专题14 全等三角形-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题14 全等三角形 课标要求 考点 考向 1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等； 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 7．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 全等三角形 考向一 全等三角形的判定及性质 考向二 全等三角形综合问题 考点一 全等三角形 ►考向一 全等三角形的判定及性质 易错易混提醒 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（2020·北京·中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）    易错易混提醒 判定两个三角形全等，寻找条件时，应该注意图形中的隐含条件，常见的有：（1）公共边或公共角相等；（2）对顶角相等；（3）等边加（或减）等边，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或补角）相等；（6）有中线或角平分线的定义得出线段或角相等；（7）由垂直定义得出直角相等。 3．如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE． 4．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED． 5．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，若是的高线，，，，则 ．    ►考向二 全等三角形综合问题 7．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 1．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 3．．（2024·北京西城·二模）如图，点为线段的中点，，点分别在射线上，与均为锐角，若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 5．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 6．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 7．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 8．（2023·北京西城·一模）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 9．如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 10．（2024·北京东城·一模）我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 11.如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 12．（2024·北京·三模）如图，在等腰中，．点D是边的延长线上一点，连接，作点D关于直线的对称点E，作直线，交的延长线于点F，过点E作直线的垂线，交的延长线于G、交的延长线于H． (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含α的式子表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 13．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，．点是边上的动点，，点关于直线的对称点为，连接．直线与直线交于点． (1)补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 全等三角形 课标要求 考点 考向 1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等； 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 7．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 全等三角形 考向一 全等三角形的判定及性质 考向二 全等三角形综合问题 考点一 全等三角形 ►考向一 全等三角形的判定及性质 易错易混提醒 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 2．（2020·北京·中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）    【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 易错易混提醒 判定两个三角形全等，寻找条件时，应该注意图形中的隐含条件，常见的有：（1）公共边或公共角相等；（2）对顶角相等；（3）等边加（或减）等边，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或补角）相等；（6）有中线或角平分线的定义得出线段或角相等；（7）由垂直定义得出直角相等。 3．如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE． 【答案】见解析 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵DE∥AB， ∴∠CAB=∠ADE． 在△ABC和△DAE中，∵， ∴△ABC≌△DAE（ASA）． ∴BC=AE． 【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED． 【答案】见解析 【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECD， ∵在△BAC和△ECD中， AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD， ∴△BAC≌△ECD（SAS）. ∴CB=ED． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质． 5．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，若是的高线，，，，则 ．    【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先求出，再证明，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ►考向二 全等三角形综合问题 7．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 8．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 1．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据题意知和的三边对应相等，即可得证．解题的关键是掌握判定三角形全等的方法， 【详解】解：由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线， ∴这种作法的依据是． 故答案为：． 3．．（2024·北京西城·二模）如图，点为线段的中点，，点分别在射线上，与均为锐角，若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于，，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：如图： 点为线段的中点， ， ， A、当添加时，，故本选项不符合题意； B、当添加时，不能确定，故本选项符合题意； C、当添加时，，故本选项不符合题意； D、当添加时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可． 【详解】证明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等． 5．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知和图形可得，，，据此即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵点为的中点， ∴，， 又∵， ∴由“边角边”可证明， 故选：． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023·北京西城·一模）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点P，于点Q，证明，得到，设交于点I，则，即可得证； （2）线段和线段的延长线上分别取点F、点G，连接、，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． 【详解】（1）证明：作于点P，于点Q，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设交于点I，则， ∴． （2）解：补全图片如图所示， ，理由为： 在上取一点R，使， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由，可得，结合，，可证明，即可解答． 【详解】证明：、、、四点共线，且， ，即， 在和中， ， ， ． 10．（2024·北京东城·一模）我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 【答案】情况一（或情况二或情况三），证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 选择情况一时，延长到，使，连接，全等，得，再证即可得出结论；选择情况二时，由已知可得为线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择情况三时，可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：选择情况一，证明如下： 延长到E，使，连接，如图所示： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 选择情况二，证明如下： ∵于D， ∴为线段的垂直平分线， ∴； 选择情况三，证明如下： ∴于D， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11.如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 12．（2024·北京·三模）如图，在等腰中，．点D是边的延长线上一点，连接，作点D关于直线的对称点E，作直线，交的延长线于点F，过点E作直线的垂线，交的延长线于G、交的延长线于H． (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含α的式子表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全图图形即可． （2）有等腰三角形的性质求出的度数，进一步得出，由轴对称的性质可得出垂直平分，进一步得出，，根据三角形的外角性质可得出． （3）在直线上截取，结合已知条件可得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得出，，再证明，，，利用证明，由全等三角形的性质可得出，由勾股定理得出，等量代换可得出． 【详解】（1）解：补全图形如图如下： （2）在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D、点E关于直线的对称， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）判断关系∶ 在直线上截取， ∵，即， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质三角形外角的定义和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 13．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，．点是边上的动点，，点关于直线的对称点为，连接．直线与直线交于点． (1)补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、等边对等角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，则，由轴对称的性质结合题意得出，从而得出，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）解：如图，连接， ，， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$