专题15 特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题15 特殊三角形（等腰三角形、直角三角形） 课标要求 考点 考向 1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．了解直角三角形的概念，探索并证掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 等腰三角形 考向一 等腰三角形的定义 考向二 等腰三角形的性质及判定 考向三 等边三角形 直角三角形 考向一 直角三角形性质及判定 考向二 勾股定理及其逆定理 考点一 等腰三角形 ►考向一 等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或6/6或4 【分析】此题应分两种情况讨论，4可能为底边，也可能为腰长，且两种情况都成立. 【详解】解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6-4＜4，满足三边关系定理， 当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5-4＜5，满足三边关系定理， ∴该等腰三角形的底边为4或6， 故答案为：4或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中． 3．如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    【答案】10 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进一步可得，，可得，，进一步可得的长． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 4．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，分为顶角与底角两类讨论即可得到答案； 【详解】解：当为底角时， 顶角为：， 当为顶角时， 底角为：， 故答案为：或． ►考向二 等腰三角形的性质及判定 5．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 6．（2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在中，______________，是的中点， （______________）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向． 【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D； （2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答． 【详解】解：（1）如图所示： （2）证明：在中，，是的中点， （等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向； 故答案为，等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD．    【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果. 【详解】∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CBE=∠BAD． ►考向三 等边三角形 解题技巧 等边三角形判定： 1.三边相等的三角形是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 8．在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形； 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK． 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 【答案】（1）80°；（2）①补图见解析；② 证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）①根据要求作出图形，如图2； ②根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠QAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ=20°， ∴∠AQB=∠CAQ+∠C=20°+60°=80°； （2）①如图2； ②∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M， ∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC， ∴∠MAC=∠BAP， ∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°， ∴∠PAM=60°， ∵AP=AQ， ∴AP=AM， ∴△APM是等边三角形， ∴AP=PM． 9．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）利用三角形内角和为180°，求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可； （3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可． 【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α， ∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α， ∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°-α； （2）△ABE为等边三角形． 证明：如图，连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°． 又∵∠ABE=60°， ∴且△BCD为等边三角形． 在△ABD与△ACD中， ∵AB=AC，AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴． ∵∠BCE=150°， ∴． ∴． 在△ABD和△EBC中， ∵，，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）． ∴AB=BE． ∴△ABE为等边三角形． （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴． 又∵∠DEC=45°， ∴△DCE为等腰直角三角形． ∴DC=CE=BC． ∵∠BCE=150°， ∴． 而． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，其中，理解与掌握相关概念并能正确运用作辅助线构造全等三角形与等边三角形是解决本题的关键，本题综合性较强，对学生的能力要求较高． 考点二 直角三角形 ►考向一 直角三角形性质及判定 10.已知：中，于E，于D，连接，点M、N是、的中点．求证：． 【答案】详见解析 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形三线合一等知识，连接与为直角三角形，由N是的中点得到，，则，又由点M是的中点，即可得到结论． 【详解】证明：连接，如图所示： ∵于E，于D， ∴， ∴与为直角三角形， ∵N是的中点， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 11．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明； （2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． （2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM， ∵，CM＝CB， ∴ 垂直平分BM， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键． ►考向二 勾股定理及其逆定理 12．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析． 【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点 ∴DE为的中位线，且 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形DECF为矩形 ∴ ∴ 则在中，； （2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG ∵ ∴， ∵D是AB的中点 ∴ 在和中， ∴ ∴， 又∵ ∴DF是线段EG的垂直平分线 ∴ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴．    【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 13.在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 1．（2017·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC． 【答案】证明见解析． 【详解】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解. 试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB， ∴AD=BD=BC. 2．（2012·北京·中考真题）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ． (1) 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2) 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明； (3) 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围． 【答案】(1)图见解析，30° (2)∠CDB=90°－α (3)45°＜α＜60°． 【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案： （2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出； （3）由点P不与点B，M重合，得到∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，由此求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如下： ∵BA=BC，点M是AC的中点， ∴AC⊥BD，AM=CM ∴∠CMD=90°， ∴， ∴∠CMQ=60°， 由旋转的性质可得AM=QM=CM， ∴△CMQ是等边三角形， ∴∠DCM=60° ∴∠CDB=30°． （2）解：作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD， ∵AB=BC，M是AC的中点， ∴BM⊥AC． ∴AD=CD，AP=PC， 在△APD与△CPD中， ∴△APD≌△CPD（SSS）． ∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD． 又∵PQ=PA， ∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB， ∴∠PQC=∠PCD=∠PAD． ∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°． ∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°． ∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α． ∴∠CDB=90°－α． （3）解：由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD， ∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α，， ∵点P不与点B，M重合， ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD． ∴2α＞180°－2α＞α， ∴45°＜α＜60°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟知相关知识是解题的关键． 3．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 4．（2024·北京石景山·一模）如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接，根据，可以判定②错误；是内部的射线且，可得，推出，推出，推出，故③正确． 【详解】解：，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故①正确， 连接，则， ，， ， ， ，故②错误， 是内部的射线且， ， ， ， ，故③正确． 故选：B． 5．（2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，图见解析； (2)，理由见解析，图见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：补全图形见图： ∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2024·北京门头沟·二模）在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N． (1)如图1，当点E与点A重合时，______； (2)如图2，当点E在边上时， ①依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)①见解析；②的值不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）先由三线合一定理得到，再证明是等腰直角三角形，，得到，进而证明，得到，即，据此可得答案； （2）①根据题意作图即可；②如图所示，过点E作，分别交与G、M，证明，得到，，则，再证明，同（1）可证明，则 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2； （2）解：①补全图形如下所示： ②的值不变，理由如下； 如图所示，过点E作，分别交与G、M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同（1）可证明， ∴． 7．（2024·北京昌平·二模）如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，． (1)如图1，当点D在边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：__________； (2)如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)①补图见解析； ② (2)仍成立，证明见解析 【分析】（1）①根据的外角为，得到点在直线上，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作的垂直平分线，与交于点，即可作出图形； ②设，，再表示出、即可解题； （2）延长，取，连接，证明，得到，再根据中位线定理得到，最后利用等量代换即可解题． 【详解】（1）解：①根据题意补全图形如下： ②设，， ，， ， ， ； （2）解：成立， 延长，取，连接， ，， ， ，， ， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理是本题解题的关键． 8．（2024·北京东城·一模）在中，，，点D，E是边上的点，，连接．过点D作的垂线，过点E作的垂线，两垂线交于点F．连接交于点G． (1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，直接用等式表示线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等： （1）由三线合一定理可得，再由，得到三点共线，即可得到； （2）①根据题意画图即可；②过点A作于H，则，先证明，再证明，进而证明，得到，则，即； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，由勾股定理得，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②仍然成立，证明如下： 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 9．（2023·北京西城·二模）如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．    (1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接． ①依题意补全图形，并证明； ②求证：； (2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，证明见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明，推出，然后结合旋转的性质可得结论；②设，则， 在四边形中，由全等三角形的性质得到，进而可证明，再证明即可证明； 根据对称的性质可证明，可得结论； （2）连接，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得是等边三角形，可得，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论． 【详解】（1）①依题意补全图形如图所示： 证明：∵点F是的中点， ∴， ∵点C关于点F的对称点为G， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴；    ②证明：设，则， 在四边形中，   ， 由（1）①得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）解：连接，如图，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∴与的数量关系是． 【点睛】本题考查了对称变换、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．    【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长． 【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，且MN=AD， 在Rt△ABC中，∵M是AC的中点， ∴BM=AC， 又∵AC=AD， ∴MN=BM； （2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°． ∵MN∥AD， ∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴， 而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1， ∴BN=． 11．（2023·北京东城·模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①补全图形见详解，②度数不变，为 【分析】（1）∵，，点P为中点，则故，而，代入即可求解； （2）①依据题意画出图形即可；②取中点为，连接，利用三角形的中位线定理和直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 12．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转性质和斜边的中线等于斜边的一半可证为等边三角形，进而可证，即可证明结论； （2）在上截取，连接，利用证明，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可证由平行线的性质可证进而可证明结论； 【详解】（1）证明：∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ， ， ， ∵M为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ； （2），                      证明：如图，在上截取，连接， ∵F是的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线； 13．（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)图见解析，． 【分析】（）线段绕点逆时针旋转得到， 得，，故，且，知，而，，平分，有，，从而，可得，，即知，， 又，得； 过点作于点，由知：，由，，得，即可得，故； （）以为顶点，为一边作，设交于，可得，根据将线段绕点顺时针旋转得到得，， 可求出，，证明，即得，知是的垂直平分线，可得 ，，而是等边三角形，有 ，再证，得，即可得． 【详解】（1）证明：如图：    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，且， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于点，如图：    由知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）补全图形如下：    以为顶点，为一边作，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 14．（2021·北京海淀·二模）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②90度 (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①根据题意，即可画出图形；②根据，可得答案； （2）连接，利用可证明，得，再得出，从而解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；    ②∵是等边三角形， （2），证明如下： 如图，连接，    由②可知，是等边三角形， ∵是等边三角形， 在中，， 15．（2023·北京顺义·二模）已知：，，分别是射线，上的点，连接，以点为旋转中心，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)如图1，当时，求证：；    (2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．    【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，数量关系：，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，证明，可得，从而得证； （1）依题意补全图2，如图；数量关系：．在上截取，使，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明，可得，，然后证明是等边三角形，从而可证明结论． 【详解】（1）证明：∵线段绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）依题意补全图2，如图． 数量关系：． 证明：在上截取，使，连接， ∵线段绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，四边形的内角和为，等角的补角相等．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点为射线上一点，过点作且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，连接，． (1)如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，图及证明见解析 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论； （2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论． 【详解】（1）解：数量关系，位置关系，理由如下： ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴， 连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：； （2）依题意补全图形，如图1． 数量关系：． 证明：连接，，如图2． ∵中，，， ∴． ∵， ∴，． 又∵ ∴． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 17．（2023·北京·一模）如图，中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，过点作，交直线于点． (1)依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)点为中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析；，证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据题意画出图形，求出，证明，即可得到； （2）连接，，，设与交于点H，求出，证明，可得，，，证明是等腰直角三角形，则可得，然后根据线段之间的关系得出结论． 【详解】（1）解：图见解析； ； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）； 证明：如图，连接，，，设与交于点H， ∵，，点为中点， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 18．（2022·北京海淀·三模）如图，在中，，，是的中点，是延长线上一点，平移到，线段的中垂线与线段的延长线交于点，连接、． (1)连接，求证：； (2)依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，结论：，理由见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、斜边的中线等于斜边的一半、利用平移的性质求解 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题； （2）图形如图所示，结论：，想办法证明即可． 【详解】（1）证明：连接． ，， ， ， ； （2）解：图形如图所示，结论：． 理由：连接，，取的中点，连接，，． 点在的垂直平分线上， ， ，， ， ， 四边形，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形四点共圆， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ． 【点睛】本题考查作图平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 特殊三角形（等腰三角形、直角三角形） 课标要求 考点 考向 1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．了解直角三角形的概念，探索并证掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 等腰三角形 考向一 等腰三角形的定义 考向二 等腰三角形的性质及判定 考向三 等边三角形 直角三角形 考向一 直角三角形性质及判定 考向二 勾股定理及其逆定理 考点一 等腰三角形 ►考向一 等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 3．如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    4．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为 ． ►考向二 等腰三角形的性质及判定 5．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 6．（2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在中，______________，是的中点， （______________）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向． 7．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD．    ►考向三 等边三角形 解题技巧 等边三角形判定： 1.三边相等的三角形是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 8．在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形； 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK． 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 9．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 考点二 直角三角形 ►考向一 直角三角形性质及判定 10.已知：中，于E，于D，连接，点M、N是、的中点．求证：． 11．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． ►考向二 勾股定理及其逆定理 12．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    13.在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 1．（2017·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC． 2．（2012·北京·中考真题）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ． (1) 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2) 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明； (3) 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围． 3．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024·北京石景山·一模）如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 6．（2024·北京门头沟·二模）在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N． (1)如图1，当点E与点A重合时，______； (2)如图2，当点E在边上时， ①依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由． 7．（2024·北京昌平·二模）如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，． (1)如图1，当点D在边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：__________； (2)如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 8．（2024·北京东城·一模）在中，，，点D，E是边上的点，，连接．过点D作的垂线，过点E作的垂线，两垂线交于点F．连接交于点G． (1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，直接用等式表示线段之间的数量关系． 9．（2023·北京西城·二模）如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．    (1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接． ①依题意补全图形，并证明； ②求证：； (2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系． 10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．    11．（2023·北京东城·模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 12．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 13．（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 14．（2021·北京海淀·二模）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 15．（2023·北京顺义·二模）已知：，，分别是射线，上的点，连接，以点为旋转中心，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)如图1，当时，求证：；    (2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．    16．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点为射线上一点，过点作且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，连接，． (1)如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 17．（2023·北京·一模）如图，中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，过点作，交直线于点． (1)依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)点为中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 18．（2022·北京海淀·三模）如图，在中，，，是的中点，是延长线上一点，平移到，线段的中垂线与线段的延长线交于点，连接、． (1)连接，求证：； (2)依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $$