黄金卷02（南通专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　） A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元 2．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（　　） A．0.2022×1014 B．20.22×1012 C．2.022×1013 D．2.022×1014 3．下列运算中正确的是（　　） A．2 B．3 C． D．（）2＝4 4．一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（　　） A．6 B．12 C．12 D．124 5．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　） A．29° B．32° C．42° D．58° 6．某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．2800（1+x）2＝9800 B．2800（1+x%）2＝9800 C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800 D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800 7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1 8．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 9．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法： ①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的； ②乙用了4个小时到达目的地； ③乙比甲先出发1小时； ④甲在出发4小时后被乙追上． 在这些说法中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，点P是矩形ABCD对角线AC上异于A、C一动点，PB绕点P顺时针旋转90°交射线DC于E，以PE、PB为邻边作矩形BPEF，PH垂直射线DC于H，反向延长交AB于G，当AD＝3，AB＝4时，下列结论： ①△PGB∽△EHP； ②； ③矩形BPEF的面积的最小值为； ④当△PCE是以PC为底的等腰三角形时，AP． 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11~12 题每小题 3 分，第 13~18 题每小题 4 分，共 30分） 11．因式分解：a3﹣9ab2＝　a（a﹣3b）（a+3b）　． 12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　90　°． 13．若ac＜0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　有两个不相等的实数根　． 14．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为　（2+2）　km． 15．菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为 　24cm2　． 16．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　12　． I/A 10 2.4 2 1.2 R/Ω a 50 60 100 17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝3，则AC的长等于　　． 18．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　． 三、解答题（本大题共8 小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）计算：﹣4x2（3x+1）； （2）解方程：1． 20．（10分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80． 注：分数在80分以上（不含80分）为优秀． 为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表： 成绩等级 分数（单位：分） 学生数 D级 60≤x≤70 a C级 70＜x≤80 9 B级 80＜x≤90 b A级 90＜x≤100 2 八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表： 年级 平均数 中位数 优秀率 八年级 77 c 25% 九年级 78.5 82.5 50% （1）根据题目信息填空：a＝　6　，b＝　3　，c＝　77.5　； （2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 　小明　更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）； （3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数． 21．（10分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，∠C+∠ABE＝180°，BE＝AC，连接DE，试说明：BC∥DE． 22．（10分）如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率． 23．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积． 24．（12分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？ 25．（13分）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）， （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　（t，3t）　； （2）若该函数经过点（1，﹣6）； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值； （3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 26．（13分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　） A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元 【答案】D 【解析】解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元． 故选：D． 2．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（　　） A．0.2022×1014 B．20.22×1012 C．2.022×1013 D．2.022×1014 【答案】C 【解析】解：100亿＝1010， 1010×2022＝2.022×1013， 故选：C． 3．下列运算中正确的是（　　） A．2 B．3 C． D．（）2＝4 【答案】C 【解析】解：A、原式＝4，故A不符合题意． B、原式，故B不符合题意． C、原式，故C符合题意． D、原式＝2，故D不符合题意． 故选：C． 4．一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（　　） A．6 B．12 C．12 D．124 【答案】A 【解析】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且边长为，高为3， 这个几何体的体积， 故选：A． 5．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　） A．29° B．32° C．42° D．58° 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠DAD′＝58°， 又∵矩形纸片ABCD沿AC折叠， ∴∠2＝∠CAD′， 又∵∠DAD′＝∠2+∠CAD′＝2∠2＝58°， ∴∠2＝29°． 故选：A． 6．某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．2800（1+x）2＝9800 B．2800（1+x%）2＝9800 C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800 D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800 【答案】D 【解析】解：设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x， 依题意，得：2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800． 故选：D． 7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1 【答案】C 【解析】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9）， ∴y＝a（x+2）2﹣1， 把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1， ∴a＝﹣2， ∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1， 故选：C． 8．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 【答案】C 【解析】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab ＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和 ＝13+（13﹣1） ＝25， 故选：C． 9．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法： ①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的； ②乙用了4个小时到达目的地； ③乙比甲先出发1小时； ④甲在出发4小时后被乙追上． 在这些说法中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：由图象可得， 甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故①正确； 乙用了3个小时到达目的地，故②错误； 乙比甲晚出发1小时，故③错误； 甲在出发4小时后被乙超过，故④错误； 由上可得，正确的是①， 故选：A． 10．如图，点P是矩形ABCD对角线AC上异于A、C一动点，PB绕点P顺时针旋转90°交射线DC于E，以PE、PB为邻边作矩形BPEF，PH垂直射线DC于H，反向延长交AB于G，当AD＝3，AB＝4时，下列结论： ①△PGB∽△EHP； ②； ③矩形BPEF的面积的最小值为； ④当△PCE是以PC为底的等腰三角形时，AP． 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】①证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°， ∴∠PBG＝∠EPH， ∴△PGB∽△EHP； ②解：连接BE， ∵PE⊥PB， ∴∠BPE＝90°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠BCE+∠BPE＝180°， ∴P，B，E，C四点共圆， ∴∠PBE＝∠PCE， 在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BPE＝90°，∠ACD＝∠PBE， ∴Rt△BPE∽Rt△ADC， ∴， 即； ③解：设AP的长为x． ∵AD＝3，AB＝4， ∴由勾股定理得到：AC5 ∵cos∠GAP， ∴AGAPx． 同理，sin∠GAP．则GPx． 在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4x）2+（x）2＝x2x+16， ∵． ∴PEPB， ∴S矩形BPEF＝PB•PEPB2（x2x+16）（x）2， ∵0＜x＜5， ∴x时，S有最小值； ④当PE＝CE，则∠EPC＝∠ECP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∵PE⊥PB， ∴∠BPE＝90°， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴BP＝BC． 过点B作BF⊥AC于点F，则PF＝CF． ∵cos∠FCB， ∴， ∴FC， ∴PF， ∴AP＝AC﹣PC＝5． 正确结论①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11~12 题每小题 3 分，第 13~18 题每小题 4 分，共 30分） 11．因式分解：a3﹣9ab2＝　a（a﹣3b）（a+3b）　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）． 故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）． 12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　90　°． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得， 2π×3， 解得n＝90． 故答案为：90． 13．若ac＜0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　有两个不相等的实数根　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意可知：a≠0， ∵Δ＝b2﹣4ac，ac＜0， ∴Δ＞0， 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为　（2+2）　km． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：如图所示，延长AB，过点C作CD垂直于AB延长线，垂足为D， 由题意知∠CBD＝45°，∠A＝30°，AB＝2km， 设BD＝CD＝x， 在Rt△ACD中，由tanA可得， 解得x＝1，即CD＝1， 则AC＝2CD＝2+2（km）， 故答案为：（2+2）． 15．菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为 　24cm2　． 【答案】24cm2． 【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， ∴菱形面积6×8＝24（cm2）， 故答案为：24cm2． 16．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　12　． I/A 10 2.4 2 1.2 R/Ω a 50 60 100 【答案】12． 【解析】解：设电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I， ∵当I＝2时，R＝60， ∴2， 解得k＝120， ∴I， 当I＝10时，10， 解得R＝12， 故答案为：12． 17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝3，则AC的长等于　　． 【答案】． 【解析】解：设AD，BE交于点G，过D点作DF∥BE， ∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE， ∴F为EC中点，AD⊥DF， ∵AD＝BE＝6，则DF＝3，， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABG＝∠DBG， 又∵AD⊥BE， ∴∠AGB＝∠DGB＝90°， 在△ABG和△DBG中， ， ∴△ABG≌△DBG（AAS）， ∴G为AD中点， ∴E为AF中点， ∴． 故答案为：． 18．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x0； 设x2﹣2x0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn； m﹣n； 根据三角形三边关系定理，得： m﹣n＜1＜m+n，即1＜2； ∴，解得3＜k≤4． 三、解答题（本大题共8 小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）计算：﹣4x2（3x+1）； （2）解方程：1． 【答案】（1）﹣12x3﹣4x2； （2）x． 【解析】解：（1）﹣4x2（3x+1） ＝﹣4x2•3x﹣4x2•1 ＝﹣12x3﹣4x2； （2）1， 1， 方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1）， 3x＝2x+3x+3， 3x﹣2x﹣3x＝3， ﹣2x＝3， x， 检验：当x时，3（x+1）≠0， 所以分式方程的解是x． 20．（10分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80． 注：分数在80分以上（不含80分）为优秀． 为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表： 成绩等级 分数（单位：分） 学生数 D级 60≤x≤70 a C级 70＜x≤80 9 B级 80＜x≤90 b A级 90＜x≤100 2 八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表： 年级 平均数 中位数 优秀率 八年级 77 c 25% 九年级 78.5 82.5 50% （1）根据题目信息填空：a＝　6　，b＝　3　，c＝　77.5　； （2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 　小明　更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）； （3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据频数统计的方法可得， 成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6， 成绩在80≤x≤90的有3人，即b＝3， 八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为77.5（分），因此中位数是77.5，即c＝77.5， 故答案为：6，3，77.5； （2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是77．（5分），而九年级学生成绩的中位数是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此八年级的小明排名靠前； 故答案为：小明； （3）700×50%＝350（人）， 答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人． 21．（10分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，∠C+∠ABE＝180°，BE＝AC，连接DE，试说明：BC∥DE． 【答案】见解析． 【解析】解：∵∠C+∠ABE＝180°，∠DBE+∠ABE＝180°， ∴∠C＝∠DBE， 在△ABC与△EBD中， ， ∴△ABC≌△EBD（SAS）， ∴∠ABC＝∠D， ∴BC∥DE． 22．（10分）如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：列表得： A1 B1 C1 A AA1 AB1 AC1 B BA1 BB1 BC1 C CA1 CB1 CC1 由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果， ∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为． 23．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积． 【答案】（1）见解答； （2）π． 【解析】（1）证明：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠CBD＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC； （2）解：连接DE、OD、OF，如图， ∵AB＝8，E是AO的中点， ∴AE＝OE＝OB， 在Rt△AOD中，DEOE， ∴DE＝OD＝OE， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∵OD∥BC， ∴∠FBO＝∠DOE＝60°， ∵OF＝OB， ∴△FBO为等边三角形， ∴∠BOF＝60°， ∴S扇形BOFπ． 24．（12分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？ 【答案】（1）A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元； （2）茶具店老板最多能购进A种茶具30套． 【解析】解：（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元； （2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套， 由题意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240， 解得：m≤30， 答：茶具店老板最多能购进A种茶具30套． 25．（13分）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）， （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　（t，3t）　； （2）若该函数经过点（1，﹣6）； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值； （3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【答案】（1）（t，3t）； （2）①函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）； ②M﹣N的值为； （3）﹣4≤c≤5． 【解析】解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t）， 故答案为：（t，3t）； （2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c， 解得：c＝﹣4， ∴y＝﹣x2﹣x﹣4， 将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4， 解得：t1＝t2＝﹣2， ∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）； ②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x）2， ∴M， 当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10， 当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6， ∴N＝﹣10， ∴M﹣N（﹣10）； （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点， 令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0， 解得：c≥﹣4； 把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9， ∴﹣9≥﹣6+c， 解得：c≤﹣3； 把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3， ∴3≥﹣2+c， 解得：c≤5， 综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5． 26．（13分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由见解析部分； （2）①结论：AM＝BE．理由见解析部分； ②． 【解析】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下： ∵∠BED＝90°， ∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°， ∵∠ABE＝∠A， ∴AC∥BE， ∴∠CGE＝∠BED＝90°， ∵∠C＝90°， ∴四边形BCGE为矩形． ∵△ACB≌△DEB， ∴BC＝BE． ∴矩形BCGE为正方形； （2）①结论：AM＝BE． 理由：∵∠ABE＝∠BAC， ∴AN＝BN， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AN， ∵AM⊥BE，即AM⊥BN， ∴， ∵AN＝BN， ∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC， ∴AM＝BE． ②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G， ∵△ACB≌△DEB， ∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE， ∴∠CBE＝∠DBM， ∵∠CBE＝∠BAC， ∴∠D＝∠BAC， ∴MD＝MB， ∵MG⊥BD， ∴点G是BD的中点， 由勾股定理得 ， ∴， ∵， ∴DM，即 ， ∴， ∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH＝∠BME， ∴△AMH∽△BME， ∴， ∴，即AH的长为 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C A A D C C A D 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．a（a﹣3b）（a+3b）． 12．90． 13．有两个不相等的实数根． 14．（2+2）． 15．24cm2． 16．12． 17．． 18．3＜k≤4． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解：（1）﹣4x2（3x+1） ＝﹣4x2•3x﹣4x2•1 ＝﹣12x3﹣4x2；（6分） （2）1， 1， 方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1）， 3x＝2x+3x+3， 3x﹣2x﹣3x＝3， ﹣2x＝3， x，（10分） 检验：当x时，3（x+1）≠0， 所以分式方程的解是x．（12分） 20．解：（1）根据频数统计的方法可得， 成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6， 成绩在80≤x≤90的有3人，即b＝3， 八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为77.5（分），因此中位数是77.5，即c＝77.5， 故答案为：6，3，77.5；（3分） （2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是77．（5分），而九年级学生成绩的中位数是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此八年级的小明排名靠前； 故答案为：小明；（6分） （3）700×50%＝350（人）， 答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人．（10分） 21．解：∵∠C+∠ABE＝180°，∠DBE+∠ABE＝180°， ∴∠C＝∠DBE， 在△ABC与△EBD中， ， ∴△ABC≌△EBD（SAS），（6分） ∴∠ABC＝∠D， ∴BC∥DE．（10分） 22．解：列表得： A1 B1 C1 A AA1 AB1 AC1 B BA1 BB1 BC1 C CA1 CB1 CC1 由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果，（8分） ∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为．（10分） 23．（1）证明：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠CBD＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC；（5分） （2）解：连接DE、OD、OF，如图， ∵AB＝8，E是AO的中点， ∴AE＝OE＝OB， 在Rt△AOD中，DEOE， ∴DE＝OD＝OE， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∵OD∥BC， ∴∠FBO＝∠DOE＝60°， ∵OF＝OB， ∴△FBO为等边三角形， ∴∠BOF＝60°， ∴S扇形BOFπ．（10分） 24．解：（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；（6分） （2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套， 由题意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240， 解得：m≤30， 答：茶具店老板最多能购进A种茶具30套．（6分） 25．解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t）， 故答案为：（t，3t）；（3分） （2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c， 解得：c＝﹣4， ∴y＝﹣x2﹣x﹣4， 将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4， 解得：t1＝t2＝﹣2， ∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；（6分） ②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x）2， ∴M， 当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10， 当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6， ∴N＝﹣10， ∴M﹣N（﹣10）；（9分） （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点， 令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0， 解得：c≥﹣4； 把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9， ∴﹣9≥﹣6+c， 解得：c≤﹣3； 把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3， ∴3≥﹣2+c， 解得：c≤5， 综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5．（14分） 26．解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下： ∵∠BED＝90°， ∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°， ∵∠ABE＝∠A， ∴AC∥BE， ∴∠CGE＝∠BED＝90°， ∵∠C＝90°， ∴四边形BCGE为矩形． ∵△ACB≌△DEB， ∴BC＝BE． ∴矩形BCGE为正方形；（4分） （2）①结论：AM＝BE． 理由：∵∠ABE＝∠BAC， ∴AN＝BN， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AN， ∵AM⊥BE，即AM⊥BN， ∴， ∵AN＝BN， ∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC， ∴AM＝BE．（8分） ②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G， ∵△ACB≌△DEB， ∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE， ∴∠CBE＝∠DBM， ∵∠CBE＝∠BAC， ∴∠D＝∠BAC， ∴MD＝MB， ∵MG⊥BD， ∴点G是BD的中点， 由勾股定理得 ， ∴， ∵， ∴DM，即 ， ∴， ∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH＝∠BME， ∴△AMH∽△BME， ∴， ∴，即AH的长为 ．（13分） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$