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16.如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BF=，BC=2． 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°． （2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段BC和BF的长． 【详解】解：（1）证明：连接AE，在⊙O中， ∵∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF= ∠CAB， ∴∠1=∠CBF， ∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， 在Rt△AEB中，∠AEB=90°， ∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=， ∴sin∠2=== ， cos∠2=== ， 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴， ∴BF=． 考点：1切线的判定与性质；2勾股定理；3圆周角定理；4解直角三角形. 1．（2024·北京·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算；根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2024·北京东城·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 3．（2024·北京通州·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识．先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 4．（2024·北京房山·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 5．（2024·北京海淀·一模）如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】连接，，令，交于点，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可是，证，可得，若选条件②，可知，得，设，则，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案． 【详解】解：连接，，令，交于点， ∵经过圆心O，是的一条弦，， ∴，， 则， 若选条件①，∵平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 若选条件②，∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，则， ∴， 设，则， ∴，， 则， ∴，即，故②不符合题意； 若选条件③，∵，即： ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故选：B． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 6．（2024·北京·模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转，若,则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、坐标与图形等知识点，画出旋转后的图形成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再求得，再解直角三角形可得，最后确定坐标即可． 【详解】解：如图所示，将绕原点O顺时针旋转得到， 则， ∴， ∵点在第四象限， ∴点A的对应点A′的坐标为． 故答案为：． 7．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 8．（2024·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以为直径的圆过C，D两点，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，则，由，可得，由为圆的直径，可得，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦是解题的关键． 10．（2024·北京平谷·二模）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 【答案】遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形列出等式是解题的关键． 根据题意列出两个最大角度和最小角度对应的等式，解答即可求解； 【详解】解： 由图1可知，， 由图2可知， ， 解得：， 答：遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米． 11．（2021·北京海淀·一模）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气． 在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得． （1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；    你的理由是：________________________________________________． （2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表： 节气 夏至 秋分 冬至 太阳光线与地面夹角 ①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置； ②记秋分时的表影为，推测点P位于（    ） A．线段中点左侧      B．线段中点处      C．线段中点右侧 【答案】（1）是，答案见解析 ；（2） ① 作图见解析；②A． 【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可； （2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断 【详解】（1）是， 理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知． 故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知． （2）①如图，∵tan∠ADB=＞1， ∴∠ADB＞45°， ∵∠AMB＞∠ADB， ∴点M在点D的左边； ∵tan∠ADB=＞1， ∴∠ADB＞45°， ∵∠ANB＜∠ADB， ∴点N在点D的右边； 如图，点M,点N即为所求． ②∵tan∠ADB=＞1， ∴∠ADB＞45°， ∵∠APB＜∠ADB， ∴点P在点D的左边； 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键． 12．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 【答案】(1)； (2)； (3)图像见解析； 【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）由判断即可； （3）根据图示的点作图，把代入计算即可． 【详解】（1）在中， ①处应填； ②处应填 故答案为：；． （2）根据题意若记为，否则记为， ， 表格中空白的两处依次填和； （3）    把代入，得 13.陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长和的度数，再利用周角是可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 此时顶部边缘处离桌面的高度约为． 14．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴．    15.某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 【答案】旗杆的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．方法一：由题意得，根据即可求解；方法二：由题意得：，根据，求出，即可求出． 【详解】解：方法一：由题意得， ∴， ∵，， ，即， ， 答：旗杆的长约为米． 方法二：由题意得：， ， ，即 ， 答：旗杆的长约为米． 16.如图，在中，，，．求的长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型； 根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 17.某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼BC高约13米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长． 【详解】过点D作于点E，过点C作于点F． ∵， ∴四边形是矩形． 由题意得，米，米，． 在中，， ∴． ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米． 在中，， ∴． ∴米， ∴（米）． 答：教学楼高约13米． 18.永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 【答案】永定楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，作于点H，根据，，设，则，在中，根据列方程解答即可； 【详解】连接，作于点H， 由题意可知点共线， ∵，， ∴， ∴设， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，， ∴ 答：永定楼的高度为：． 19.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．） 【答案】塔高的长约为22.5m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，由题意，得，，，，结合等角对等边，得，，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：根据题意，得，，，． ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴． 设AG为，则，， 在中，， ∴， 则， 解得， ∴， 答：塔高的长约为22.5m． 20.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】（1）见解析（2）FB= 【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论． （2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长． 【详解】证明：（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）． ∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD． 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切． （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴． 又∵，OB=9，∴OD=6． ∴OH=4，HB=5，DH=2． 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=． 垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义． 21.阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长． 小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的度数为 ，的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长． 【答案】的度数为，， 【分析】本题考查等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，构造相似三角形和直角三角形是解题的关键 由可知，又，可知是等腰三角形，又可知，由相似的性质可知，所以 图3中，由已知的条件可知是等腰三角形，因为，因此可过点D作，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决 【详解】解：∵CE∥AB， ∴， ∴， ∴， 又∵CE∥AB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：75°，3； 如图，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， ， ∴． 22．（2024·北京·模拟预测）如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为1． (1)的邻补角为，写出的值，并证明 (2)若均为小于45度的锐角，若，请直接写出两组符合要求的和 【答案】(1)，证明见解析 (2)，或， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质： （1）过点B作交延长线于H，先利用勾股定理和网格的特点得到，，，再利用等面积法求出，则解直角三角形可得，再根据邻补角互补和平角的定义证明，则； （2）由（1）可知，，则，进而可得，再解直角三角形求出，即可；在正方形中，，则，在上截取，则，再解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，过点B作交延长线于H， 由网格的特点和勾股定理得到，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的邻补角为， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，由网格的特点可知三点共线， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴此时满足题意的和可以为， 如图所示，在正方形中，，则， 在上截取，则， 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴此时满足题意的和可以为， 综上所述，满足题意的和可以为，或，． 23．（2024·北京·模拟预测）在规定的范围内解方程 (1)为实数且为质数 (2)提示： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，因式分解，锐角三角函数，解题的关键是准确的进行计算； （1）通过因式分解求出方程的根，再代入求值进行判断是否为质数； （2）利用题干中的提示整理求得到，再进行求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，，是质数，满足条件； 当时，，不是质数，不满足条件； 当时，，是质数，满足条件； 综上：； （2）解：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， ． 24．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【答案】题空：， 探究： 【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键． 填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，， 探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得． 【详解】题空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 25．（2024·北京海淀·二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为， 【分析】（1）连接，根据可得，根据切线的性质，切线长定理即可求得，由此即可求解； （2）作，根据等边三角形的判和性质可得是直径，可得是直角三角形，根据垂径定理，含角的直角三角形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，且， ∴是等边三角形； （2）解：如图所示，延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，且， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴点三点共线，即点与点重合， ∴是的直径， ∴是直角三角形， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，， ∴中，， ∴，， ∴，即的半径为， ∴， 在中，， ∴， 综上所述，的半径为，． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 锐角三角函数及其应用 课标要求 考点 考向 1．探索并认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值； 2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角； 3．会用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； 4．在平面上能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 锐角三角函数及其应用 考向一 锐角三角函数定义 考向二 特殊角的三角函数值 考向三 解直角三角形 考向四 锐角三角函数的实际应用 考向五 锐角三角函数与图形综合 考点一 锐角三角函数及其应用 ►考向一 锐角三角函数定义 解题技巧/易错易混 1．如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ）    A．1 B． C． D． ►考向二 特殊角的三角函数值 4．（2023·北京·中考真题）计算：． 5．（2022·北京·中考真题）计算： 6．计算：． ►考向三 解直角三角形 7．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 8．如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京东城·一模）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m ►考向四 锐角三角函数的实际应用 10.一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高的测角仪测得塔尖A的仰角为，向塔的方向前进到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    11.如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达点，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为多少海里． 12.有一斜坡，其坡度为，顶部处的高为在同一水平地面上． (1)求斜坡的水平宽度的长； (2)矩形为长方体货柜的侧面图，其中．将该货柜沿斜坡向上运送，当，求点离地面的高． ►考向五 锐角三角函数与图形综合 13．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 14．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 15.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．    16.如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 1．（2024·北京·一模）计算：． 2．（2024·北京东城·一模）计算：． 3．（2024·北京通州·一模）计算：． 4．（2024·北京房山·一模）计算：． 5．（2024·北京海淀·一模）如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2024·北京·模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转，若,则点A的对应点的坐标为 ． 7．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ． 8．（2024·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 9．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以为直径的圆过C，D两点，则 ． 10．（2024·北京平谷·二模）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 11．（2021·北京海淀·一模）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气． 在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得． （1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；    你的理由是：________________________________________________． （2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表： 节气 夏至 秋分 冬至 太阳光线与地面夹角 ①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置； ②记秋分时的表影为，推测点P位于（    ） A．线段中点左侧      B．线段中点处      C．线段中点右侧 12．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 13.陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 14．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    15.某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 16.如图，在中，，，．求的长和的值． 17.某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 18.永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 19.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．） 20.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 21.阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长． 小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的度数为 ，的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长． 22．（2024·北京·模拟预测）如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为1． (1)的邻补角为，写出的值，并证明 (2)若均为小于45度的锐角，若，请直接写出两组符合要求的和 23．（2024·北京·模拟预测）在规定的范围内解方程 (1)为实数且为质数 (2)提示： 24．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 25．（2024·北京海淀·二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$