第10章 二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第10章 二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 4．已知：，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 6．对于任意有理数，我们规定，若同时满足：，，则的值是（   ） A．26 B．8 C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知，用含x的式子表示y是 ． 8．新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 9．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 10．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 11．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 12．若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 13．《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 14．在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则 ． 15．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 16．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程组： (1)； (2)． 18．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 19．下面是小聪同学在学完解二元一次方程组后写的一道解二元一次方程组的解答过程，请你认真阅读后完成相应的任务． 解方程组： 解：由，得③第一步 由，得第二步 解得第三步 将代入①，得第四步 原方程组的解为．第五步 任务一：这种解二元一次方程组的方法叫做______法，其中第一步的依据是______； 任务二：第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请你写出正确的解答过程． 20．解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 21．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 22．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 23．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 24．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就． 某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元． (1)求两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． (3)若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 25．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“惟精惟一关系”． (1)方程组的解与是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，求的值； (3)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，又都为正整数，求出的值． 26．阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 27．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，即可解答． 【详解】A．是二元一次方程，此选项符合题意； B．是一元二次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； C．不是二元一次方程，此选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 2．二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入得，，再解方程即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得：， 故选：C． 3．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 4．已知：，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、加减消元法 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到是解题的关键． 由题意得，继而由非负性得到，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 5．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 6．对于任意有理数，我们规定，若同时满足：，，则的值是（   ） A．26 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解决本题的关键．根据已知新定义运算列二元一次方程组，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】，， ， 解得， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知，用含x的式子表示y是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，系数化为1．即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 8．新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义，所写方程组为、的和与差的两个方程即可． 【详解】解：方程组可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 9．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入即可求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 10．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键． 由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，，， 解得：，， 则， 故答案为： 11．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 12．若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 【答案】3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减可得，进而得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得， ， ， 故答案为：3． 13．《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14； 第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31， 所以可列方程为． 故答案为：． 14．在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，根据题意得出方程组，求出m、n的值，再计算即可； 【详解】解：由消去未知数x，可得， 由消去未知数y，可得， 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 15．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【知识点】列代数式、整式加减的应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 16．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）将得，再，得，求得，把代入①计算，即得答案； （2）先将②化简得，再，得，求得，把代入①计算，即得答案． 【详解】（1）解：，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：将②去分母，得， 去括号，得， 移项整理，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解是． 18．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 19．下面是小聪同学在学完解二元一次方程组后写的一道解二元一次方程组的解答过程，请你认真阅读后完成相应的任务． 解方程组： 解：由，得③第一步 由，得第二步 解得第三步 将代入①，得第四步 原方程组的解为．第五步 任务一：这种解二元一次方程组的方法叫做______法，其中第一步的依据是______； 任务二：第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：加减消元，等式的基本性质； 任务二：三，解方程出错；系数化成1时，符号处理错误 任务三：过程见解析 【知识点】加减消元法 【分析】（1）根据解方程组的基本方法和基本特点，判断这是加减消元法，根据等式的基本性质，变形解答即可； 任务二：根据题意，发现求得y值是错误，系数化成1时，符号处理错误； 任务三：按照解方程组的基本要求，规范解答即可． 本题考查了解方程组，等式的性质，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：（1）根据解方程组的基本方法和基本特点，判断这是加减消元法， 根据等式的基本性质，等式的两边同时乘以同一个数等式不变， 故答案为：加减消元，等式的基本性质． （2）根据题意，解得，发现求得y值是错误，系数化成1时，符号处理错误， 故答案为：三，解方程出错；系数化成1时，符号处理错误． （3）解：解方程组： 解：由，得③， 由，得， 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 20．解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 【答案】(1)把错看成了，把错看成； (2) 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识，熟练求解二元一次方程组是解题得关键． （1）将代入，得，将代入，得得即可； （2）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得 解得， 将代入，得 可得； ∴把错看成了，把错看成； （2）解：将代入，可得 解得， 将代入，可得 解得， ∴原方程组为：， 解方程组可得：． 21．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【知识点】列代数式、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 22．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； (2)租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于，的二元一次方程，根据，均为非负整数，即可得出各租车方案；利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车；所需租车费为（元）； 方案2：租用5辆型车，4辆型车；所需租车费为（元）； 方案3：租用1辆型车，7辆型车；所需租车费为（元）． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 23．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 24．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就． 某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元． (1)求两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． (3)若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元 (2)所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进6件A型飞船模型和2件B型飞船模型 (3)购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型时利润最大，最大利润为元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； （3）根据销售1件种航天载人飞船模型比销售1件种航天载人飞船模型的利润要高，可得购进种航天载人飞船模型越多越好，据此计算出最大利润即可。 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据题意，得， ∴，即 ，b均为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型； （3）解：∵该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元， ∴销售1件种航天载人飞船模型比销售1件种航天载人飞船模型的利润要高， ∴购进种航天载人飞船模型越多越好， ∴购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型时利润最大，最大利润为元． 25．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“惟精惟一关系”． (1)方程组的解与是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，求的值； (3)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，又都为正整数，求出的值． 【答案】(1)具有“惟精惟一关系”,详见解析 (2)或,详见解析 (3)或或，详见解析 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组等知识点， （1）求出方程组的解，利用题中的新定义判断即可； （2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可； （3）解关于的方程组，根据都为正整数，利用题中的新定义确定出a与b的解即可； 熟练掌握代入消元法与加减消元法解方程是解决此题的关键． 【详解】（1）具有“惟精惟一关系” 方程组， 由②得， ∴方程组的解具有“惟精惟一关系”； （2）方程组， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为：， ∵， ∴， ∴或； （3）解关于方程组得， ∴， ∴， ∴或， ∵均为正整数， ∴或或， 26．阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 27．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$