山西省阳泉市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

姓名： 准考证号： 秘密★启用前 2024-2025学年第一学期高二年级期末质量监测 数学试题 (考试时间120分钟，满分150分) 注意事项： 1.答题前.考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.全部答案在答题卡上完成.答在本试题上无效 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑 如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用05毫米的黑 色笔迹签字笔写在答题卡上 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的 L.已知等差数列{a}的前n项和为S.,若ao=1,则Ss= A.1 B.2025 C.2025 D.4050 2 2已知双角线c:芳-若 =1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为a,B,且满 足α=5B.则C的离心率为 A.2 B.√3 C.√2 n.23 3 3.已知数列{a}的前n项和为S,且a.=(-1)·(n+1)广.则Sm+S= A.188 B.189 C.190 D.191 4.过点P(1,0)向圆x2+y2+2x-4y+m=0可以作两条切线，则实数m的取值范围为 A.(-3.5) B.(-3,+0) C.(-5.3) D.(-,3) 高二数学试题 第1页（共4页） 5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f(x),且满足f(x)+xf(x)=e',若f(1)=0,则f(-1)= A.-e B.-I C.0 e D.e-I e e 6.已知等比数列{a的前n项和为3，若=则。 4” B.To c 店 7.已知点A是抛物线y2=4x上的一个动点，点B是直线y=x+4上的一个动点，则AB的 最小值为 A3② B.4v② C.2 D.2 2 3 8.已知函数f(x)=x(x>0.若(x)≥恒成立，则实数a的最小值为 时 B.In 2 C.1 D.e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线/：kx-y+2-k=0,则下列选项正确的是 A当直线/与直线3x+4+2=0平行时.6 B当直线1与直线3x+4+2=0垂直时k=-号 C直线1与：轴正半轴和y正半轴阁成的三角形面积的最小值是号 D.直线1和圆C:x2+y=9相交于A,B两点，则|AB最小值是4 10已知双曲线E:聋-专-1的左顶点为有，右顶点为B,第一象限的点P在E上.且点P 不与点B重合，若直线PA与直线PB的斜率分别为k,k,.则下列命题中正确的是 A.存在点P,使k,+k,=2 民存在点P使会=2 C.对任意点P,均有kk,=2 D.对任意点P,均有k,-k,=2 高二数学试题 第2页（共4页） 1l.设函数f(x)=2in2x-sinx,则 是(x)的极小值点 .x=3 B.f(1)>f(2) C.f(2)f(3)<0 D.f(3)+f(4)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.抛物线y=2x2+1的焦点到准线的距离是 13.若直线y=kx-2与曲线y=x-相切，则k= 14.在数学中连加符号是“Σ”.这个符号就是连续求和的意思，把满足“Σ”这个符号下面 条件的所有项都加起来，例如：>i=1+2+3+…+n.类似地在数学中连乘符号是 “几Π”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“Π”这个符号下面条件的所有项都乘起 来，例如：i=1×2×3×…×n.已知数列{a}满足：a,=1,a1=a,+a(neN).则 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等比数列{a}的前n项和为S。,且S,=-6.a,=-8. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)若数列{b.}满足b。=a。·log,a求数列{b.}的前n项和T 16.(15分)已知点P是抛物线y2=16x上的动点，过P向x轴作垂线段，垂足为M,记垂线段 PM的中点为Q (1)求点Q的轨迹方程： (2)不过坐标原点O的直线1：y=x+m与点Q的轨迹相交于A,B两点，且以线段AB 为直径的圆过点O,求△AOB的面积. 高二数学试题 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，CC,⊥平面ABC,CC,=BC=2AC,BC⊥AC: B丽=AB所(0<入<1) （1)若A=子求证：AC,∥平面B,C: (2若二面角B-B,C-V的余弦值为后求入的值。 18.(I7分)已知椭圆C:等+卡=1(a>6>0)的两个焦点为F(-2.0.F(2,0.点 M2√3，√3在椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若过点P(-8,0)的直线与椭圆C交于A.B两点，求证：△ABF,的内心在一条定直 线上 19.(17分)如果函数F(x)的导数F(x)=f(x),可记为F(x)=F(x)d.若f(x)≥0，则 ∫/(x)dr=F(b)-F()表示曲线)=f(.直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯 形"的面积 (1)求曲线xy=1在x∈[1,2]上与x轴围成的封闭图形的面积： 2)当>1时.求证：2n<+: （3)求证：1++写++>hm+)+2+ (nE N'). 高二数学试题 第4页（共4页） 2024-2025学年第一学期高二年级期末质量监测 数学试题参考答案 一，选择题 1.【答案C 【解析1由题意，得a,+am=24n=2.所以5。=2025Xg+4=20250m=2025.故选C 2 2.【答案】D 【解析】双曲线C的两条渐近线方程分别为y=。,y=-么x,易知a+B=元 又a=5g.解得a=5 6,B=开所以 6 =am6=3 所以G的高心率为：=台-1+白-2故选D 3.【答案】B 【解析】因为Sm=a,+a:+a,+a,+…+a。+am=(22-3）+(4-5)+…+(10-11) =-5-9+…+-21=-5-21)×5=-65 2 S=a1+a:+a+a4+ay+…+am+a=2+(-32+4)+(-5+6)+…+(-212+222) =4+(7+11+…+43)=4+7+43)×10=254 2 所以S。+S21=-65+254=189.故选：B. 4.【答案】A 【解析】由题意，得点P在圆外。 所以2+(-4)°-4m>0. 2+0+2×1-4×0+m>0. 解得-3<m<5.故选：A 5.【答案D 【解析】由f(x)+'(x)=e.得x灯(x)+'(x)=e', 即(f(x)）=e',所以f(x)=e'+c,c是常数， 当x=1时f(1)=e+c=0.所以c=-e, 当x=-1时，-)=e-e得/-)=e-。故选D 6.【答案】B 【解析】设S,=m(m≠0).则S。=4m, 因为如，}是等比数列，所以S,S-5.S-5,5。-S也成等比数列，且公比为、S=3. S 所以S,-S。=9m,S:-S,=27m,即S,=13m,S:=40m, 所以=0故选 7.【答案】A 【解析】设直线！：y=x+m与抛物线，=4x相切于点P(x,y)显然切点位于第一象限。 在第-象限内，由y=4x,得y=2x,则y= 所以1=1，即x。=1,所以点P的坐标为(1,21. 所以B的最小值为点P1,2)到直线y=x+4的距离.即A6=1-2+=3)2故选： 、+(-1) 2 高二数学答案 第1页（共7页） 8.【答案】C 【解析]由f(x)=x=(e）'=ea,得f(x)=e(xnx)=e(lnx+1). 因为a()≥园，所以ae≥ax+》,即4≥h+l恒成立. 令g()=n+(x>0).g()=h。 2 当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g(x)<0,g(x)单制递减， 所以g(x）=g()=1.所以a≥1.即a最小值为1.故选：C. 二，选择题 9.【答案】AD 【解析】由直线1：kx-y+2-k=0,得/斜率为k.且1过定点P(1,2) 对于A.直线3新++2=0的斜率为-是 所以当直线1与直线3+4与+2=0平行时，k=-子故A正确： 对于B,当直线1与直线3红+女+2=0垂直时.由长×引-1.得k=号故B结误： 对于C,由题意可得k<0. 当x=0时y=2-太.当)=0时x=-2 k 所以三角形面积s号×2-x是北+-)+×+2可列4 当且仅当-=子即k=-2时取等号.所以S=4放C错误： 对于D,由题意可得，当直线AB与直线CP垂直时AB最小， 此时CP=、(1-0)2+(2-02=√5， 所以AB=2×√32-（√5）=4，故D正确.故选：AD. 10.【答案】BC 【解析】由题意，得左顶点A(-2,0).右顶点B(2.0): 设Pa,nm>2,A>0.则号-号l m-2)m+26=-0。 所以k,=n-0 =n Γm-2m-2 对于A.由受-号=1.得-4=号 若k,+k,=2.则加=2.即n=2m. n 代人m、n 4-8 =1得-m =1，显然此方程无实数根，故A错误： =m-2。m+2 对于Bk, =2 m-2 m+2 n 解得m三6，代入件-名三1解得n=8,放B正确船 对于C.由驾-号=1.得m=2m-8 高二数学答案 第2页（共7页） 所以kk=”, .n _2m-8=2,故C正确： m+2m-2m2-4m2-4 n 4n 对于D,k:-k,= 4n8 m2m+2=m4=”于 2 若。-k=2.则8=2.即m=4.代入四-骨=1.得m=23.显然只存在-个点P23.4满足题意。 故D错误，故选：BC 11.【答案】ABD 【解析】 由/(x)7m2-nx2×2 sinxcosx-imx三nx(cs-见 f(x)=cosx(cosx-1)+sinx(-sinx)2cos'x-cosx 1 =(2cosx 1)(cosx -1). 当0<x< 号时八<0单调递减： 当<<誓时>0：单润递猫。 3 对于A,显然x=2是(x)的极小值点，故A正确： 3 对于B.显然1,2e0.面/)在0.号内单调造减.所以0>2.放B正确： 对于C,当0<x<π时，simx>0,csx-1<0,故f(x)<0 由2∈(0，).3∈(0，π)，得f(2)<0.f(3)<0,即f(2)f(3)>0.故C错误： 对于D.南/)=m2~血 得断(x)+f(2m-)=2in2x-inx+2sin[2(2m-x月-in(2m-x 1 =2sin 2x sinx sin(4n -2x)-sin(-x) sin 2x -sins -sin 2v+sin =0. 所以f(3)=-f(2m-3). 因为号<2-3<4<智面)在智内单调迷增，所以/2-3)<4 即f(3)+f(4)=-f(2m-3)+f(4)>0,故D正确.故选：ABD 三，填空题 12.【答案号 【解析】显然抛物线，=2x+1的图象是由抛物线广产=的图象向上平移一个单位得到。 由2印=)，得焦点到准线的距离是p=子 13.【答案12 【解标]设切点为P川…为小由y=一得y=1+是 则{y0=kx。-2.解得xn=15。=0,=2 1 y= 高二数学答案 第3页（共7页） 14.【答案】1 【解析】因为a。1=a,+a=a.(1+a. a.1a.(1+a)a,1+a 1+aa.a。 所以之，1一= 1一+…+ 1 台1+a,1+a,1+a: 1+a 11 南a1+a小得a品 ×、1 所以直+ ×…1+a =_1 a。t 四、解答题 15解：(1)设等比数列{a.的公比为q,则S,=a,+a+a,=g++a 为S三-6.@-8，所以-62++仁8.解得95-2-2 所以数列{a.}的通项公式为a,=a,小=(-8)×(-2)”-’=(-2)…4分 (2)由(1)得a,=(-2,所以m=[(-2]=(-2)广=4=2。 则b.=a.·lga2=(-2）”…log2=2n…(-2)”… ……6分 所以T.=6,+b2+b,+…+6.1+b.=2×(-2)'+4×(-2)+6×(-2)+…+(2n-2)×(-2)”+2n· (-2)°. 则-2T=2×(-2)}+4×(-2)+6×(-2)+…+(2m-2)×(-2)°+2n…(-2)".…8分 两式相减，得 3T.=2×(-2)+2×(-2)）+2×(-2)+…+2×(-2)”-2m…(-2)…"…10分 =2×[-2)'+(-2)+(-2)'+…+(-2]-2m(-2) =2×-2）x=21-2m-2y 1-(-2) -+3n-2-4 3 所以T=1+3n)小(-2)2-4 ”$等”年”年”◆”◆卡”卡”◆””卡“+”+”小””+“+”++”年”+”*+“+“+++中”+“+”◆+”+”◆””卡”+”。+”+“+“打个 9 高二数学答案 第4页（共7页） 16解：(1)设点Q的坐标为(x,y）,则点P的坐标为(x,2y).…2分 又点P在抛物线y2=16r上.所以(2y）=16.化简得y2=4x。 所以点Q的轨迹方程为y2=4.………。 4分 (2)设A(x·yBx·月 由三+：得产一y+m=0, 1 y2=4x. 由4=--4x×m>0.得m<1 =4为=m -1 1+=- =4m,…7分 1 4 因为以AB为直径的圆过点O,所以0A上0B,即可.丽=x1?+y,=0, 所以m+4m=0,解得m=一4，或m=0(舍去)…10分 所以=+[，+为广-4为]=+4-4×4×(-4】=40。 又原点0到直线1的距离为=0-0-4：22. P+(-1) 所以△40B的面积S=4Bd=)×410×22=85…15分 17.(1)证明：连接BC,设BC,∩B,C=N,连接MN, 则在平行四边形BCC,B,中，N是BC,的中点，…2分 又丽=号丽，所以M是AB的中点。 所以MN∥AC, …4分 又MNC平面BCM,AC,C平面B,CM 所以AC∥平面B,CL.… …5分 (2)解：因为CC,⊥平面ABC,AC,BCC平面ABC.所以CC,⊥AC,CC,⊥BC 又BC⊥AC,AC,∩CC,=C,AC,CC,C平面AC,C.所以BC⊥平面AC,C. 又ACC平面AC,C,所以BC⊥AC…6分 故以C为坐标原点，C可.C亚，CC的方向为x轴，y轴，：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C, 设AC=1.则CC,=BC=2, 所以C(0.0.0,A(1.0.0).B(0,2,0,B(0,2,2).… 4……*…7分 故CB=(0,2.2)）.B=(1,-2.0).CB=(0,2,0),B丽=AB=(A,-2A,0). C=C丽+B丽=(A,2-2A.0).设平面CMB,的法向量是n=(x,y.:).所以 n·C7=0. n·CB=0, 即=0.取1：2-2 ，=-1. 2y+2:=0. 所以n三2以入2.1.-10分 易知平面BCB,的法向量是m=(1.0.0).………11分 高二数学答案第5页（共7页） 2-2A 因为二面角B-B,C-M的余弦值为.所以=(m.川=m 入 6 1× 2-2A +1+1 …14分 解得A= …15分 18.(1)解：因为椭圆两个焦点为F,(-2.0).F:(2,0.所以e=2,则a2=+4.…1分 又点M(233在椭圆G上，所 2331.2} =1,小…2分 两式联立，解得m=16,公=12.所以椭圆G的标准方程为6+立 =144…5分 (2)证明：由题意可知直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为x=my一8，…6分 x my -8. 6* 联立x 得(3m2+4)y2-48my+144=0. 则4=(-48m)-4(3m2+4)×144=576m2-2304>0,得m2>4. 设A小.B(为小则，+=3m+43m+4 48m 144 设直线AF,BF的斜率分别为k,.k 所‘产六66则。 y (my1-6)(my2-6 3m+4=0…15分 48m 因为：-6+m,-6=2m-6+为2m×446× 所以k,+k,=0恒成立，侧直线AF.BF,的倾斜角互补，即∠AF,B的平分线总垂直于x轴，…I6分 所以△ABF,的内心在定直线x=一2上。… …17分 19(1)解：由y=1,得y= 由题意可得所求面积S=什女… …分 令G(x)=则G(x)=lnx+c(c是常数) …3分 所以S=G(2)-G(1)=ln2+c-(ln1+c)=ln2. 即曲线y=1在x∈[1,2]上与x轴围成的封闭图形的面积为1n2… …4分 高二数学答案 第6页（共7页）