第9章 图形的变换（单元复习 5个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第9章 图形的变换 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 【知识点2】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 【知识点3】线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【知识点4】旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 【知识点5】中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊是中国乃至世界剪纸艺术的重要发源地之一．潍坊的剪纸艺术被列入联合国教科文组织的非物质文化遗产名录，以其精美的构图和精细的剪刀技巧而闻名．下面出自潍坊地区的四幅剪纸图片中是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 题型三　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 题型四　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 题型五　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 题型六　判断生活中的旋转现象 例题：（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 2．（2024七年级上·全国·专题练习）“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 题型七　找旋转中心、旋转角、对应点 例题：（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 题型八　中心对称图形的识别 例题：（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（   ） A．B． C． D． 2．（湖北省荆楚联盟2024-2025学年上学期九年级期末数学考试题卷）2024年巴黎奥运会，我国体育健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．以下奥运会图标中不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 题型九　根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例题：（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是 ． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 题型十　作平移、轴对称图形、旋转图形 例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请画出； (2)画出绕点逆时针旋转之后得到的； (3)求的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，在方格纸中按要求画图． (1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； (2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C． 2．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． (1)在图中画出； (2)是以点______①______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将②______时针旋转③______度得到的． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 图形的变换 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 【知识点2】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 【知识点3】线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【知识点4】旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 【知识点5】中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊是中国乃至世界剪纸艺术的重要发源地之一．潍坊的剪纸艺术被列入联合国教科文组织的非物质文化遗产名录，以其精美的构图和精细的剪刀技巧而闻名．下面出自潍坊地区的四幅剪纸图片中是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据定义，仔细观察图形即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 题型三　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行作图即可． 【详解】解：答案不唯一，如下： A．涂黑一个，如图所示． B．涂黑一个，如图所示． C．涂黑两个，如图所示． 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和 (2)见详解 【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念； （1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑； （2）根据两个特征设计出一个图案即可； 【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和； （2）同时具备上述两个特征的部分图案如下： 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案． （1）直接利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【详解】所求图形如图所示。 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 【答案】(1)6 (2)见解析（答案不唯一）； (3)见解析（答案不唯一）； (4)见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）根据轴对称图形的概念求解找到所有可以添加的位置即可； （2）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （3）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （4）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形． 【详解】（1）解：如图所示，选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有6种选法； 故答案为：6 （2）如图所示，    （3）如图所示，    （4）如图所示，    【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质． 题型四　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 【答案】14 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得，，从而得到，然后根据的周长24，求出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长是， ∴， ∴． 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：的垂直平分线分别交于点E、F， ， ， 的周长为， 故答案为：13． 题型五　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可． 【详解】（1）∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型六　判断生活中的旋转现象 例题：（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 钟摆的摆动，属于旋转，故不符合题意； D. 热气球点火升空，属于平移，故符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 2．（2024七年级上·全国·专题练习）“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查学生对平移和旋转的理解能力．要理解：“飞流直下三千尺”是指水的平移关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．根据平移和旋转定义来判断． 【详解】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移，“坐地日行八万里”是旋转． 故本题选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 题型七　找旋转中心、旋转角、对应点 例题：（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，，分别作出，，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，分别作出，，的垂直平分线， ， 三条垂直平分线交于点N， 旋转中心是点N， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【知识点】坐标与图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 题型八　中心对称图形的识别 例题：（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】A既是轴对称图形，也是中心对称图形； B是轴对称图形，不是中心对称图形； C是轴对称图形，不是中心对称图形； D不是轴对称图形，是中心对称图形； 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．（湖北省荆楚联盟2024-2025学年上学期九年级期末数学考试题卷）2024年巴黎奥运会，我国体育健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．以下奥运会图标中不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：解：A、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 题型九　根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例题：（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称，根据中心对称性质，可以得到中心对称图形对应边的关系． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理，掌握成中心对称的两图形对应边相等和用勾股定理解直角三角形是解题的关键．直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：与关于点中心对称，，， ，， ， ， 在中，． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 题型十　作平移、轴对称图形、旋转图形 例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请画出； (2)画出绕点逆时针旋转之后得到的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、根据旋转的性质求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图：作图形的平移及旋转，旋转的性质，求网格中三角形面积等知识； （1）分别画出A、B、C三点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）分别画出三点旋转后的对应点，再依次连接即可； （3）由于旋转不改变图形的大小，只要求出的面积即得的面积． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示： （2）解：旋转后的图形如图所示： （3）解：． 巩固训练 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，在方格纸中按要求画图． (1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； (2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、画旋转图形 【分析】本题考查了旋转作图及作轴对称图形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质结合题目叙述画出图形即可； （2）根据对称的性质作出点A的对称点C，连接，即可画出图形； 【详解】（1）解：所作线段，如图所示： （2）解：所作关于直线对称的图形如图所示： 2．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． (1)在图中画出； (2)是以点______①______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将②______时针旋转③______度得到的． 【答案】(1)见解析 (2)，顺， 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质，找旋转中心； （1）连接对应点找到旋转中心，进而画出点，顺次连接即可求解． （2）利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）是以点为旋转中心，将顺时针旋转度得到的． 故答案为：，顺，． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】（1）根据旋转的性质即可将绕点逆时针旋转得到△； （2）线段的中点为，作关于点的对称点，连接、即可； （3）平移，使其经过点； （4）作关于直线的对称点，连接并延长，交于点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）点和如图所示：    （3）如图，且经过点；    （4）如图，点即为所求；    因为、关于直线的对称， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换和作图-平移变换，解题的关键熟练掌握旋转和平移的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$