第9章 图形的变换（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第9章 图形的变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 2．敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，作边的垂直平分线交于点D．若，，则的长为（   ） A．17 B．16 C．11 D．10 4．如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，的对应线段落在折痕上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 8．如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 9．如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形完全重合． 10．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 11．如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 12．如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 13．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 14．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 15．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图所示的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 16．如图，在三角形中，将周长为12的三角形沿直线向右平移n个单位长度得到三角形，连接，G是，的交点．给出下列结论：①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为；其中，结论一定正确的有 ．（填序号） 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． (1)直接写出旋转角的度数； (2)连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 18．如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形． (1)连接，，求四边形的面积； (2)在直线l对上找一个点P，使最短． 19．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么： (1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由） (2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由） (3)与的位置关系怎样？并说明理由． 20．课堂上，老师给出了如下一道探究题：如图，在边长为1的正方形组成的的方格中，和的顶点都在格点上，且．    (1)请以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，在方格中画出； (2)请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得通过两次变换后与完全重合； (3)请仔细观察，能否只通过一次旋转就能得到？如能，请在图中直接标出旋转中心P；若不能，请简要说明理由． 21．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 22．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 23．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 24．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 25．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 26．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 27．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 图形的变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可 【详解】解：A. 摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 气球升空的运动,，属于平移，故符合题意； D. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：C 2．敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3．如图，在中，作边的垂直平分线交于点D．若，，则的长为（   ） A．17 B．16 C．11 D．10 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，且， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质知，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质知， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知，但不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，的对应线段落在折痕上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质．根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握成轴对称的两个图形全等是解题关键．根据轴对称的性质得出，即可得出的度数，进而根据三角形内角和可得出的度数． 【详解】与关于直线对称，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 【详解】解：如图所示，的垂直平分线的交点为，点即为旋转中心 故答案为：． 9．如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形完全重合． 【答案】72 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转5次所组成， 故绕其中心至少旋转72度后能与原图案完全重合． 故答案为：72． 10．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】2.5/ 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 11．如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 【答案】 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称的定义依次判断到位置是否可以构成中心对称图形即可． 【详解】解：如图，当涂黑时，构成的阴影部分为中心对称图形． 故答案为：． 12．如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 【答案】/70度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转可得，得． 【详解】解：，， ． 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 【答案】9 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长 故答案为：． 14．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图所示的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质，四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，延长交于点H，首先求出，然后根据折叠求出，，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点H ∵ ∴ 由折叠可得， ∴ ∵ ∴ 由折叠可得， ∴ ∴． 故答案为：． 16．如图，在三角形中，将周长为12的三角形沿直线向右平移n个单位长度得到三角形，连接，G是，的交点．给出下列结论：①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为；其中，结论一定正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图象平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：① 根据平移的性质，得，，故①正确，符合题意； ② 根据平移的性质，可得， ， ，即， ， ，故②正确，符合题意； ③ G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④ 根据平移的性质可得，， 四边形的周长为， ，即三角形沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． (1)直接写出旋转角的度数； (2)连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】中心对称图形的识别、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称的判定，全等三角形的判定与性质． （1）旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，根据题意旋转角； （2）分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q，先证明，得到，再证明得到即可说明点A与关于点M成中心对称． 【详解】（1）解：根据旋转的性质可知，，那么旋转角度的大小为； （2）证明：如图，分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q． ， ， ，， ， ， ， 又∵， ， ． 又∵， ， ． ∴点A与关于点M成中心对称． 18．如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形． (1)连接，，求四边形的面积； (2)在直线l对上找一个点P，使最短． 【答案】(1)四边形的面积为12 (2)详见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称，三角形的面积，最短距离等知识点， （1）利用梯形的面积公式计算即可； （2）由图形知，连交直线l与点P，即可得解； 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知，， ∴四边形的面积为12； （2）解：如图，连交直线l与点P， ∵是关于直线l的对称图形． ∴关于直线l的对称， ∴， ∴， ∴由两点之间，线段最短知，此时最短， ∴点P即为所求． 19．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么： (1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由） (2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由） (3)与的位置关系怎样？并说明理由． 【答案】(1)B (2)90度 (3)，理由见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、找旋转中心、旋转角、对应点、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质和三角形内角和定理． （1）由条件易得和，和为对应边．而旋转后能与重合，于是可判断旋转中心为点B； （2）根据旋转的性质得等于旋转角，从而得到旋转角度； （3）延长交于F，根据旋转的性质得到，再由三角形内角和定理即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴和，和为对应边． ∵旋转后能与重合， ∴旋转中心为点B； （2）解：∵，旋转后能与重合， ∴等于旋转角， ∴旋转角是90度； （3）解：．理由如下： 延长交于F． ∵绕点B顺时针旋转后能与重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．课堂上，老师给出了如下一道探究题：如图，在边长为1的正方形组成的的方格中，和的顶点都在格点上，且．    (1)请以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，在方格中画出； (2)请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得通过两次变换后与完全重合； (3)请仔细观察，能否只通过一次旋转就能得到？如能，请在图中直接标出旋转中心P；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)图见解析； (2)答案不唯一：方案可以是：将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合． (3)能，点见解析. 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】此题考查了运用平移和旋转的性质进行作图以及旋转中心的求法，正确理解“对应点到旋转中心的距离相等”这一性质是解题的关键． （1）将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，，所得图形即为所解； （2）将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，或将向右平移2个单位，再绕点B顺时针旋转，两种方法选一种即可； （3）观察图形可知，线段、、有公共的垂直平分线，在这条垂直平分线上找出到点C、点，距离相等的点即为旋转中心P，点也在线段的垂直平分线上，点P恰好为格点． 【详解】（1）如图1，将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，则，就是所求的图形．    （2）如图2，将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合． （3）能只通过一次旋转就得到如图2，点P就是所求的旋转中心，    作法∶连接、、； 直线为、的垂直平分线； 直线与的垂直平分线的交点P，点P就是所求的旋转中心． 21．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 22．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论； （3）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ； （2）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 故答案为：； （3）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【知识点】中心对称图形的识别、旋转对称图形的识别、成轴对称的两个图形的识别、图形的平移 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 24．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【知识点】多边形内角和问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，即为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称， ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 25．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 26．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 27．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 【答案】(1)或 (2)①②； 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“互优角”的定义结合已知条件可知分两种情况当和时利用翻折的性质结合平角的定义求解即可． （2）①根据“互优角”的定义可得出，由，则可得出，由折叠的性质可得出，再根据平角的定义可得出代入求出，进而可得出． ②如图3，当线段落在外部时，由折叠的性质可知：，，由“互优角”的定义得出即．同理可求出当线段落在内部时，． 【详解】（1）解：∵与互为“互优角”， 当时， 则， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，可得． 故答案为：或 （2）解：①∵点E、、P在同一直线上，且与互为“互优角”， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 则， ∴ ②当线段落在外部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角” ∴， 即． 当线段落在内部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 即， ， ∵， ∴， 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$