第6章 实数（单元复习 6个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第6章 实数 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 03 题型归纳 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查立方根，算术平方根的定义，解题关键在于掌握一个正数正的平方根叫做这个数的算术平方根．根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 的立方根是， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）81的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：81的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是． 故答案为：；2；． 2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 / 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值、求一个数的平方根 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值．直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 的平方根是； ∵ ∴ ∴ ∴， ∴的绝对值是． 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的立方根是 的算术平方根 的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查立方根、算术平方根及平方根，解题的关键是理解和掌握立方根、算术平方根及平方根的定义．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是：； ∵， ∴的算术平方根是：； ∵， ∴的平方根是：． 故答案为：；；． 4．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，牢记平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的平方根是，的立方根是，（）的算术平方根是， 故答案为：，，． 5．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）36的平方根是 ；的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是 ． 【答案】 2 1和0 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根，算术平方根和立方根的概念．根据平方根，算术平方根和立方根的概念求解即可． 【详解】解：36的平方根是和； ∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2； ∵1的算术平方根和立方根为1，0的算术平方根和立方根为0， ∴立方根和算术平方根都等于它本身的数是1和0， 故答案为：；2；1和0． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若实数，满足等式，则 ． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】本题考查了非负数的性质．利用绝对值和算术平方根的非负数的性质求出，即可解决问题． 【详解】解：因为，而，， 所以，， 解得，， 所以． 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知m、n满足等式，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质可求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：m、n满足等式， ， ， ， 故答案为：6. 4．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根，熟知几个非负数的和为时，则每一项都等于是解题的关键．先根据非负数的性质求出，的值，再代入根据算术平方根求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的算术平方根是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的立方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可．本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根为， 故答案为：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）方程两边同时开方，得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得，， ∴ ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）根据得，利用立方根解答即可． （2）根据，利用平方根解答即可． 本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴或， 解得，． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）求下列各式中的值： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键； （1）利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） 解得． 4．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）方程利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根定义开立方即可求出解． 【详解】（1）解：开方得：或， 解得：或； （2）（2）方程移项得：， 开立方得：， 解得：． 5．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 2．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识． （1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，即可求出的平方根为． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 5．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的立方根、平方根概念理解、算术平方根和立方根的综合应用、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【答案】 【知识点】实数的性质、化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型六 无理数 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是整数，不是无理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，不是无理数，该选项不合题意； 、是分数，不是无理数，该选项不合题意； 故选：． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有：（每两个1之间依次多1个0）共3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根与立方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据无理数的定义求解即可得． 【详解】解：，， 则，，，0.1010010001，，都是有理数，和是无理数， 所以无理数有2个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得出答案． 【详解】解：， 无理数为：，，···（两个“1”之间依次多个“0”） 无理数的个数是3个， 故选：B． 题型七 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【答案】(答案不唯一) 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴；根据数轴可以得到的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：设点A在数轴上表示的数为， 由数轴可得，， ∵ 故答案为：(答案不唯一)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 【详解】设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是，，，， 则，，，， ∵， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 题型八 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．作差法判断即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 题型九 实数的简单运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题的关键 （1）依次算乘方、算术平方根和立方根，再算除法，最后算加减； （2）依次算算术平方根、乘方、立方根，再算加减． 【详解】（1） （2） 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)8 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 03 题型归纳 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）的算术平方根是 ；的立方根是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）81的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的立方根是 的算术平方根 的平方根是 4．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 5．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）36的平方根是 ；的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是 ． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）若，则的值为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若实数，满足等式，则 ． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知m、n满足等式，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若，则的算术平方根是 ． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根为 ． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）求下列各式中的值： (1) (2)． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 4．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）解方程 (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 2．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 5．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型六 无理数 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型七 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 题型八 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 题型九 实数的简单运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$