精品解析：四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题

泸州市老窖天府中学2024-2025学年上期高一期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D 若且， 则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可． 【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误； 选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误； 选项C，当时，有，，， 则，有，C选项错误； 选项D，且，则，， 则，得，D选项正确． 故选：D． 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，且，在上单调递增，A选项正确. B选项，在上单调递减，B选项错误. C选项，是偶函数，C选项错误. D选项，在上单调递减，C选项错误. 故选：A 4. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据明天充分必要性直接判断. 【详解】由可知， 又可得或，不能说明， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 5. 设函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中（单位：万辆）为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（　　）（结果四舍五入保留整数，参考数据：） A. 65万辆 B. 64万辆 C. 63万辆 D. 62万辆 【答案】B 【解析】 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值， 则2033年底该省新能源汽车的保有量为， 因为，所以， 所以， 所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆. 故选：B. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可． 【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，所以， 即当时， 又对任意，都有，则关于对称，且， ，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点， 得函数与的图像在上有个不同的交点，又， 当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 综上可得. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于幂函数说法正确的是（ ） A. 图像必过点 B. 可能是非奇非偶函数 C. 都是单调函数 D. 图像不会位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误. 【详解】幂函数的解析式为， 当时，无论取何值，都有， 图像必过点，A选项正确； 当时，，定义域为，此函数为偶函数， 当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数， 所以可能是非奇非偶函数，B选项正确； 当时，，此函数先单调递减再单调递增， 则都是单调函数不成立，C选项错误； 当时，无论取何值，都有， 所以图像不会位于第四象限，D选项正确； 故选：ABD. 10. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】实数，且满足， 选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立， 则有最小值4，B正确； 选项C：， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，C正确； 选项D：由， 当且仅当时等号成立， 所以，即有最大值，D错误. 故选：ABC. 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 设函数，将点代入函数的解析式，然后利用对数的运算性质可计算出的值. 【详解】设函数，则，得，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，同时也考查了对数的计算，考查计算能力，属于基础题. 13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合圆的面积公式，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，即, 即，解得（）, 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围. 【详解】取则有，所以， 取则有， 所以为奇函数， 任意则， 因为， 所以， 令， 则有， 即， 所以在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 令，所以， 所以， 因为对任意，恒成立， 所以对任意恒成立， 分离变量可得， 因为函数对任意恒成立， 所以， 所以解得， 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的方程有实根，集合. （1）求的取值集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解； （2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 方程有实根， 若，该方程无解； 若，则，解得或， 综上，. 【小问2详解】 若，则， 当时，，符合题意； 当时，， ∵，∴或，∴， 综上，. 16. 已知函数， （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围： （3）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）原式化简得，按的不同取值分类讨论即可； （2）根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式组，解出即可； （3）分离参数，利用均值不等式求解即可. 【小问1详解】 由整理得， 所以， （i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为； 综上所述，（i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为． 【小问2详解】 方程有两个小于的不等实根， 所以，解得， 故的取值范围为． 【小问3详解】 对任意的，恒成立， 即恒成立，即对任意的，恒成立． ①时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以， 综上． 17. 函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）先根据三角函数图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值. 【小问1详解】 由图可知，， ∵ ， ∴ ， ， 又， ∴ ，， 解得 ，，由可得， ∴． 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，则当时，； 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，∴； 由对称性可知， ∴ ，∴， ∴ . 18. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 【答案】（1）， （2）模型①是“理想函数模型”，理由见解析 （3）（百万个 【解析】 【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可； （3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可. 小问1详解】 当时，， 由图表数据可得， ，， 联立上式，解方程可得，， 则； 当时，， 由图表数据可得， 联立上式，解方程可得， 则； 【小问2详解】 考虑①，由， 可得，而 ， 可得模型①是“理想函数模型”； 考虑②，由，可得 而， 所以模型②不是“理想函数模型”； 【小问3详解】 由（2）可得时， （百万个 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，取，然后判断出不存在，由此可作出判断； （2）根据定义，当时，用表示出，判断出对应函数单调性并求解出值域，根据值域与的包含关系求解出结果； （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 假设是区间上的“阶自伴函数”， 不妨取，则，由可得， 此时无解，所以假设不成立， 所以不是区间上的“阶自伴函数”. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得. 【小问3详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因，所以， 所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的， 又，对称轴，且， 当时，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：函数不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市老窖天府中学2024-2025学年上期高一期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且， 则 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，则（    ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中（单位：万辆）为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（　　）（结果四舍五入保留整数，参考数据：） A. 65万辆 B. 64万辆 C. 63万辆 D. 62万辆 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于幂函数说法正确是（ ） A. 图像必过点 B. 可能是非奇非偶函数 C. 都单调函数 D. 图像不会位于第四象限 10. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则的值为________． 13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 14. 已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的方程有实根，集合. （1）求的取值集合； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数， （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围： （3）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 17. 函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值． 18. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $