第6章 实数（单元复习 5大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第6章 实数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　平方根、算术平方根、立方根概念的区别 1 易错题型二　二重求一个数的平方根或算术平方根 3 易错题型三　算术平方根的整数部分和小数部分 5 易错题型四　实数的大小比较 7 易错题型五　程序设计与实数运算 9 【压轴题型】 12 压轴题型一　实数与数轴 12 压轴题型二　平方根、算术平方根、立方根的综合 16 压轴题型三　算术平方根有关的规律探究问题 20 压轴题型四　新定义下的实数运算 25 压轴题型五　与实数运算相关的规律题 33 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　平方根、算术平方根、立方根概念的区别 例题：（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是  （   ） A．49的平方根是7 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．是16的一个立方根 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法错误的是（ ） A．是16的平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．一定有平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 易错题型二　二重求一个数的平方根或算术平方根 例题：的平方根是 ． 巩固训练 1．的算术平方根是 ． 2．64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 3．若，则的算术平方根为 ． 4．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 5．的算术平方根是 ；的平方根是 ． 易错题型三　算术平方根的整数部分和小数部分 例题：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）的整数部分为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的整数部分是x，小数部分是y，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 易错题型四　实数的大小比较 例题：（24-25八年级上·河南开封·期末）估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）比较大小： ． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）比较大小： 1， （填“”、“”或“”）． 4．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 5．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 易错题型五　程序设计与实数运算 例题：如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 巩固训练 1．如图，输入，则输出的值为 ． 2．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 3．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　实数与数轴 例题：（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)求点C所表示的数； (2)若点C表示的数为m；求的平方根． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 2．（24-25九年级上·福建漳州·开学考试）已知实数a，b，c在数轴上的位置．如图所示，化简：． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A表示的数为，点B表示的数为m． (1)填空：________； (2)化简：． 4．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，， (1)若，则______，______； (2)根据如图所示的条件，化简； (3)若，且m为整数，n为的小数部分，求A的值． 压轴题型二　平方根、算术平方根、立方根的综合 例题：已知的算术平方根是3，的立方根是，求： (1)，的值； (2)的平方根． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 压轴题型三　算术平方根有关的规律探究问题 例题：探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 巩固训练 1．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 2．观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 3．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 4．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 压轴题型四　新定义下的实数运算 例题：定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 巩固训练 1．当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 2．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 4．给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 5．定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 压轴题型五　与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　平方根、算术平方根、立方根概念的区别 1 易错题型二　二重求一个数的平方根或算术平方根 3 易错题型三　算术平方根的整数部分和小数部分 5 易错题型四　实数的大小比较 7 易错题型五　程序设计与实数运算 9 【压轴题型】 12 压轴题型一　实数与数轴 12 压轴题型二　平方根、算术平方根、立方根的综合 16 压轴题型三　算术平方根有关的规律探究问题 20 压轴题型四　新定义下的实数运算 25 压轴题型五　与实数运算相关的规律题 33 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　平方根、算术平方根、立方根概念的区别 例题：（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】A 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根、平方根，乘方运算，算术平方根，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，9的平方根是，故该选项是符合题意的； B、，4的平方根是，故该选项是不符合题意的； C、没有平方根，故该选项是不符合题意的； D、9的立方根是，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是  （   ） A．49的平方根是7 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．是16的一个立方根 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根．根据算术平方根、平方根和立方根的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、49的平方根是，则此项不符题意； B、，16的算术平方根是4，则此项不符题意； C、，4的平方根是，则此项符合题意； D、不是16的一个立方根，此项此项不符题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法错误的是（ ） A．是16的平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D． 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根，立方根的定义，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，故是16的平方根，本选项说法正确； B、任何一个数都有立方根，的立方根是，故本选项的说法错误； C、，故的平方根是，本选项的说法正确； D、25的算术平方根是5，即，故本选项的说法正确． 故选：B 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可． 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立， 故C正确，ABD错误． 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．一定有平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据立方根、算术平方根和平方根的性质依此计算即可． 【详解】解：A、的立方根是，故该选项错误； B、因为，所以一定有平方根，故该选项正确； C、的平方根是，故该选项错误； D、的算术平方根是，故该选项错误； 故选：B 易错题型二　二重求一个数的平方根或算术平方根 例题：的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 先求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴3的平方根是， 故答案为：． 巩固训练 1．的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 2．64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 8 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，正的平方根为算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，64的算术平方根是； ∵ ∴的平方根是 故答案为：；． 3．若，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到，则；对于两个实数a、b若a为非负数且满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2， 故答案为：2． 4．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 5．的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：，其算术平方根为； ，其平方根是； 故答案为：；． 易错题型三　算术平方根的整数部分和小数部分 例题：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）的整数部分为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，判断出在哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的整数部分是x，小数部分是y，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查无理数的估算与代数式求值，解题的关键是求出x，y的值，由于，可得的整数部分是．的小数部分是，代入即可求出代数式的值． 【详解】解：∵． ∴．即． ∴的整数部分是5．即． ∴的小数部分是．即． ∴． 答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，无理数的估算，先估算出，则可得到，再求出，进而求出，最后根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．先通过估算确定M、N的值，再求的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：，0，1，2，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴9的平方根是，即的平方根为； 故答案为：． 易错题型四　实数的大小比较 例题：（24-25八年级上·河南开封·期末）估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，首先估算出，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，由得，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）比较大小： 1， （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，根据，估计取值范围即可；估计和的取值范围，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵，， ∴， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 【答案】 ＜ ＜ ＜ 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；因此此题可根据无理数的估算分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为＜，＜，＜． 5．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的大小比较，根据被开方数越大，二次根式越大直接比较即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 故答案为：． 易错题型五　程序设计与实数运算 例题：如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 巩固训练 1．如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 2．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】 625 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；根据三次取算术平方根运算；输出的y值为，返回运算三次平方可得y的值． 【详解】解：当时，，，输出的y值为； 当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为时， 则，，． 故答案为：；625． 3．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　实数与数轴 例题：（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)求点C所表示的数； (2)若点C表示的数为m；求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根等知识，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求出的长即可得出答案； （2）把m的值代入所求代数式进行计算，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵表示1和的对应点分别为A，B， ∴点B到点A的距离为， ∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等， ∴点C到原点O的距离为， ∴点C在数轴的正半轴， ∴点C所表示的数为； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴的平方根为． 巩固训练 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 【答案】(1)①④；②③ (2)见解析 (3)，，， 【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根、实数的分类、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据有理数和无理数的概念求解即可； （2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可； （3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）解：， 有理数是①④；无理数是②③； 故答案为：①④；②③； （2）各数在数轴上表示如下： （3）各数用“”连接为：， 故答案为：，，，． 2．（24-25九年级上·福建漳州·开学考试）已知实数a，b，c在数轴上的位置．如图所示，化简：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，求一个数的算术平方根和化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A表示的数为，点B表示的数为m． (1)填空：________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、化简绝对值、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值： （1）点在数轴上运动时左加右减，据此求解； （2）根据化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由题意知点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：， ， ． 4．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【答案】(1) (2)2 (3)或2 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，， (1)若，则______，______； (2)根据如图所示的条件，化简； (3)若，且m为整数，n为的小数部分，求A的值． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算、利用算术平方根的非负性解题、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数大小的估算，代数式化简求值． （1）根据非负数的性质得，，解方程即可； （2）由图可得：，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可； （3）根据题意分别得出m、n的值，再代入化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即，， 解得：，， 故答案为：，2； （2）解：由图可得：，， ∴ ； （3）解：∵，且m为整数，， ∴， ∵n为的小数部分， ∴， ∴ ． 压轴题型二　平方根、算术平方根、立方根的综合 例题：已知的算术平方根是3，的立方根是，求： (1)，的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)平方根为 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识． （1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是，则，求出m、n的值即可； （2）根据（1）中、的值，代入求值，然后求平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得：； ∵的立方根是， ∴， 解得：， ，； （2）解：由（1），， ∴， ∴的平方根是． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， ； （2）解：∵， ， 则的平方根是． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)或 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 压轴题型三　算术平方根有关的规律探究问题 例题：探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、与算术平方根有关的规律探索题、整式的加减运算 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 巩固训练 1．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 2．观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【答案】(1)，21 (2) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 3．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 4．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 压轴题型四　新定义下的实数运算 例题：定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 巩固训练 1．当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 【答案】(1)点不是为“友好点”，理由见解析 (2)， 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义问题，点的坐标， （1）根据“友好点”的定义判断即可； （2）根据“友好点”的概念得到，，得到，，然后由得到，然后根据，为有理数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴ ∴点不是为“友好点”； （2）∵点是“友好点”， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴为有理数， ∴ ∴． 2．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】新定义下的实数运算、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】（）根据新定义运算解答即可求解； （）根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴数对的开方对称数对为和， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 4．给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【知识点】算术平方根的实际应用、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 5．定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【知识点】新定义下的实数运算、实数的混合运算 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 压轴题型五　与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$