专题13 几何初步及平行线、相交线-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题13 几何初步及平行线、相交线 课标要求 考点 考向 1．会比较线段的长短,理解线段的和、差以及线段中点的意义;掌握基本事实:两点确定一条直线、两点之间线段最短; 理解两点间距离的意义,能度量两点间的距离; 2．理解角的概念,能比较角的大小,认识度、分、秒,会对度、分、秒进行简单的换算,并会计算角的和、差;理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等制质;识别同位角、内错角、同旁内角; 3．理解垂线、垂线段等的概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线:理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．理解平行线概念;掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行;掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;*了解平行线性质定理的证明:探索并证明平行线的判定定理和性质定理; 5.了解平行于同一条直线的两条直线平行;了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离: 几何初步 考向一常见几何体及展开图 考向二 角的计算 考向三 角平分线 考向四 对顶角 考向五 余角和补角 平行线与相交线 考向一 平行线的判定和性质 考向二 点到直线的距离问题 考点一 几何初步 ►考向一 常见几何体及展开图 易错易混提醒 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 1．（2022·北京·中考真题）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2021·北京·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．正方体 B．圆柱 C．正四棱锥 D．直三棱柱 4．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 ．    ►考向二 角的计算 5．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． ►考向三 角平分线 易错易混提醒 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 7．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（  ） A． 38° B．104° C． 142° D． 144° ►考向四 对顶角 8．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（    ）    A．30° B．60° C．120° D．150° ►考向五 余角和补角 9．（2021·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 考点二 平行线、相交线 ►考向一 平行线的判定和性质 10.如图，直线，被直线所截，∥，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于    A．40° B．50° C．70° D．80° 11.如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A．26° B．36° C．46° D．56° ►考向二 点到线的距离问题 12.如图所示，点P到直线l的距离是（　　） A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度 1．某几何体的展开图如图所示，该几何体是（  ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 2．下列几何体中，是圆柱的为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 4．（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（    ） A． B．C． D． 5．（2024·北京平谷·二模）一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·北京丰台·二模）如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·北京朝阳·二模）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·二模）如图，，的顶点B，C分别在，上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·北京房山·二模）如图，直线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10.（2024·北京海淀·二模）如图，，点A在上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点B，C，连接AC，BC．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 11.（2024·北京·模拟预测）如图，，与、分别相交于点、，，且，则（    ） A． B． C． D． 12.（2024·北京·模拟预测）如图，直线 ，直线分别交于点 E，F，的平分线交于点 G，若， 则的大小是（   ） A．124 ° B．118° C．62° D．59° 13.（2024·北京房山·一模）如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14.（2024·北京顺义·一模）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 15.（2024·北京西城·一模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 16.（2024·北京东城·一模）如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①；        ②； ③与互为余角；    ④与互为补角． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ 17.（2022·北京大兴·一模）若，则的补角的度数是（    ） A．40° B．50° C．130° D．140° 18.（2022·北京海淀·一模）如图，，．若OD平分，则的大小为（    ） A．20° B．70° C．80° D．140° 19.（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 20.如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______，（______）（填推理的依据） ______． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何初步及平行线、相交线 课标要求 考点 考向 1．会比较线段的长短,理解线段的和、差以及线段中点的意义;掌握基本事实:两点确定一条直线、两点之间线段最短; 理解两点间距离的意义,能度量两点间的距离; 2．理解角的概念,能比较角的大小,认识度、分、秒,会对度、分、秒进行简单的换算,并会计算角的和、差;理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等制质;识别同位角、内错角、同旁内角; 3．理解垂线、垂线段等的概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线:理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．理解平行线概念;掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行;掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;*了解平行线性质定理的证明:探索并证明平行线的判定定理和性质定理; 5.了解平行于同一条直线的两条直线平行;了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离: 几何初步 考向一常见几何体及展开图 考向二 角的计算 考向三 角平分线 考向四 对顶角 考向五 余角和补角 平行线与相交线 考向一 平行线的判定和性质 考向二 点到直线的距离问题 考点一 几何初步 ►考向一 常见几何体及展开图 易错易混提醒 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 1．（2022·北京·中考真题）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案． 【详解】解：A选项为圆柱，不合题意； B选项为圆锥，符合题意； C选项为三棱锥，不合题意； D选项为球，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥． 2．（2021·北京·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】B 【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项． 【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱； 故选B． 【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．正方体 B．圆柱 C．正四棱锥 D．直三棱柱 【答案】A 【分析】根据各简单几何体展开图的特点判断即可． 【详解】解：该平面展开图是正方体的平面展开图． 故选A． 【点睛】本题考查几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键． 4．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 ．    【答案】3 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果． 【详解】解：由图1可知，与1相邻的面的数字有2、3、4、6， 的对面数字是5， 与4相邻的面的数字有1、3、5、6， 的对面数字是2， 的对面数字是6， 由图2可知：6的对面数字是， 的值为3， 故答案为：3． ►考向二 角的计算 5．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． ►考向三 角平分线 易错易混提醒 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 7．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（  ） A． 38° B．104° C． 142° D． 144° 【答案】C 【分析】根据对顶角相等的性质，得∠AOC=76°，根据补角的定义，得∠BOC=104°；由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=38°，即可求解． 【详解】解：∵∠BOD=76° ∴∠AOC=76° ∴∠BOC=104° ∵OM平分∠AOC ∴∠COM=38° ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=142°． 故选C． 【点睛】本题主要考查角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义，掌握角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义是解题的关键． ►考向四 对顶角 8．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（    ）    A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】利用对顶角相等求解． 【详解】解：量角器测量的度数为30°， 由对顶角相等可得，． 故选A． 【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． ►考向五 余角和补角 9．（2021·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 考点二 平行线、相交线 ►考向一 平行线的判定和性质 10.如图，直线，被直线所截，∥，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于    A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由平角的定义可求出∠1，再利用平行线得内错角相等，即可求∠4. 【详解】∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1＝∠2＝（180°－40°）＝70°． ∵a∥b，∴根据两直线平行，内错相等，得∠4＝∠1＝70°． 故选C． 11.如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A．26° B．36° C．46° D．56° 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵l4∥l1， ∴∠4+∠1=180°， ∵∠1=124°， ∴∠4=56°， ∵∠2=88°， ∴∠3=180°-∠4-∠2=36°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． ►考向二 点到线的距离问题 12.如图所示，点P到直线l的距离是（　　） A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度 【答案】B 【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度， 故选：B． 1．某几何体的展开图如图所示，该几何体是（  ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱． 【详解】观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：A． 【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解． 2．下列几何体中，是圆柱的为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的特征进行判断即可． 【详解】A选项为圆柱， B选项为圆锥， C选项为四棱柱， D选项为四棱锥． 故选：A． 【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键． 3．（2024·北京西城·二模）如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得与不互余，再利用邻补角定义可得，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， ， 与不互余， ， ， 与互补， 故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4．（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：甲、乙位于直线的两侧， 根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求； 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接． 5．（2024·北京平谷·二模）一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及平角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，    ∴， 故选：C． 6．（2024·北京丰台·二模）如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，求出是解题关键．先求出，然后根据对顶角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·北京朝阳·二模）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出，，由角平分线定义得到，由平行线的性质即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故选：D 8．（2024·北京·二模）如图，，的顶点B，C分别在，上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；由平行线的性质和外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选：C． 9．（2024·北京房山·二模）如图，直线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．解题的关键是采用形数结合的方法得到； 根据对顶角相等求，由垂直的性质求，根据求解． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 10.（2024·北京海淀·二模）如图，，点A在上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点B，C，连接AC，BC．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，等边对等角，先根据题意得出，求出，根据平行线的性质得出，即，进而可得出答案． 【详解】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B、C， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 11.（2024·北京·模拟预测）如图，，与、分别相交于点、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂直得到，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 12.（2024·北京·模拟预测）如图，直线 ，直线分别交于点 E，F，的平分线交于点 G，若， 则的大小是（   ） A．124 ° B．118° C．62° D．59° 【答案】D 【分析】由角平分线定义得到，由平行线的性质推出即可求出； 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出是解题的关键． 【详解】解：平分 ， ∵ 故选：D． 13.（2024·北京房山·一模）如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可． 【详解】解：， ， 又 ∴， ， 故选D． 14.（2024·北京顺义·一模）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了邻补角的性质，角平分线的定义，关键是掌握邻补角性质． 首先根据邻补角求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到的度数，然后根据邻补角求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 平分， ， ， ． 故选：C． 15.（2024·北京西城·一模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥． 【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形， ∴该几何体是三棱锥， 故选C． 16.（2024·北京东城·一模）如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①；        ②； ③与互为余角；    ④与互为补角． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：易知，故①正确， ，故②错误， 与互为余角，故③正确； ， 与互为补角．故④正确； 故选：D 17.（2022·北京大兴·一模）若，则的补角的度数是（    ） A．40° B．50° C．130° D．140° 【答案】D 【分析】根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵∠α=40°， ∴它的补角=180°－40°=140°． 故选：D． 【点睛】本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键． 18.（2022·北京海淀·一模）如图，，．若OD平分，则的大小为（    ） A．20° B．70° C．80° D．140° 【答案】B 【分析】先求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOD即可． 【详解】解：∵∠AOB＝160°，∠COB＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝70°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算和角平分线．掌握角平分线的运用，能求出各个角的度数是解此题的关键． 19.（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 【答案】 32 【知识点】图形类规律探索、几何体中的点、棱、面、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索： （1）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，据此规律求解即可； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个，则一共有个顶点，一共有条棱，根据（1）的结论可得，则，再由每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻，得到，据此列出方程求解即可． 【详解】解（1）， ， ， ， ……， 以此类推可得， 故答案为：； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个， ∵每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面， ∴一共有个顶点， ∴一共有条棱， ∵， ∴， ∴； ∵每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个， 故答案为：32． 20.如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______，（______）（填推理的依据） ______． 【答案】(1)点在直线外； (2)见解析 (3)；两点之间，线段最短； 【知识点】作线段(尺规作图)、两点之间线段最短、点与线的位置关系 【分析】（1）根据直线与点的位置关系进行求解； （2）根据几何语言画出几何图形； （3）利用两点之间线段最短得到，从而可判断． 【详解】（1）解：点与直线的关系为：点在直线外， 故答案为：点在直线外； （2）解：作出图如图所示；     （3）解：，， ， ，（两点之间，线段最短）      ， 故答案为：；两点之间，线段最短；． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了两点之间的距离． / 学科网（北京）股份有限公司 $$