第6章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第6章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 2．在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 4．已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 5．已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 7．一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 9．在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．64的算术平方根是 ，的立方根是 ． 12．比较大小： （填“”“=”“”） 13．已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是 ． 14．设，都是有理数，规定 ，则= ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算： （2）解方程： 16．把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 18．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 20．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 六、（本题满分12分） 21．（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 七、（本题满分12分） 22．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 8、 （本题满分 14 分） 23．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了实数的分类，求立方根，根据无理数的定义判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解：， 在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数有（每相邻的两个0之间依次增加一个1），共3个． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、算式平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不符合题意; B.,故该选项不符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项符合题意； D. 的立方根是，故该选项不符合题意； 故选：C ． 4．已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解题的关键．根据得出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴整数不可能是． 故选：A． 5．已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 7．一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义； 首先设这个储水池的棱长为，根据题意可得， 然后根据立方根的定义计算出的值即可． 【详解】解：设这个储水池的棱长为， 这个储水池是正方体，且容积为， ， ， 即该容器的棱长是， 故选：C． 8．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 9．在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设点C所表示的数为x，列出方程即可解决． 【详解】解：设点C所表示的数为x， ∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点是点C， ∴， 根据题意， ∴， 解得． 故选：D． 10．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【知识点】程序设计与实数运算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．64的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 8 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根及算术平方根的知识，属于基础题，掌握基本的定义是关键．根据算术平方根及立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8； ，8的立方根2．即的立方根是2， 故答案为：8，2． 12．比较大小： （填“”“=”“”） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算，得即，计算比较即可. 本题考查了无理数的估算即大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是 ． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查已知一个数的平方根，求这个数，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再根据平方根的定义，求出这个数即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴， ∴， 故答案为：16． 14．设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根解方程等知识点， （1）先根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根的定义计算，再合并即可； （2）根据立方根的定义解方程即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ∴． 16．把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 【详解】解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、求一个数的立方根、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据平方根的定义可求得a的值，再根据算术平方根的定义可求出b的值，然后估算出的大小，可求得c的值， （2）根据（1）求a，b，c的值代入，得的值，最后求它的立方根即可． 【详解】（1）由题意得， 解得， 又， ， （2）由（1）得：， ， 的立方根是． 18．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】（1）利用平方根的定义可以求得； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b，进而求解即可． 本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． 【详解】（1）的平方根是±2； （2）∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【答案】(1) (2)2 (3)或2 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 20．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵的小数部分为的整数部分为， ， ． （3）解：∵， ∴，即， ， ∵是整数部分，是小数部分， ， ． 六、（本题满分12分） 21．（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【知识点】化简绝对值、实数的大小比较、实数的混合运算 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 七、（本题满分12分） 22．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】新定义下的实数运算、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算： （1）利用“和谐数对”的规定解答即可； （2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可； （3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可． 【详解】（1）解：数对的一对“和谐数对”是和，即和； 故答案为：， （2）解：∵数对的一对“和谐数对”相同， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵数对的一个“和谐数对”是， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：， 8、 （本题满分 14 分） 23．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$