黄金卷02（辽宁专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则这个几何体只能是（   ） A． B． C． D． 2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（    ） A．氢气 B．氮气 C．氧气 D．氦气 3．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（   ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6.本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿一条索，索比竿子长一托、对折索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（ ） A．2 B．1 C． D． 10．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接，过点分别作，交于点，，交于点．若，，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11．分式方程的解为 ． 12．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 13．三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是 14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ； 15．如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分） （1）计算： （2）化简： 17．（8分） 今年沈阳市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 18．（8分） 在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对七、八年级的学生在2024年1月至 4月读课外书的数量进行了调查． 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在2024 年1月至4月读课外书的数量，制作了频数分布表． 阅读数量/ 本 1 2 3 4 5 七年级频数/ 人 7 10 15 12 6 八年级频数/ 人 2 10 13 m 4 【数据的描述与分析】 （1）求在扇形统计图中“2 本”对应扇形的圆心角度数，并通过计算补全条形统计图； （2）根据频数分布表分别计算相关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 七年级/ 本 3 y 3 八年级/ 本 x 4 3.3 请直接写出 ，　　　　　； 【数据的应用与评价】 （3）从中位数、众数、平均数中，任选一个统计量，对七、八年级学生的读书情况进行比较，并做出评价． 19．（8分） 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20．（8分） 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 21．（8分）如图，为的直径，为上的一点．    (1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长． 22．（12分）【问题初探】 （1）如图1，在中，，点E在上（且不与点B，C重合），在的外部作，使，，连接，过点A作，过点D作，DF交于点F，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是_____，_____． 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，求的长． 勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形； 创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得的长度． 请结合两个小组的解题思路，写出解题过程． 【迁移拓展】 （3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作过点D作，交于点F，连接，并尝试连接，． 他们发现：若，，当四边形为菱形时．可求得的长度．请完成以下问题： ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 23．（13分） 【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C B D A D A C 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11． 12． 13．或 14．/ 15．/ 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （10分） 17.解：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意， ∴ ∵y为正整数， ∴y为50，51，52，共3中方案； 有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 设总费用为w元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100，∴w随y的增大而减小 ∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元． （8分） 18.解：抽取的总人数为：， ∴“2 本”对应扇形的圆心角度数为：， ，补全条形图如图： （2）七年级读3本数的人数最多，故， 八年级的数据排序后，第25个数据为3，第26个数据为4， ∴； 故答案为：； （3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的中位数、众数、平均数均高于七年级学生的，所以八年级学生的读书情况比七年级学生的读书情况好． （8分） 19.（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． （8分） 20.（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． （8分） 21.（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：， ， ， 为的中位线， ， 为的直径， ， ∴， 为的切线， ， ， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． （8分） 22.（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：平行四边形，； （2）解：如图2．连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴的长为； （3）①解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则 ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，延长交于， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的长为； ②解：当点D在左侧时，如图4，连接，记的交点为， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 同理①，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴为的外角，即三点共线， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图4，记的交点为， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的长为． （12分） 23.（1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． （13分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则这个几何体只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由该几何体的三个方向的视图可知只有A选项的几何体符合题意； 故选A． 2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（    ） A．氢气 B．氮气 C．氧气 D．氦气 【答案】D 【解析】由， ∵， ∴， 所以沸点最低的气体是氦气． 故选：D． 3．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里． 故选：B． 4．如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 5．本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的结果有：，，共2种， ∴选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率为． 故选：D． 6．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为图A是中心对称图形，所以A符合题意； 因为图B不是中心对称图形，所以B不符合题意； 因为图C不是中心对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是中心对称图形，所以D不符合题意． 故选：A． 7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿一条索，索比竿子长一托、对折索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得： ， 故选：D． 8．菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】四边形是菱形， 是等边三角形， 由作图可知， 故选：A． 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，此选项符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 10．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接，过点分别作，交于点，，交于点．若，，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作于，则， 由作图可知，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形四平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11．分式方程的解为 ． 【答案】 【解析】方程两边同乘， 得．解得． 检验：当时，． 原分式方程的解为． 故答案：． 12．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【解析】 由题可知平移后得到点； ∴平移方式是先向右平移3个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴点． 故答案为：． 13．三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是 【答案】或 【解析】 与位似，且面积比是，即， 与的相似比为， 点A的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为或点的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的对应点的坐标是或， 故答案为：或． 14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ； 【答案】/ 【解析】 ∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 15．如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】 如图，连接，过点作于点H， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（1）计算： （2）化简： 【解析】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．今年沈阳市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【解析】 解：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意， ∴ ∵y为正整数， ∴y为50，51，52，共3中方案； 有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 设总费用为w元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100，∴w随y的增大而减小 ∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元． 18．在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对七、八年级的学生在2024年1月至 4月读课外书的数量进行了调查． 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在2024 年1月至4月读课外书的数量，制作了频数分布表． 阅读数量/ 本 1 2 3 4 5 七年级频数/ 人 7 10 15 12 6 八年级频数/ 人 2 10 13 m 4 【数据的描述与分析】 （1）求在扇形统计图中“2 本”对应扇形的圆心角度数，并通过计算补全条形统计图； （2）根据频数分布表分别计算相关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 七年级/ 本 3 y 3 八年级/ 本 x 4 3.3 请直接写出 ，　　　　　； 【数据的应用与评价】 （3）从中位数、众数、平均数中，任选一个统计量，对七、八年级学生的读书情况进行比较，并做出评价． 【解析】 解：抽取的总人数为：， ∴“2 本”对应扇形的圆心角度数为：， ，补全条形图如图： （2）七年级读3本数的人数最多，故， 八年级的数据排序后，第25个数据为3，第26个数据为4， ∴； 故答案为：； （3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的中位数、众数、平均数均高于七年级学生的，所以八年级学生的读书情况比七年级学生的读书情况好． 19．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解析】 （1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 20．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【解析】 （1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 21．如图，为的直径，为上的一点．    (1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长． 【解析】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：， ， ， 为的中位线， ， 为的直径， ， ∴， 为的切线， ， ， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． 22．【问题初探】 （1）如图1，在中，，点E在上（且不与点B，C重合），在的外部作，使，，连接，过点A作，过点D作，DF交于点F，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是_____，_____． 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，求的长． 勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形； 创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得的长度． 请结合两个小组的解题思路，写出解题过程． 【迁移拓展】 （3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作过点D作，交于点F，连接，并尝试连接，． 他们发现：若，，当四边形为菱形时．可求得的长度．请完成以下问题： ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 【解析】 （1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：平行四边形，； （2）解：如图2．连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴的长为； （3）①解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则 ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，延长交于， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的长为； ②解：当点D在左侧时，如图4，连接，记的交点为， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 同理①，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴为的外角，即三点共线， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图4，记的交点为， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的长为． 23．【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$