第10章 二元一次方程组（单元复习 3个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第10章 二元一次方程组 01 思维导图 02 知识速记 【知识点01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点02】 解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想是消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【知识点03】二元一次方程（组）应用的 1． 解题步骤 1． 审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2． 设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 03 题型归纳 题型一　二元一次方程（组）的概念 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； B、，含未知数项的最高次数为二次，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； C、，属于二元一次方程，故此选项符合题意； D、，含有3个未知数，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各式是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查的是二元一次方程的概念，关键是熟记二元一次方程要含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程．根据二元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、是二元一次方程，符合题意； D、是二元二次方程，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义； ②，符合二元一次方程组的定义； ③，含有三个未知数； ④，符合二元一次方程组的定义； ⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次． 所以是二元一次方程组的有3个． 故选：B． 题型二　二元一次方程（组）的解 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 3．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】A选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； C选项：将代入方程，左边右边，所以是方程的解； D选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解． 故选：C 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键． 4.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 5.（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三　写出二元一次方程的正整数解 例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程，写出该方程的所有正整数解 ． 【答案】， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．先用x的代数式表示y，再得出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程的所有正整数解为，， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）写出二元一次方程的一组整数解： ．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，令取一固定值，求出对应的y值即可． 【详解】解：对于， 当时，， 是二元一次方程的一组整数解， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）二元一次方程的正整数解有 组． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∵都是正整数， ∴或， 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了含参二元一次方程组的解法，解方程组，用含m的代数式表示出y是解答本题的关键． 先解，用含m的代数式表示y的值，再根据方程组有正整数解求出m的值． 【详解】， 得， 解得： ∵方程组有正整数解，m为正整数， ∴或或 ∴或或 ∴或或 ∴分别代入②得，或或（不符合题意，舍去） ∴正整数m的值是1或2． 故答案为：1或2． 题型四　解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）运用换元法和加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴令， ∴原方程组为， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴， 解得， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程变为，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据代入法求解二元一次方程组即可； （2）根据加减法求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得： 解得：， 将代入得： ∴． （2）解： 得： 将代入得： 解得：， ∴． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，方程组选择哪种解法，可根据组中各方程的系数特点灵活选择． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴原方程组的解为． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组． （1）利用加减消元法求解即可即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 得，， 解得：，代入①中， 解得：， 所以方程组的解是； （2）解：方程组整理得：， 得，， 解得：，代入②中， 解得：， 所以方程组的解是． 5．（24-25八年级上·全国·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由求出，再代入求出即可； （2）将方程①整理得，将方程得，再由求出，再代入求出即可． 【详解】（1）解：由得：， 解得：， 将代入①得，， 原方程组的解是． （2）由①得：， 得，， 得，， 解得：， 把代入②中，得， 解得：， 原方程组的解为． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，准确进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）将原方程整理，再利用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得：， ， 将代入①得：， ∴方程组的解为：； （2）解：整理得：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． 题型五　构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 【答案】0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程，以及解二元一次方程组，先构造二元一次方程组解得，然后把代入即可求出y的值． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把化成，再根据方程组的解是，列出关于、的方程组，求解即可．解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 题型六　二元一次方程组-同解问题 例题：（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知方程组 和 的解相同，则 ． 【答案】3 【知识点】方程组相同解问题 【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将和联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出的值． 【详解】解：将和联立得：，解得， ∴， 故答案为：3． 巩固训练 1.（23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组和的解相同，则 ． 【答案】16 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的关键； 首先把和组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入， 可得关于a、b的方程组，求值然后再次代入进而完成解答． 【详解】解：解方程组， 解得． 将代入方程得， 解得：， ． 故答案为：16． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键． 先联立，求出x和y的值，代入，求出a和b的值,最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组和的解相同， ∴联立，解得：， 将代入得，解得：， ∴． 故答案为． 4.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键．把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案． 【详解】解：根据题意得： ①②： 把代入①： 把代入得 解得： ； 故答案为： 题型七　二元一次方程组-错解复原问题 例题：（24-25八年级上·河北张家口·期中）嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 【答案】错误，过程见解析 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，题目中第二步应该为，再进行计算即可． 【详解】解：错误． 正解如下： ，得 ，得 解得： 把代入②，得 所以这个方程组的解是． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 【答案】(1)二 (2)，过程见解析 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据得，得出答案； （2）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：得， 第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）解： 解：①，得， 得，， 将代入①得， 解得：， ∴． 2．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）代入消元法，一（2） 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据代入消元法解方程组，进行作答即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法；以上求解步骤中，小权同学从第一步用表示时就开始出错，正确的表示为：． 故答案为：代入消元法；一； （2）由①，得③； 由，得． 将代入①，得， 原方程组的解为 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二；任务三：过程见解析， 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二：但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得， 解得，代入③，解得， ∴原方程组的解为：． 4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据②③得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3）解方程组： 解：①得③ ②③得， 将代入①得 所以，原方程组的解为． 5．（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号；任务三：见解析 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，逐一进行作答即可． 【详解】解：任务一：小强解方程组用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二；小强解方程组的过程，从第二步开始出现错误，错误的原因是：整体代入未添加括号． 故答案为：二，整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程： 解：由①得③ 将③代入②得，解得． 把代入③，即：，解得 ∴原方程组的解为：． 题型八　二元一次方程组应用古代问题 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有48人，13辆车 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有x人，y辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x、y二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得： 解得： 共有48人，13辆车． 2.（22-23七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 3.（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 【答案】(1) (2)， 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、代入消元法 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解方程组，解题的关键是： （1）根据代入消元法求解即可； （2）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由①，可得：③， ③代入②，可得：， 解得， 把代入③，可得：， 原方程组的解是． ； （2） 解：，表示的方程是 由，可得， 解得 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 题型九　二元一次方程组应用几何问题 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 巩固训练 1.（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】长为，宽为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可得，解二元一次方程组即可得到答案，读懂题意，由图中长和宽建立等式列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为，宽为． 3.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 4.（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 二元一次方程组 01 思维导图 02 知识速记 【知识点01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点02】 解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想是消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【知识点03】二元一次方程（组）应用的 1． 解题步骤 1． 审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2． 设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 03 题型归纳 题型一　二元一次方程（组）的概念 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各式是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　二元一次方程（组）的解 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 5.（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 题型三　写出二元一次方程的正整数解 例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程，写出该方程的所有正整数解 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）写出二元一次方程的一组整数解： ．（写出一组即可） 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）二元一次方程的正整数解有 组． 3．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 4．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 题型四　解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）解方程组 (1) (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组 (1) (2) 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组： (1) (2)． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程组 (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·全国·期末）解方程组 (1) (2) 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1) (2) 题型五　构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 3.（23-24七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 题型六　二元一次方程组-同解问题 例题：（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知方程组 和 的解相同，则 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组和的解相同，则 ． 2.（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 3.（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 4.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 题型七　二元一次方程组-错解复原问题 例题：（24-25八年级上·河北张家口·期中）嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 2．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 5．（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 题型八　二元一次方程组应用古代问题 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2.（22-23七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 3.（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 题型九　二元一次方程组应用几何问题 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 巩固训练 1.（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 3.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 4.（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$