题型05 3类导数综合问题解题技巧（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理）-2025年高考数学答题技巧与模板构建

题型05 3类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理） 技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 技法02 用洛必达法则的解题技巧 技法03 拉格朗日中值定理的解题技巧 本节导航 技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 在导数相关的题目中，我们经常遇到恒成立问题，特别是涉及参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，已成为热点和重点题型。解决这类问题的方法多种多样，常见的方法包括： ①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值; ②直接（或移项转化）求导＋分类讨论. 但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。 基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 思路详解：因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 思路详解：【法一】端点效应一 令 ，得 ，且 在 上恒成立 画出草图 根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 时, 由于 , 只需证 即可 而 含有参数 , 故可对 进行放缩 即 令 , 其中 设 则 令 则 , 故 在 上递减, 得 则 , 得 在 上单调递增, 则 即 , 满足 成立 当 时， 故存在 , 使得在 上 , 所以 在 上单调递增, 则 , 不成立 特上所述: . 【法二】端点效应二 (2) 由于 , 且 , 注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减 , 不成立. 另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: . 【法三】设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 思路详解：【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【方法二：端点效应一】 (3)由(1)知， . 因为 , 否则解集中含有 . 故 . (a)若 , 即 时， 即 即 是 上的单调递增函数， , 符合题意； (b)若 , 即 时，令 得 , (舍)，或 . 当 时， , 此时， , 不符合题意 综上可知， 的取值范围是 . 【方法三：端点效应二】 由题意得： , 必有 , 所以 , 解得 , 故 . 问题等价于研究当 恒成立，仅需 , 令 令 。 发现： , 当且仅当 时，若 , 即 。 易证当 时，由 知， , 所以 在 上单调递增， , 所以b≥- 2成立。 3另一方面，当 时， 在 必定有解， 令, 则 在 上必存在 m, 使得 成立，所以h(x)在 单调递减，在 单调递增， 所以 , 这与 在 恒成立矛盾，故 舍去 3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 思路详解：(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 1．已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可知在上恒成立，将问题转化为求函数f(x)的最小值. 【方法一】∵在上恒成立，且， 故． 当时，在上恒成立，即在上为增函数， 所以，，合乎题意； 当时，由，可得；当时，可得． 即在上为减函数，在上为增函数， 所以，， 又因为 ，所以，不合乎题意． 综上所述，． 故答案为：. 【方法二-端点效应】 因为，所以，解得，结合已知条件， 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 4．（2024·广东·模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的导函数；再分和两种情况，利用导数的方法分别判定单调性即可. （2）由（1）中函数单调性，当时，根据函数单调性，以及，可判断当时，，不符合题意；当时，根据函数单调性，得到，再令，对其求导，根据导数的方法求出其最值，即可结合题中条件求出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 5．（2024·福建·三模）函数，其中为整数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）当时，可得恒成立；当时，转化问题为对于恒成立，设，，进而利用导数分析求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）当时，，则恒成立， 当时，由，得， 即，则， 即对于恒成立， 设，， 则， 当时，显然恒成立，则函数在上单调递增， 则，满足题意； 当时，令，即，解得， 此时函数在上单调递减， 则，不满足题意. 综上所述，的最大值为2. 技法02 用洛必达法则的解题技巧 洛必达法则，作为求解极限的一种工具，在特定条件下，通过分别对分子和分母进行求导，然后计算极限，来确定未定式极限值的方法。关于洛必达法则的详细应用，通常在大学高等数学课程中介绍。在这里，我们将以高中生能够理解的方式进行说明，以便于备考时使用。 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 （全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围 思路详解：解: 记 , 则 则 所以, 在 单调递增, 且 所以 时, 时, 即 在 上单调递减, 在 上单调递增 所以 所以 分析 上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以 1．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围 思路详解：解: 记 , 则 记 则 所以, 在 单调递增, 所以 所以, 在 单调递增, 所以 即在 上 , 所以 在 上单调递增 所以 所以 2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范围 思路详解：解: 记 , 则 则 所以, 当 时, 单调递减, 所以 即 所以 所以 所以 1．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围. 【详解】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 2．已知函数. (1)若在时有极值，求函数的解析式； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可； 小问2：根据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数分析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由在处取极值，得，求得， 当时，；当时，； 则在时有极大值，符合题意， 所以； （2）当时，，即. ①当时，； ②当时，等价于，也即. 记，，则. 记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而 在上单调递增，所以， 由洛必达法则有：，即当时，，所以 ，即有， 综上所述，当，时，成立． 3．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【详解】（1）设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）设，则， 设， 则， 所以，得. （3）令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化. 技法03 拉格朗日中值定理的解题技巧 近年来，以高等数学为基础的高考题目成为关注焦点。许多省份的模拟试卷和高考试卷中涉及导数的问题，通常可以通过拉格朗日中值定理来解答。本文旨在提供高阶拓展内容，通过运用拉格朗日中值定理来解题，展示了从更高视角解题的优势，并要求学生能够灵活运用所学知识。 1.拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 3. 需要注意的地方（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于 切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 4. 拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 设 , 求证: 当 时, 对任意 , 有 思路详解：证明: 由拉格朗日中值定理可知只需证 对 恒成立 由 , 因为 所以 则 1．设 , 当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围 思路详解：解: 由拉格朗日中值定理, 可知必存在 , 使得 , 当 且 时, 由题意 , 即 2．（2023全国高考真题）设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围 思路详解：解: 时, 等价于 , 由拉格朗日中值定理, 存在 使得 , 故只需 恒成立即可 又 , 所以 1．（2024·山东济宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，，数列的前项和为．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据导函数对进行分类讨论即可； （2）先构造函数，可判断在区间上单调递减，构造函数，根据其单调性，可判断，，进而可判断，，进而结合根的存在性定理可证； （3）先令，时，，即，可得，放缩后裂项相消可证. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①若，恒成立，在上单调递增． ②若，时，，单调递增； 时，，单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）证明：令， 则 因为， 所以，在区间上单调递减． 令，，则， 所以，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，， 又，所以，，所以恒成立， 又因为，，所以，． 同理可得，， 由（时等号成立）得，，即（时等号成立）， 又，所以，所以恒成立， 又因为，，，所以，， 所以，区间上存在唯一实数，使得， 所以对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）证明：当时，由（1）可得，在上单调递减． 所以，时，，即． 令，，则， 即，即 令，，则， 所以，， 所以，. 【点睛】关键点点睛：第二问证明方程在区间上具有唯一解，可根据函数的单调性，和根的存在性定理综合判断； 第三问，先利用函数对进行放缩，后利用裂项相消法证明. 2．已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有． 【答案】（Ⅰ），在单调递增；，在单调递减，在单调递增；，在单调递减，在单调递增； （Ⅱ）详见解析． 【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于0，可得，比较两根的大小，并讨论是否在其定义域内，通过导数的正负情况，得函数的单调增减区间； （Ⅱ）可将转化为时．令 ，即证当时在上单调递增即可．求导，讨论导数的正负得函数的增减区间． 【详解】解：（Ⅰ）的定义域为． （ⅰ）若即，则，故在单调递增； （ⅱ）若，而，故，则当时，； 当及时， 故在单调递减，在单调递增． （ⅲ）若，即，当时，，单调递减，当，时，，单调递增． （Ⅱ）令 则 由于，故，即在单调递增，从而当时有，即，故，当时，有 3．已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解； （2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 【详解】解：（1）当时，由已知得， 所以，令得， 即时，；时，； 故单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由得，所以在单调递减， 设从而对任意， 恒有， 即， 令，则等价于在单调递减， 即恒成立，从而恒成立， 故设， 则 ， 当时，为减函数， 时，，为增函数. ∴, ∴a的取值范围为. 【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证． 4．已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若，对恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，设.若正实数，满足，，，证明：. 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下根据导函数的正负求得函数的单调区间； （2）通过分离变量得到，令，利用导数可求得最大值，由此得到； （3）设，以为变量，令，通过判断导函数的正负可确定在上单调递增，得到，从而得到结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为，， 令，则， ①当时，，即恒成立， 函数的单调递增区间为；无单调递减区间； ②当时，令， 解得：，，可知， 当和时，，即； 当时，，即； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 综上所述：①当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）对恒成立，即为对任意的，都有， 设，则， 令，则， ∴在上单调递减，又， ∴当时，，即，单调递增； 当，，即，单调递减， ∴， ∴实数的取值范围为. （3）证明：当时，， 不妨设，以为变量，令， 则 且， ，即，又为增函数， ； ，，在上单调递增， ，， 即. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调区间的讨论、恒成立问题的求解、构造函数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数单调性的求解问题，通过求解函数单调性得到函数值的大小关系，进而整理得到不等式. 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意的恒成立，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后分和讨论导数的正负即可； （2）当时，代入函数求出，当时，分离参数并构造函数，求导后再次构造函数，再求导分析单调性，最终求出即可； 【详解】（1）， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，符合题意，此时； 当时，因为恒成立，即恒成立， 令，则， 再令，则恒成立， 则在单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解； （2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，，利用导数求得其最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，显然成立，此时可为任意实数； 当时，由，在上恒成立，得， 令，， 则， 设，由（1）可知，在上单调递增，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则，所以， 综上，实数的取值范围为. 3．（2024·四川遂宁·二模）已知函数． (1)若在区间存在极值，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得； （2）设，原问题即为在时恒成立，多次求导后，对时及时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由，得， 当时，，则单调递增，不存在极值， 当时，令，则， 若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以是的极小值点， 因为在区间存在极值，则，即， 所以，在区间存在极值时，的取值范围是； （2）由在时恒成立， 即在时恒成立， 设，则在时恒成立， 则， 令，则， 令，则， 时，，则，时，，则， 所以时，，则即单调递增， 所以，则即单调递增， 所以， ①当时，，故，，则单调递增， 所以， 所以在时恒成立， ②当时，， ， 故在区间上函数存在零点，即， 由于函数在上单调递增，则时，， 故函数在区间上单调递减， 所以，当时，函数，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到，从而通过对及进行分类讨论. 4．已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增． (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负确定函数单调性， （2）将问题转化为恒成立，构造函数，求导确定函数单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 从而函数在上单调递增． （2）因为，所以， 又， 恒成立等价于恒成立． 记，所以． 令，所以． 设，从而， 则在上单调递增， 故有，则在上单调递增， 即在上单调递增，故有． 当时，，此时单调递增， 从而，满足题意． 当时，，且在上单调递增，，， 故存在满足， 当，则在上单调递减， 所以当时，，不满足题意． 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值，无极小值； (2). 【分析】（1）把代入，并求出函数，再利用导数探讨极值即可得解. （2）变形给定不等式，证明并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值即得. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得，由，得，由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）函数，，， 设，，求导得，函数在上单调递减， 则，即，因此， 令，，求导得， 令，，求导得，当时，， 当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 则，即，因此函数在上是增函数，， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 6．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合． 【答案】的取值集合为 【分析】以为分界点对不等式进行讨论，利用导数与函数单调性的关系，以及不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】恒成立，即． 当时显然成立，即． 当时，，令，则， 令，则，所以递增， 所以，所以在上恒成立． 所以在上递增， 根据洛必达法则得，，所以． 同理，当时，． 综上所述，的取值集合为． 7．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值. 【详解】∵，∴． ∴当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 若当时，恒有成立，即恒有成立． 当时，不等式恒成立． 当时，恒有成立， 即，令， 则． 令，则，进一步， ∴ 在上单调递减，∴． ∴在上单调递减，∴． 即在上恒成立，∴在上单调递减． ∴，∴． 综上，的取值范围为． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若且恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，得到，求出导函数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可得出答案； （2）因为，分离参数可得.构造函数，根据的导函数，得出的单调性，进而得出函数的最大值为，即可得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 可得，故， 所以函数在点处的切线方程为. （2）由已知，所以， 由，得. 因为，所以上式可化为. 令，则， 令，则. 因为，所以，所以为上的减函数，且， 故时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在在上为单调递减. 所以，当时，取得极大值，也是最大值. 则要使在上恒成立，则应有. 又因为，故. 9．已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值； （2）分类参数，设，利用导数求函数的最大值，即可得的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ； （2），， ， 令，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ， ，即的取值范围是. 10．已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）增区间为，无减区间；（2）. 【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间； （2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围； 【详解】（1）由解析式知：的定义域为且， 令，则 ∴当时，；当时，， ∴在单调递减，在单调递增，即， ∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间. （2）解法1：直接求导，分类讨论. 对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立. 令，则， 令，则，由知：， ①当，即时， 即，即在上单调递减，又， ∴时，，即在上单调递减，又， ∴时，，符合题意. ②若，即， 当时，， ∴在单调递增，即时，， 故不恒成立，不合题意. ③若，则恒成立，所以在单调递增. ∴时，，即在单调递增， 又时，，即恒成立，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 解法2： 对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 令，则，记， ①当时，，此时，在单调递减，又， 所以时，，即对任意，恒成立. ②当时，，在上单调递增，又， 所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意. ③时，不等式化为，显然不成立. ④当且时，方程的二根为，， 若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立； 若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立. 综上所述，的取值范围是. 解法3：参数分离 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 记，则 ， 记， 则， 所以在单调递减，又，所以，时，，即， 所以在单调递减.所以， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛： （1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间； （2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围. 11．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，证明：对任意，，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的方程即可； （2）利用题设条件转化为证，构造函数，运用导数的知识推证. 【详解】（1）当时，，，切点为 求导，切线斜率 曲线在处的切线方程为． （2），的定义域为，求导， 在上单调递减． 不妨假设，∴等价于 ． 即． 令，则． ，，． 从而在单调减少，故，即， 故对任意 ． 【点晴】方法点睛：本题考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力，本题的第一问借助导数的几何意义求切线方程；第二问求解时先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证． 12．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性； （2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立. 【详解】（1）. 当时，，令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当，即时，恒成立，所以在上单调递增. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）证明：由题意得，. 要证， 只需证， 即证， 即证. 令， 所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立. 令，则， 令，则. 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 所以. 所以. 13．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并设，讨论函数的对称轴和最小值，从而判断函数的单调性. （2）根据（1）的结果，可知，，并且由韦达定理得到，，并将不等式整理为，再利用换元，并构造函数，利用导数判断单调性，即可证明. 【详解】（1），令， 注意到，对称轴，故， （i）当时，即，此时在上单调递增，即， 从而，即在上单调递增； （ii）当时，， 若，即时 ，恒成立， 从而，即在上单调递增； 若，即时， 存在有， 其中，， 从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增； 综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则， 此时满足，， 不妨设，此时有， 从而原不等式转化为： 将及代入有： ， 化简即得：，即证， 由，可得，令， 设，则， 故在上单调递增，， 故原不等式成立 【点睛】关键点睛：本题考查讨论函数单调性和双变量，证明不等式问题，本题第二问的关键是利用韦达定理，得及，从而代入不等式，进行消元，转化为，才可构造函数，进行证明. 14．已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求得函数的单调性； （2）将转化为，再根据，即证，构造函数，证明其小于0即可. 【详解】（1）因为函数，定义域为， 所以， 当时，在上恒成立，所以在单调递增； 当时，令，即，解得， 令，解得或， 所以在单调递增，在单调递减； （2）由题可知，，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根， 则， 所以 ， 所以，要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以，在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 15．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. (1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； (2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)若，且，求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可； （2）不妨设，，，则，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再结合拉格朗日中值定理证明即可； （3）由拉格朗日中值定理可知只需证明，即证明在上单调递减，求出导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【详解】（1）当时，则， 因为为函数在上的“拉格朗日中值点， 则， 即，解得 （2）当时， 不妨设，，，则， 又，令， 则， 又，所以恒成立， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以，所以， 由拉格朗日中值定理可知必存在使得， 即，又，所以， 即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）当时， 由拉格朗日中值定理知，存在和， 使得，， 所以只需证明，即证明在上单调递减， 又， 令， 则， 令， 则， 当时， 令，，则，则在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 所以当时，则，即单调递增， 当时，则，即单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以 ， 所以，所以在上单调递减， 即在上单调递减，命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型05 3类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理） 技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 技法02 用洛必达法则的解题技巧 技法03 拉格朗日中值定理的解题技巧 本节导航 技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 在导数相关的题目中，我们经常遇到恒成立问题，特别是涉及参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，已成为热点和重点题型。解决这类问题的方法多种多样，常见的方法包括： ①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值; ②直接（或移项转化）求导＋分类讨论. 但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。 基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 1．已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 4．（2024·广东·模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 5．（2024·福建·三模）函数，其中为整数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的最大值. 技法02 用洛必达法则的解题技巧 洛必达法则，作为求解极限的一种工具，在特定条件下，通过分别对分子和分母进行求导，然后计算极限，来确定未定式极限值的方法。关于洛必达法则的详细应用，通常在大学高等数学课程中介绍。在这里，我们将以高中生能够理解的方式进行说明，以便于备考时使用。 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 （全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围 1．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围 2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范围 1．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 2．已知函数. (1)若在时有极值，求函数的解析式； (2)当时，，求的取值范围. 3．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 技法03 拉格朗日中值定理的解题技巧 近年来，以高等数学为基础的高考题目成为关注焦点。许多省份的模拟试卷和高考试卷中涉及导数的问题，通常可以通过拉格朗日中值定理来解答。本文旨在提供高阶拓展内容，通过运用拉格朗日中值定理来解题，展示了从更高视角解题的优势，并要求学生能够灵活运用所学知识。 1.拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 3. 需要注意的地方（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于 切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 4. 拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 设 , 求证: 当 时, 对任意 , 有 1．设 , 当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围 2．（2023全国高考真题）设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围 1．（2024·山东济宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，，数列的前项和为．证明：． 2．已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有． 3．已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 4．已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若，对恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，设.若正实数，满足，，，证明：. 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意的恒成立，求的范围. 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 3．（2024·四川遂宁·二模）已知函数． (1)若在区间存在极值，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 4．已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围． 5．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合． 7．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若且恒成立，求a的取值范围. 9．已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 10．已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 11．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，证明：对任意，，． 12．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 13．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明： 14．已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 15．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. (1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； (2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)若，且，求证:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$