第9章 图形的变换（单元复习 3大易错+4大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第9章 图形的变换 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用平移解决实际问题 1 易错题型二　利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题 3 易错题型三　利用旋转的性质求解 8 【压轴题型】 11 压轴题型一　平移与平行线综合问题 11 压轴题型二　根据成轴对称图形的特征进行求解 15 压轴题型三　利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题 19 压轴题型四　线段垂直平分线的性质和判定 27 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用平移解决实际问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 故答案为：． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 易错题型二　利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题 例题：（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，点E是长方形纸片边上的一点，在边上任取两点F、G，连接、，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如果，则 °． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：当点在点的右侧， 由折叠的性质得，，， ， ，， ， ； 当点在点的左侧， 由折叠的性质得，，， ， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换，掌握相关知识是解题关键．折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质、折叠前后图形的形状和大小不变．分两种情况讨论：当锐角翻折时，点B与点D重合，当锐角A翻折时，点A与点D重合，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如图，当锐角翻折时，点B与点D重合， 根据折叠可知：， D为的中点 ， ∴； 如图，当锐角翻折时，点A与点D重合， 根据折叠可知：， D为的中点 ， ∴； 故答案为：或5． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ． 【答案】150或60 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当在下方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或； 故答案为：150或60． 易错题型三　利用旋转的性质求解 例题：（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】(1)旋转中心为点 (2) (3)，理由见解析 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点； （2）解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：由旋转性质知：，， ． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知四边形是正方形，点E在上，将经顺时针旋转后与完全重合，再将线段向右平移后与完全重合. (1)旋转的中心是 ；旋转角度是 ； (2)试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由. 【答案】(1)点A； (2)； 【知识点】利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解、两直线平行同位角相等、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转和平移这两种图形变换，掌握相关性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可求解； （2）由旋转的性质可得：，；由平移的性质可得：，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵将经顺时针旋转后与重合， ∴旋转的中心为点，为旋转角， ∵四边形是正方形， ∴； （2）解：且，理由如下： 由旋转的性质可得：，， 由平移的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平移与平行线综合问题 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 压轴题型二　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质： （1）利用轴对称的性质得，，进而可求解； （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，根据轴对称的性质得，，，，，，则的周长为，当共线时，的周长有最小值，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握轴对称的性质及准确找到的周长的最小值时的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：点关于射线的对称点是， ， 点关于射线的对称点是， ， ， ． （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，如图： 根据轴对称的性质得：，，，，，， 的周长为， 当共线时，的周长有最小值， ，的周长最小值为6， ， 为等边三角形， ， ． 压轴题型三　利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题 例题：（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3) 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解； 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：若点落在线段上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若点落在线段的延长线上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或； （3）解：如图所示，过点作于， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解； （2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解； （3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到，． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数为或 【知识点】利用邻补角互补求角度、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 由折叠的性质得：， 所以， 所以； （2）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即， 所以； （3）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即； （4）解：的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， 所以， 因为，即，， 所以； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， 所以， 又因为， 所以，即， 所以． 综上所述：的度数为或． 3．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）实践与探究： (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则______； (2)若将彩带沿，同时向中间翻折，点落在处，点落在处： ①当点，，共线时，如图2，求的度数； ②当点，，不共线时： （ⅰ）如图3，若，求的度数； （ⅱ）如图4，设，，直接写出，满足的关系式． 【答案】(1)30 (2)①；②（ⅰ），（ⅱ） 【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查折叠的性质，几何图形中角度计算，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）先根据补角的性质求出，再根据折叠前后对应角相等得出，即可得出； （2）①根据折叠前后对应角相等可得，，即可求解； ②（ⅰ）先计算出，进而得出，则；（ⅱ）参照（ⅰ）中作法，根据求解． 【详解】（1）解：， ， 由折叠知，， ， 故答案为：30； （2）解：①由折叠知，，， ，， ， ； ②（ⅰ）， ， 由折叠知，， ，， ； （ⅱ）， ， 由折叠知，， ，， ， ， ． 压轴题型四　线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为即可得到结论； （）连接，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由， 连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)24 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论； （2）根据以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． （2）解：由（1）得，， ． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 【答案】(1)12 (2)点在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进行推理证明与计算； （1）根据垂直平分线的性质得出，，再根据，求出的周长即可； （2）连接，，，证明即可． 【详解】（1）解：，的垂直平分线分别交于点，， ，， 的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， 点在的垂直平分线上； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 图形的变换 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用平移解决实际问题 1 易错题型二　利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题 3 易错题型三　利用旋转的性质求解 8 【压轴题型】 11 压轴题型一　平移与平行线综合问题 11 压轴题型二　根据成轴对称图形的特征进行求解 15 压轴题型三　利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题 19 压轴题型四　线段垂直平分线的性质和判定 27 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用平移解决实际问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 易错题型二　利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题 例题：（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，点E是长方形纸片边上的一点，在边上任取两点F、G，连接、，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如果，则 °． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ． 易错题型三　利用旋转的性质求解 例题：（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知四边形是正方形，点E在上，将经顺时针旋转后与完全重合，再将线段向右平移后与完全重合. (1)旋转的中心是 ；旋转角度是 ； (2)试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由. 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平移与平行线综合问题 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 压轴题型二　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 压轴题型三　利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题 例题：（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）实践与探究： (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则______； (2)若将彩带沿，同时向中间翻折，点落在处，点落在处： ①当点，，共线时，如图2，求的度数； ②当点，，不共线时： （ⅰ）如图3，若，求的度数； （ⅱ）如图4，设，，直接写出，满足的关系式． 压轴题型四　线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$