专题16 图形的相似与位似-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题16 图形的相似及位似 课标要求 考点 考向 1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割； 2．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比； 3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 4．了解相似三角形的性质定理和判定定理； 5．了解相似三角形判定定理的证明； 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； 7.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。 相似三角形 考向一 平行线分线段成比例 考向二 相似三角形判定 考向三 相似三角形性质 考向四 相似三角形的实际应用 位似 考向一 位似图形 考点一 相似三角形 ►考向一 平行线分线段成比例 1．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    2．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． ►考向二 相似三角形判定 解题技巧/易错易混 判定方法： 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似； 2.两角分别相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 4.三边对应成比例的两个三角形相似. 3．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 5．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 7．在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． ►考向三 相似三角形性质 8．如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ．    9．如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 10.若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（    ） A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2 11.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． ►考向四 相似三角形的实际应用 12.如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为 m． 13.在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m． 14.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（    ） A．60m B．40m C．30m D．20m 15.如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（    ） A． B． C． D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点二 位似 ►考向一 位似图形 16.如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 17.《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 18.平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（a+1，b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（　　） A．S1S2 B．S1S2 C．S1＝2S2 D．S1＝4S2 19.在下面16×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你画出： （1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心； （2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2； （3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D． 1．（2024·北京通州·一模）如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（    ） ①；②的度数不变；③；④． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（2024·北京东城·二模）如图，在中，于点，点是的中点．设，，，，，，且，有以下三个结论： ①； ②点，，在以点为圆心，为半径的圆上； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024·北京海淀·二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，所有真命题的序号是 ． 4．（2024·北京朝阳·一模）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 5．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 7．（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 8．（2024·北京东城·一模）阅读材料： 如图，已知直线l及直线l外一点P． 按如下步骤作图： ①在直线l上任取两点A，B，作射线，以点P为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线，交于点Q； ③作直线． 回答问题： （1）由步骤②得到的直线是线段的 ； （2）若与的面积分别为，，则 ． 9．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 10．（2023·北京·一模）在中，，D是外一点，且，将射线绕点A顺时针旋转，与相交于点E． (1)如图1，探究和的数量关系并证明； (2)如图2，当时，过点E作交于点G，射线与射线相交于点F．请补全图形，写出与的数量关系，并证明． 11．（2023·北京海淀·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．    (1)求的度数； (2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系； (3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长． 12.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（　　） A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1） 13.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 14．（2023·北京昌平·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 15.如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 图形的相似及位似 课标要求 考点 考向 1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割； 2．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比； 3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 4．了解相似三角形的性质定理和判定定理； 5．了解相似三角形判定定理的证明； 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； 7.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。 相似三角形 考向一 平行线分线段成比例 考向二 相似三角形判定 考向三 相似三角形性质 考向四 相似三角形的实际应用 位似 考向一 位似图形 考点一 相似三角形 ►考向一 平行线分线段成比例 1．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 2．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键 ►考向二 相似三角形判定 解题技巧/易错易混 判定方法： 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似； 2.两角分别相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 4.三边对应成比例的两个三角形相似. 3．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解． 【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， ∵， ∴； （2）证明：，理由如下： 过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示： ∴， 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 5．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可． 【详解】解：如图，直线BD即为所求． 证明：∵，， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BCD=36°， ∴∠BCD=∠A， ∵∠C=∠A， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定． 6．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 7．在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【分析】（1）①利用平移的性质画出图形； ②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长． （2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按照题意画出图形是解决本题的关键． ►考向三 相似三角形性质 8．如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ．    【答案】3 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 9．如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，代入数据即可求得，最后根据即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 10.若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（    ） A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2 【答案】A 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答． 【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16， 故正确的答案为：A 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 11.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，， ∴斜边， ∵要做一个与其相似的三角形木架， ∴两个三角形对应边成比例， ∵直角三角形中斜边最大， ∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为， 则有2种情况， ①，解得：， ②，解得：， ∴另两边中长度最大的一边最多可达到， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键． ►考向四 相似三角形的实际应用 12.如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为 m． 【答案】3 【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴， 即， 解得：AB=3m， 故答案为：3 13.在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m． 【答案】15 【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比． 设旗杆高度为x米， 由题意得，， 解得x=15． 故答案为15． 14.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（    ） A．60m B．40m C．30m D．20m 【答案】B 【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥DC． ∴△EAB∽△EDC． ∴． 又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m， ∴， 解得：AB＝40（m）． 故选：B． 15.如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：依题意，四边形都是矩形， ∴，，， ∵ ∴, ∵ ∴ ∴ 即 解得： ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点二 位似 ►考向一 位似图形 16.如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长，    ∴的位似图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 17.《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 【答案】D 【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为． ∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位， 根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍 故选D 【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键． 18.平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（a+1，b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（　　） A．S1S2 B．S1S2 C．S1＝2S2 D．S1＝4S2 【答案】D 【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案． 【详解】解：由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（a+1， b﹣1）知， 此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换， 则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1， ∴S1＝4S2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型． 19.在下面16×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你画出： （1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心； （2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2； （3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D． 【答案】（1）如图所示：△AED为所求作的三角形；见解析；（2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；见解析；（3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点；见解析. 【分析】（1）由A为对称中心，故A点不动，连接BA并延长，使AD=AB，连接CA并延长，使AE=AC，连接ED，三角形AED为三角形ABC关于A中心对称的图形，如图所示； （2）连接AP并延长，使A′P=2AP，连接BP并延长，使B′P=2BP，连接CP并延长，使C′P=2CP，连接A′B′，A′C′，B′C′，△A′B′C′为所求作的三角形； （3）满足题意的D点有3个，分别是以AB为对角线作出的平行四边形ACBD1，以AC为对角线的平行四边形ABCD2，以BC为对角线的平行四边形ABD3C，如图所示． 【详解】（1）如图所示：△AED为所求作的三角形； （2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形； （3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点． 【点睛】此题考查了作图-位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全． 1．（2024·北京通州·一模）如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（    ） ①；②的度数不变；③；④． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 证明可得，，，进而判断①；进而可得，进而判断②，根据，进而判断③；证明，进而判断④； 【详解】解：∵是菱形，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 2．（2024·北京东城·二模）如图，在中，于点，点是的中点．设，，，，，，且，有以下三个结论： ①； ②点，，在以点为圆心，为半径的圆上； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，完全平方公式的应用，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理可判断①结论；利用线段中点以及直角三角形斜边中线等于斜边一半可判断②结论；利用勾股定理以及完全平方公式可判断③结论． 【详解】解：， ， ， ，，，且， ，①结论正确； ，，， 即， ， ， ， ， ， 点是的中点， ，则， 此时点，，在以点为圆心，为半径的圆上，②结论正确； 在中，，即， ， ， ， ，即，③结论正确， 故选：D． 3．（2024·北京海淀·二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，所有真命题的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了本题主要考查中位线，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据中位线的判定和性质可判定命题①，根据相似三角形的判定和性质可判定命题②③． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 命题①，若，则点是的中点 ∴，故命题①真命题； 命题②，若， ∴，， 当时，，可得，故命题②假命题； 命题③，若， ∴， ∴， ∴， ∴点为中点，则，故命题③真命题； 综上所述，真命题的序号为①③， 故答案为：①③ ． 4．（2024·北京朝阳·一模）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，//，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵//， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ， ， 即， 点为的中点，， ， ， ， 设，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，，，则， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 7．（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 8．（2024·北京东城·一模）阅读材料： 如图，已知直线l及直线l外一点P． 按如下步骤作图： ①在直线l上任取两点A，B，作射线，以点P为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线，交于点Q； ③作直线． 回答问题： （1）由步骤②得到的直线是线段的 ； （2）若与的面积分别为，，则 ． 【答案】 垂直平分线 【分析】本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线是线段的垂直平分线． （2）由题意可得，，可证明，根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线是线段的垂直平分线． 故答案为：垂直平分线． （2）由作图过程可知，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 10．（2023·北京·一模）在中，，D是外一点，且，将射线绕点A顺时针旋转，与相交于点E． (1)如图1，探究和的数量关系并证明； (2)如图2，当时，过点E作交于点G，射线与射线相交于点F．请补全图形，写出与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】（1）先证明，，，四点共圆，再利用圆周角定理证明即可； （2）在上取点M使得，连接，过C作于N，先证明，由相似三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可证明即可证明． 【详解】（1），证明如下： ， ，，，四点共圆． ， ， ， ． （2），证明如下： 在上取点M使得，连接，过C作于N， 同（1）可得， 由题意得为等腰直角三角形， ∴, ∴ ∴， ∴， ， ， 又，． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．（2023·北京海淀·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．    (1)求的度数； (2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系； (3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)补全图形见解析， (3) 【分析】（1）证明,得，同理，则，得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）补全图形，过点E作交于点M，过点D作交于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，，则，证明，则，可得,，则，由即可得到结论； （3）过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，由是等边三角形，，则 ，，由勾股定理可得，可证，由（2）可知，，由平行线分线段成比例定理得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴, ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的度数为； （2），理由如下： 连接并延长交于点，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，    ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴, ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，如图，    ∵是等边三角形，， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 12.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（　　） A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1） 【答案】A 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD， ∴A点与C点是对应点， ∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2， ∴点C的坐标为：（4，4） 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键． 13.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点， ， ∴， 四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为． 故选：D． 14．（2023·北京昌平·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4， ∴四边形是正方形，面积为， ∴，， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念． 15.如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）连接对应点，交点即为位似中心； （2）求出对应线段长的比即为位似比； （3）对应线段长为作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长交于点O，点O为所求； （2）解：与的位似比为． 故答案为． （3）解：由题意得：， ， ， 同理，找到， 如图所示：为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $$