第10章 二元一次方程组（单元复习 5大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第10章 二元一次方程组 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1 易错题型二　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 易错题型三　已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 易错题型四　已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 7 易错题型五　已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 8 【压轴题型】 12 压轴题型一　换元法解二元一次方程组 12 压轴题型二　新定义型二元一次方程组 19 压轴题型三　二元一次方程(组)中的整数解问题 25 压轴题型四　应用二元一次方程组之销售、利润问题 33 压轴题型五　应用二元一次方程组之方案问题 37 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若是二元一次方程，则 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 2．（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ． 4．（23-24七年级下·北京大兴·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 易错题型二　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 3．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 易错题型三　已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 易错题型四　已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组的解互为相反数． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 易错题型五　已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 巩固训练 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　换元法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 压轴题型二　新定义型二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 压轴题型三　二元一次方程(组)中的整数解问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 2．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 压轴题型四　应用二元一次方程组之销售、利润问题 例题：（24-25八年级上·山东济南·期中）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元． (1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚，当总投资金额为17万元时，求的最大值． 巩固训练 1．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 2．（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 3．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 压轴题型五　应用二元一次方程组之方案问题 例题：（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 巩固训练 1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套元，乙乐团购买的演出服每套元，两个乐团共人，购买演出服的总价钱为元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？（用二元一次方程组解答） (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责位小朋友，乙乐团每位成员负责位小朋友，这样恰好使得福利院位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．（可以仅从一个乐团抽调） 4．（22-23七年级下·广东东莞·期中）已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 二元一次方程组 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1 易错题型二　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 易错题型三　已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 易错题型四　已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 7 易错题型五　已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 8 【压轴题型】 12 压轴题型一　换元法解二元一次方程组 12 压轴题型二　新定义型二元一次方程组 19 压轴题型三　二元一次方程(组)中的整数解问题 25 压轴题型四　应用二元一次方程组之销售、利润问题 33 压轴题型五　应用二元一次方程组之方案问题 37 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若是二元一次方程，则 ． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶ 是二元一次方程， ， 解得∶ 故答案为：6． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【知识点】有理数的乘方运算、二元一次方程的定义 【分析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数并且未知数的次数都是1的整式方程）进行解答即可．本题主要考查二元一次方程的定义，有理数的乘方，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故． 故答案为：4． 2．（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 9 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据未知数的次数是1列式求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：9，0． 4．（23-24七年级下·北京大兴·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程指只含有两个未知数、且含未知数的项的次数都为1的方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 易错题型二　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ． 【答案】/ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题要求二元一次方程的解及代数式求值，将代入方程，得到，由整体代入，即可解答． 【详解】解：将代入方程，得到， ， 故答案为：3． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 5．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值．熟练掌握二元一次方程解的定义，整体代入求代数式的求值，是解决问题的关键 先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形后整体代入求值． 【详解】∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型三　已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于m，n的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入方程组，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把，的值代入方程组进行计算，求出，的值，然后再代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中得： ， 解得：， ， 故答案为：10． 易错题型四　已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组的解互为相反数． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、相反数的定义 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组的解即可求出的值． 【详解】解：由题意得，把代入方程得， 整理得， 把②代入①，得 ， ∴时，原方程组的解互为相反数， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相加，根据方程组的解的情况得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 易错题型五　已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得： ∵关于、的方程组的解为整数， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为． 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 【答案】4 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．先利用加减消元法消去，求出，根据为正整数和方程组有整数解，列出关于的方程，求出的值，再把求的代入②求出，最后根据也是整数，对的值进行取舍，然后解答后即可． 【详解】解：， ①②得：， 是正整数， 或， 解得：或7， 把代入②得：， 把代入得， 把代入得， 已知二元一次方程组有整数解， 不符合题意舍去， ， ， 故答案为：4． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最小整数值，则有最小整数值， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　换元法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、代入消元法 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 压轴题型二　新定义型二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】构造二元一次方程组求解、其他问题(一元一次方程的应用)、方程的解 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 压轴题型三　二元一次方程(组)中的整数解问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 2．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为或2 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有整数解，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上所述，整数的值为或2． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)6 (2) (3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程： （1）根据题意可得或或或或或，解方程即可得到答案； （2）先求出，再由都是正整数得到是正整数，即或，据此可得答案； （3）设和两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴或或或或或， 解得或或或或或， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴是正整数，即或， 当时，（不符合题意）； 当时，符合题意， ∴的正整数解为， 故答案为：； （3）解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴是正整数， ∴x是4的倍数， ∴当，；当，， ∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子． 压轴题型四　应用二元一次方程组之销售、利润问题 例题：（24-25八年级上·山东济南·期中）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元． (1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚，当总投资金额为17万元时，求的最大值． 【答案】(1)每个A种光伏车棚需投资2万元，每个B种光伏车棚需投资3万元； (2)8． 【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，根据题意列出方程组，然后求解即可； （）根据题意得，求出整数解，然后求出最大值即可； 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的整数解，解题的关键熟练掌握相关知识的应用． 【详解】（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元， 根据题意，得， 解得， 答：每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元； （2）解：根据题意，得， 因为，均为非负整数， 所以或或， 所以的最大值为． 巩固训练 1．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； (2)2000元 (3)第二次“雪容融”是按原价打9折销售 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个，根据总进价为7000元以及“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合获利售价进价列式求解即可； （3）设第二次“雪容融”是按原价打m折销售，根据第二次总利润比第一次的总利润多800列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个， 由题意得， ， 解得， 答：该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； （2）解：元， 答：该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得利润2000元； （3）解：设第二次“雪容融”是按原价打m折销售， 由题意得，， 解得， 答：第二次“雪容融”是按原价打9折销售． 2．（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 3．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； (2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱，根据等量关系可得出关于的方程，根据，都是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒装共包装了箱，简易装共包装了箱，由题意，得： ， 解得：， 答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； （2）解：设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱， 由题意，得：， 解得：， ∵，都是正整数，且， ∴且， ∴， ∵，，都是正整数 ∴， ∴，， 答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 压轴题型五　应用二元一次方程组之方案问题 例题：（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且均为正整数， 或 共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元） 第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 巩固训练 1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2)租车费用为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，进行解答，即可． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，根据题意得：，分类讨论，，的值，根据租金为，求出最省钱的方案，即可． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， ∴由题意得，， 解得：． 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． （2）解：设租辆座客车，辆座客车， ∴ ∴ ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∵租金为， ∴当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； ∵， ∴使用最省钱的租车方式，费用为元． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【答案】(1)七年级1班人数为49人，则2班人数为53人，联合购票，节省604元 (2)八年级报名人数为人，九年级报名人数为人 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，根据售票方式，列出方程，进行求解即可； （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，根据两种不同的购票方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人； 联合购票，节省：（元） 答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元． （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人， 若，则：，解得：，不合题意，舍去； ∴， ∴，解得：， 答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套元，乙乐团购买的演出服每套元，两个乐团共人，购买演出服的总价钱为元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？（用二元一次方程组解答） (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责位小朋友，乙乐团每位成员负责位小朋友，这样恰好使得福利院位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．（可以仅从一个乐团抽调） 【答案】(1)甲乐团有人，乙乐团有人 (2)共有三种抽调方案，方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人；方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人；方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，理由见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设甲乐团有人，乙乐团有人，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可得，然后求得正整数解即可． 【详解】（1）解：设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意得：， 解得：； 答：甲乐团有人，乙乐团有人． （2）根据题意得：， 又，均为非负整数， 或，或， 共有三种抽调方案， 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人； 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人； 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人． 4．（22-23七年级下·广东东莞·期中）已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； (2)有3种租车方案：方案一：型车9辆，型车1辆；方案二：型车5辆，型车4辆；方案三：型车1辆，型车7辆； (3)租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据，都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵，都是正整数， ∴或或， ∴有3种租车方案： 方案一：型车9辆，型车1辆； 方案二：型车5辆，型车4辆； 方案三：型车1辆，型车7辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$