专题02 线段中双（多）中点模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题02 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 6 12 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 例2．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 例3．如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 例4．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    例2．如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点、在数轴上所对应的数分别为、．若将向左平移个单位，向右平移个单位．当点、为线段的三等分点时，则的值为 ．    例3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 例4．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 一、单选题 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 3．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 4．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 二、填空题 5．已知线段，点是直线上一点，，若为中点，为中点，则线段的长度为 ． 6．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 7．如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 ． 8．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 三、解答题 9．如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 10．如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 11．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 12．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 13．如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 14．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 15．已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 16．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    17．【阅读与思考】定义：线段上的一个点把这条线段分成相等的两条线段，则称这个点是这条线段的二等分点（中点），显然，一条线段的二等分点有1个，如图①； 若线段上的两个点把这条线段分成相等的三条线段，则称这两个点是这条线段的三等分点，如图②，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个． 【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个； 【知识运用】（2）如图④，已知，点P是的一个三等分点，求的长． 【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段的三等分点时，求t的值． 18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 6 12 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可． 【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 例2．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又， ，解得， （）， 即线段的长为． 故答案为：． 例3．如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 【答案】说明见解析 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得，再根据线段中点的定义及表示出，即可说明问题．解题的关键是理解线段的中点定义：一条线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分为相等的两条线段． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 由题意及图形知：点在线段上， 即是线段的中点． 例4．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 例2．如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点、在数轴上所对应的数分别为、．若将向左平移个单位，向右平移个单位．当点、为线段的三等分点时，则的值为 ．    【答案】或6 【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的性质、线段n等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知，再根据分点、的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵点、在数轴上所对应的数分别为、， ∴，即等边三角形的边长为， ∵向左平移个单位，向右平移个单位， ∴点、是线段的三等分点分两种情况： ①点在点的左边时，如图所示， ∵、是线段的三等分点， ∴， ∵，， ∴， 解得：；    ②点在点的右边时，如图所示， ∵、是线段的三等分点， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上可知：．当点、为线段的三等分点时，则的值为或． 故答案为：或．    【点睛】本题考查等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等．也考查了平移的性质、数轴上两点之间的距离、三等分点的意义和一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 例3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考出来线段的和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，进而求出，则，由此即可得到； （2）设，则，．根据题意，得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则，，． 根据题意，得， 解得． ∴的长为． 例4．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 一、单选题 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要查了线段中点的定义．根据线段中点的性质，可得根据线段的和差，可得的长． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点． ∴， ∴． 故选：B 3．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 4．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 二、填空题 5．已知线段，点是直线上一点，，若为中点，为中点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 本题需要分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时， 是的中点，是的中点， ， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 6．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 7．如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了三角形的面积，点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积， 解题的关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比． 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 8．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【知识点】线段n等分点的有关计算、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题 9．如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（）根据，，得，据此可得的长； （）根据，为的中点得，再由（）可知，则，然后根据为的中点得，由此可得的长． 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是线段上的一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，为的中点， ∴， 由（）可知， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴． 10．如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，能求出是解此题的关键． （1）根据线段的中点求出，求出即可； （2）根据（1）得出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴ ， 即的数量关系是； （2）解：由（1）知：， ∴， 即． 11．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 12．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 13．如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可 （2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 （3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 【详解】（1）、为线段AC，BC的中点 （2） ， （3） ， 【点睛】本题考查了线段等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键． 14．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1)， (2)或或 【知识点】线段中点的有关计算、数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题； （1）由线段关系可求，，即可求解； （2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解； 当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求； 掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， ， 点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案：，； （2）解：，理由如下： 如图，当在的左边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在、之间时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在之间右边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 综上所述：； 第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，，则， ； ； 第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ； 第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，，则， ∴ ； 第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 综上所述，或或． 15．已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【知识点】线段中点的有关计算、乘方的应用、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得； （3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 16．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，② ，③，即可求解； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， 解得：， (ⅱ)如图，   ， ，， ， ， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； (ⅱ)如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 17．【阅读与思考】定义：线段上的一个点把这条线段分成相等的两条线段，则称这个点是这条线段的二等分点（中点），显然，一条线段的二等分点有1个，如图①； 若线段上的两个点把这条线段分成相等的三条线段，则称这两个点是这条线段的三等分点，如图②，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个． 【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个； 【知识运用】（2）如图④，已知，点P是的一个三等分点，求的长． 【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段的三等分点时，求t的值． 【答案】（1）4，；（2）14 或7 ；（3）t的值为或6 【知识点】线段n等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，数形结合是解答本题的关键． （1）根据图①，图②，图③总结规律即可求解； （2）分两种情况求解即可； （3）分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵一条线段的二等分点有1个， 一条线段的三等分点有2个， 一条线段的四等分点有3个， …， ∴一条线段的五等分点有4个， 一条线段的n等分点有个， 故答案为：4， （2）当时，； 当时，． 所以的长为14 或7 ； （3）当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 所以当或6时，点P是线段的三等分点 18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$