数列专题训练-2025届高三数学一轮复习

数列专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知数列的前12项和为164，且满足，则的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C．64 D．32 3．已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（    ） A． B． C． D．数列中的最大项为 4．曲线在轴右侧的各对称中心的横坐标由小到大排列构成一个数列，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，其前三项的和，则数列的公比（  ） A． B． C．或1 D．或1 6．取整函数表示不超过x的最大整数（例如：）．已知数列满足：，，若数列的前项和，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知数列满足，记，则（    ） A． B． C．2024 D． 8．我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D． 二、多选题 9．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 10．设公比为q的等比数列前n项的积为，则（    ） A．若，则 B．若，则必有 C．若，，则有最大值 D．若，则数列一定是等差数列 11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最大值时， C． D． 三、填空题 12．已知数列满足，则 ，通项公式 . 13．各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为 . 14．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为 . 四、解答题 15．已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数，且满足 ， . (1)求数列 与 的通项公式; (2)记 ，求数列 的前 项和 . 16．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 17．已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知等差数列的前n项和为，且满足，，数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求，的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前2n项和. 19．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由； (2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值； (3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数列专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C B C B ABC BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】由，推出和，再利用前12项和为164求解. 【详解】解：由题知：， ， 又，， 所以， ， 故选：C 2．A 【分析】根据等比数列通项公式，前n项和公式求出首项和公比，再代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，， ，即，． ，，， ，． 故选：A. 3．B 【分析】推导出，，可推出，再利用等差数列的求和公式以及数列的单调性逐项分析，可得合适的选项. 【详解】因为，则，因为，则， 所以，，所以，，A错； ，B对； ，C错； 因为，所以数列为递减数列， 当且时，；当且时，， 所以，中最大项为，D错. 故选：B. 4．C 【分析】根据正切函数性质得出，然后由等差数列前项和公式计算． 【详解】曲线的对称中心为，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 故选：C 5．C 【分析】利用等比数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可． 【详解】∵在等比数列中，，其前三项的和， ∴，解得，或． ∴的公比等于或1． 故选：C． 6．B 【分析】记，根据等比数列的定义可知数列为等比数列，则，结合等比数列前项和公式计算建立不等式组，解之即可求解. 【详解】记，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以． 得， 则．因为，所以． 故选：B 7．C 【分析】先得到的一个周期为3，且，从而得到. 【详解】，，， ，……， 故的一个周期为3，且， 故. 故选：C. 8．B 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：，故， 若，则， 由于故使得不等式 成立的正整数 的最小值为5， 故选：B 9．ABC 【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；由可判断C；利用下标和性质表示出可判断D. 【详解】解：因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 当时，取得最大值，B正确； 由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； ，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC． 10．BC 【分析】利用等比数列的积的性质，来研究各选项，即可得到判断. 【详解】由于公比为q的等比数列前n项的积为， 因为，所以， 所以，故A错误； 因为，且， 所以，由于等比数列奇数项必同号，则，故B正确； 因为，，所以等比数列是递减数列， 必存在，使得且，这个时候，故C正确； 因为，所以， 由于， 当时，不满足等于同一个常数，故数列不一定是等差数列， 故D错误； 故选：BC. 11．AC 【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A；根据数列的项的正负情况可以否定B；根据前16项都是非负值可计算判定C；由可计算后否定D. 【详解】因为数列的前项和， 则， ， 当时也成立，所以，故A正确； 由，得，当时，当时，， 所以取得最大值时，或，故B错误； 因为当时，，当时， 所以，故C正确； 因为 ，故D错误. 故选：AC. 12． /0.2 【分析】根据已知递推式直接求，且、，应用等差数列的定义写出通项公式. 【详解】由题设， 由，且，则， 所以. 故答案为：， 13． 【分析】由题得，化简求出，利用求和公式即可. 【详解】数列为各项为正数的等差数列， 则，化简得， 解得或0（舍）， 则， 故答案为：. 14． 【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出． 【详解】由等差数列的性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列求和公式和等差等比数列通项公式列方程组求出基本量，然后可得通项公式； （2）利用分组求和法求和可得. 【详解】（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则由题可得，， 解得， 又等比数列的各项均为正数，所以，所以， 所以，. （2）由（1）可得，， 所以 16．(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，作差即可求解； （2）由等比数列求和公式及错位相减法求和，再通过作差即可比较大小. 【详解】（1） 当时， 当时，，两式相减得， ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， ， 两式相减得 17．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【详解】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2）由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是： 18．(1)证明见解析；， (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意求得和，得到，得到，再由，得到为等比数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合分组求和，即可求解. 【详解】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，所以，即． 所以，所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）由（1）知，，可得， 所以 ． 19．(1)数列具有性质，理由见解析 (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）由性质P的定义即可判断； （2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质P的定义只需保证d为整数即可确定公差的所有可能值； （3）根据（2）的思路，分类讨论与的情况.当且，由为整数，在为定值只需d为整数，即可判断数列的个数是否有限. 【详解】（1）因为，所以对任意有， 即对任意正整数，总存在正整数，使得， 所以数列具有性质. （2）设等差数列的公差为d，数列具有性质， 当时，恒成立； 当时，则， 所以即， 若时，则，不满足题意； 所以，得， 由等差数列的各项均为整数，则为整数，又，且， 所以有或，即或. 又， 若对任意，且， 则， 又正整数n和必一奇一偶，且，则为非负整数， 因此只需为整数，那么即为数列的第项， 故当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 故d的所有可能值为或. （3）①若给定，则， 所以， 故给定，则任意，都具有性质，故此时这样的数列有无穷多个； ②若给定，则， 由（2）知，，，则， 则，只需为整数，则， 即为数列的第项， 因为任意给定整数的约数为有限个，故公差d必为有限个， 故若给定，则具有性质P的数列有有限个； 综上所述，若给定，具有性质的数列有无穷多个； 若给定，具有性质的数列有有限个. 【点睛】思路点睛：根据性质P的定义，在第（2）、（3）问中利用满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，当时，公差，利用用整数性质求解公差个数或判断其个数是否有限即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$